張 睿 智

(中國礦業(yè)大學(北京)資源與安全工程學院，北京 100083)

“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)與彎曲分析中的應(yīng)用

張 睿 智

(中國礦業(yè)大學(北京)資源與安全工程學院，北京 100083)

對“三關(guān)系法”即變形幾何關(guān)系、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、靜力學關(guān)系進行了名詞闡釋，介紹了“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)與彎曲中的分析方法，并結(jié)合實例作了說明，有助于實際工作及學習的參考應(yīng)用。

變形，應(yīng)力，靜力，關(guān)系，扭轉(zhuǎn)，彎曲

扭轉(zhuǎn)與彎曲來自于材料力學中最基本的兩種力的形式：剪切與拉壓，是構(gòu)成復雜材料變形的最簡單變形形式?？梢哉f，想學好材料力學這座高堂廣廈，扭轉(zhuǎn)與彎曲的地位就好比地基一般。同樣，在校核材料強度上，對扭轉(zhuǎn)和彎曲的應(yīng)力求取是必不可少的，然而較之于一般的剪切應(yīng)力和拉壓應(yīng)力的定義式求法，前者或需要更縝密的分析和計算。本文即將用“三關(guān)系法”向讀者介紹求取這兩種應(yīng)力的分析方法。所謂“三關(guān)系法”即“變形幾何關(guān)系—應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系—靜力學關(guān)系”分析方法。需要說明的是，在如今的高等院校中，學生傾向于直接死記硬背求解應(yīng)力的公式，對推導過程一知半解，而實際上，了解求取過程有助于同學理解和記憶公式，同時掌握最根本的有限元分析法也是步入實際場景、進入現(xiàn)實工作當中必不可少的技能。

1 名詞釋義

1)變形幾何關(guān)系。變形幾何關(guān)系的研究對象是從變形體上截取的順應(yīng)變形的有限元，同樣遵循平截面假設(shè)和圣維南原理。我們將根據(jù)其變形前后在特定方向上的角度和長度變化得到應(yīng)變表達式。

2)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系即胡克定律，它將應(yīng)力與應(yīng)變結(jié)合起來，通過應(yīng)變得到應(yīng)力。在這里，扭轉(zhuǎn)用到剪切胡克定律τ=Gγ，彎曲用到胡克定律σ=Eε。

3)靜力學關(guān)系。靜力學關(guān)系是通過對微元力的積分與力偶矩建立關(guān)系，并引入慣性矩的概念，最終將不可求的微元素轉(zhuǎn)化為可求解的量，是對胡克定律建立起的應(yīng)力表達式的完善。

2 “三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)與彎曲中的分析方法

1)“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)中的分析方法。

a.變形幾何關(guān)系。如圖1所示為一僅受扭轉(zhuǎn)的軸的單元體，在距軸線為ρ的地方，根據(jù)幾何關(guān)系其切應(yīng)變?yōu)椋?/p>

γρdx=ρdφ。

即：

(1)

b.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。切應(yīng)力與切應(yīng)變服從剪切胡克定律：

τ=Gγ

(2)

將式(1)代入式(2)可以求得距軸線為ρ處的切應(yīng)力為:

(3)

c.靜力學關(guān)系。圓軸扭轉(zhuǎn)時，平衡外力偶矩的扭矩是由橫截面上無數(shù)的微剪力組成的。各微剪力對軸線之矩的總和，即為該截面上的扭矩，即：

T=∫AρτρdA

(4)

將式(3)代入式(4)得：

(5)

將式(5)代入式(3)得:

隨即得到剪切應(yīng)力公式。

2)“三關(guān)系法”在彎曲中的分析方法。

a.變形幾何關(guān)系。取微段梁來分析，其變形后的情況如圖2所示?，F(xiàn)研究距中性層y處縱向纖維b′b′的變形。

縱向線應(yīng)變?yōu)?

(6)

b.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系服從胡克定律：

σ=Eε。

將式(6)代入得：

(7)

c.靜力學關(guān)系。確定中性軸的位置和曲率：

y軸為對稱軸；z軸為中性軸，其位置暫未知；x軸為過原點且平行于軸線(見圖3)。

(8)

將式(7)代入式(8)得:

(9)

將式(9)代入式(7)得:

隨即得到彎曲應(yīng)力公式。

3 典例分析

以“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)中的應(yīng)用，我們來計算工程中常用的“U”形梁的剪切應(yīng)力(如圖4所示)，已知梁所受的扭矩T以及它的尺寸。

1)變形幾何關(guān)系。將“U”形梁補充成為截面為圓的梁，則其有限元同圖1，應(yīng)變表達式不變，如下：

γρdx=ρdφ。

即：

(10)

2)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。切應(yīng)力與切應(yīng)變服從剪切胡克定律：

τ=Gγ

(11)

將式(10)代入式(11)可以求得距軸線為ρ處的切應(yīng)力為：

(12)

3)靜力學關(guān)系。取截面上的微剪力，同樣積分得到扭矩表達式：

T=∫AρτρdA

(13)

將式(12)代入式(13)得:

(14)

將式(14)代入式(12)得:

(15)

現(xiàn)在，只需把ρ關(guān)于圖4截面的函數(shù)用MATLAB擬合出來，然后求積分∫AρdA，把結(jié)果代入式(15)即可。

4 結(jié)語

關(guān)于異形梁的應(yīng)力的求取我們可以采用“三關(guān)系法”，即變形幾何關(guān)系—應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系—靜力學關(guān)系。這種方法有效規(guī)避了學生死記硬背公式在實際場景中的尷尬，強化知識的理解，強調(diào)運用，是互動—啟發(fā)式教育的典型學習、分析方法。

[1] 北京科技大學,東北大學.工程力學材料力學[M].北京：高等教育出版社,2008.

[2] 宮偉力,趙帥陽,彭巖巖.工程力學的互動啟發(fā)式教學法探討[J].科教文匯,2014(270)：49.

On application of “three-relation method” in analysis of torque and flexural loads

ZHANG Rui-zhi

(SchoolofResourcesandSafetyEngineering,ChinaUniversityofMiningandTechnology(Beijing),Beijing100083,China)

The paper introduces and interprets the “three-relation method”, including the geometrical relationship of deformation, the stress-strain relationship and the statics relation, introduces the analysis method of the method in the torque and flexural loads, and indicates by adopting some examples, so as to provide some reference for its application in work and study.

deformation, stress, statics, relation, torque, flexural load

1009-6825(2014)17-0047-02

2014-04-05

張睿智(1993- )，女，在讀本科生

TU311

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