湯小松，羅節(jié)英

(井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江西吉安343009)

帶有p-Laplace算子的微分方程的邊值問題，在非牛頓力學(xué)、宇宙物理、血漿問題和彈性理論等諸多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.在過去幾十年里，對p-Laplace方程的邊值問題解的存在性的研究，取得了很多有意義的成果［1-5］.

分?jǐn)?shù)階微分方程除了在數(shù)學(xué)各方面的應(yīng)用，還在流體力學(xué)、流變學(xué)、粘彈性力學(xué)、分?jǐn)?shù)控制系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)控制器、各種電子回路、電分析化學(xué)、生物系統(tǒng)的電傳導(dǎo)、神經(jīng)的分?jǐn)?shù)模型及回歸模型等方面有廣泛的應(yīng)用，特別是在與分形維數(shù)有關(guān)的物理與工程方面有重要的應(yīng)用［6-7］，因此引起了許多學(xué)者的極大關(guān)注.關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程解(正解)的存在性研究，已取得了一定的成果［8-16］.例如，S.Zhang［10］利用錐上不動點定理和Leggett-Williams不動點定理討論了如下兩點邊值問題的1個和3個正解的存在性

其中，是Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，1＜α≤2.

湯小松等［11］利用錐上不動點定理討論了如下積分三點邊值問題的1個正解的存在性

為方便起見，本文總假定:

(H1)a(t)∈C(［0，1］，［0，+ ∞))，并且在［0，1］的任何子區(qū)間上a(t)不恒等于0；

(H2)f∈C(［0，1］×［0，+∞)，［0，+∞)).

1 準(zhǔn)備知識及引理

首先給出一些必要的分?jǐn)?shù)階計算的定義和定理，這些定義可以參見文獻(xiàn)［8-9］.

2 主要結(jié)果

利用引理1.3～1.8來證明本文的主要結(jié)果.

定理2.1設(shè)條件(H1)和(H2)成立，且f還滿足

(H3)f0∈(gp-1，+∞)；

(H4)f∞∈［0，σp-1)，

則邊值問題(3)至少存在一個正解.

下面按f有界和無界2種情形進(jìn)行考慮.

情形1 假設(shè)f有界，則存在L使得，當(dāng)0≤t≤1及0≤u＜ +∞ 時，有f(t，u)≤(σL)p-1.令 R1=max{2r1，L}，定義E的開子集

定理2.2設(shè)條件(H1)和(H2)成立，且f還滿足:

(H5)f0∈［0，σp-1)；

(H6)f∞∈(gp-1，+∞)，

則邊值問題(3)至少存在一個正解.

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