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        基于中國(guó)股票市場(chǎng)的長(zhǎng)記憶模型應(yīng)用研究

        2014-08-08 06:09:40
        關(guān)鍵詞:記憶性上證指數(shù)正態(tài)分布

        秦 瑋

        (重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,重慶 401331)

        在以往的金融時(shí)間序列研究中,一般都假設(shè)資產(chǎn)收益率為正態(tài)分布,而越來(lái)越多的研究結(jié)果表明,實(shí)際的股票收益率具有尖峰厚尾現(xiàn)象以及非對(duì)稱性,正態(tài)分布并不能很好地刻畫(huà)收益率的特征,因此許多學(xué)者選用偏t分布或其他分布代替正態(tài)分布,得到較好的擬合效果.Barndorff-Nielsen[1]在給沙丘運(yùn)動(dòng)建模時(shí)引入廣義雙曲線分布,并于1995年成功應(yīng)用到金融領(lǐng)域中.Eberlein和Keller率先將雙曲線分布用于金融領(lǐng)域研究,Barndorff-Nielsen研究了廣義雙曲線分布的另一子分布正態(tài)逆高斯分布.事實(shí)上,偏t分布是廣義雙曲線分布的極限分布,Prause,Barndorff-Nielsen,Shepard,Demarta和Mcneil等都對(duì)其做了深入研究[2].

        自Hurst發(fā)現(xiàn)水文時(shí)間序列具有長(zhǎng)記憶性以來(lái),大量研究表明,金融資產(chǎn)收益率也呈現(xiàn)長(zhǎng)記憶特征.收益率序列的絕對(duì)值或它的冪自相關(guān)衰減得十分緩慢,相距較遠(yuǎn)的時(shí)間間隔仍然具有顯著的自相關(guān)性,表現(xiàn)為歷史事件會(huì)長(zhǎng)期影響未來(lái).股票收益率長(zhǎng)記憶性的存在意味著以此為理論假設(shè)基礎(chǔ)的現(xiàn)代資本市場(chǎng)理論包括馬柯維茨的資產(chǎn)組合理論、資本資產(chǎn)定價(jià)模型、套利定價(jià)理論和Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型在內(nèi)的許多模型,都將面臨嚴(yán)重的質(zhì)疑和挑戰(zhàn).

        Andersen,Bollerslev,Diebold&Ebens研究發(fā)現(xiàn),用ARMA模型難以準(zhǔn)確刻畫(huà)序列的長(zhǎng)記憶性,提出用自回歸分整移動(dòng)平均(ARFIMA)模型,它能較好地對(duì)序列的長(zhǎng)記憶性進(jìn)行刻畫(huà).ARFIMA(p,d,q)允許對(duì)序列進(jìn)行分?jǐn)?shù)d階差分,綜合考慮長(zhǎng)記憶和短記憶過(guò)程,可用p+q個(gè)參數(shù)來(lái)描述短記憶過(guò)程,用參數(shù)d描述長(zhǎng)記憶過(guò)程,比單純地使用ARMA模型強(qiáng).

        將廣義雙曲線分布族與ARFIMA模型相結(jié)合,并在不同分布下對(duì)比ARFIMA模型的參數(shù)估計(jì)效果,還從時(shí)間和事件的角度分析了時(shí)間的劃分對(duì)長(zhǎng)記憶效應(yīng)的影響.

        1 廣義雙曲線分布簡(jiǎn)介

        1.1 廣義逆高斯分布

        服從廣義逆高斯(GIG)分布的混合隨機(jī)變量與正態(tài)均值-方差變量相結(jié)合的變量服從廣義雙曲線(GH)分布.

        定義1 如果一維非負(fù)的混合隨機(jī)變量W服從GIG分布,Z~Nk(0,Ik),且W與Z獨(dú)立.令

        (1)

        其中,位置參數(shù)μ∈Rd,漂移參數(shù)γ∈Rd,結(jié)構(gòu)矩陣∑=AA′對(duì)稱、正定,A∈Rd×k,則X服從廣義雙曲線(GH)分布.

        對(duì)于不同的GIG分布將產(chǎn)生不同的GH分布.

        由式(1)知,當(dāng)混合變量W的方差存在時(shí),則X的均值、協(xié)方差公式為

        E(X)=μ+E(W)γ,COV(X)=E(W)∑+var(W)γγ′

        (2)

        一維的GIG分布的概率密度函數(shù)[2]為

        (3)

        1.2 廣義雙曲線分布密度

        根據(jù)式(1),由廣義逆高斯(GIG)分布W~GIG(λ,χ,ψ)和Z~Nk(0,Ik),可推導(dǎo)出X的密度函數(shù)為

        (4)

        當(dāng)混合函數(shù)W具有有限方差時(shí),GH分布的均值和協(xié)方差為

        1.3 一類特殊情形的廣義雙曲線分布

        GH分布含有參數(shù)λ,χ,ψ,μ,∑,γ,當(dāng)它們?nèi)√厥庵禃r(shí),會(huì)得到不同形式的廣義雙曲線密度.常用于金融數(shù)據(jù)分析的分布有如下幾種.

        2) 正態(tài)逆高斯分布.當(dāng)λ=-0.5時(shí),GIG分布為逆高斯分布,對(duì)應(yīng)的GH分布是正態(tài)逆高斯(NIG)分布,其概率密度函數(shù)可表示為

        (5)

        3) 偏t分布.當(dāng)λ<0,ψ=0時(shí),GIG轉(zhuǎn)換為逆伽瑪分布,逆伽瑪分布IG(α,β)概率密度函數(shù)為

        (6)

        伽瑪分布與逆伽瑪分布之間具有如下關(guān)系:

        如果X~Gamma(α,β),則X-1~I(xiàn)G(α,1/β).

        當(dāng)λ<0,ψ=0時(shí),GIG隨機(jī)變量X1~I(xiàn)G(-λ,χ/2).如果令λ=-v/2,χ=v,則逆伽瑪分布對(duì)應(yīng)的GH分布是偏t分布,v代表自由度.偏t分布的概率密度函數(shù)為

        (7)

        當(dāng)γ=0時(shí),偏t分布為對(duì)稱t分布.服從偏t分布的隨機(jī)變量X的均值和協(xié)方差為

        (8)

        1.4 廣義誤差分布

        均值為0,方差為1的廣義誤差分布(GED)概率密度函數(shù)為

        (9)

        λ≡[2-2/vΓ(1/v)Γ(3/v)]0.5

        (10)

        2 金融時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性

        2.1 時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性定義

        定義2 假設(shè)時(shí)間序列{xt}具有自相關(guān)函數(shù)ρτ,其中τ為滯后階數(shù).如果ρτ滿足條件

        (11)

        則稱{xt}為長(zhǎng)記憶時(shí)間序列(Mcleaod和Hipel[3]).

        定義3 如果平穩(wěn)時(shí)間序列{xt}的自相關(guān)函數(shù)ρτ依負(fù)冪指數(shù)率(雙曲率)τ-λ隨滯后階數(shù)τ的增大而緩慢下降,即

        ρτ~Cτ2d-1,τ→∞

        (12)

        其中C表示常數(shù),~表示收斂速度相同,d表示記憶性且2d-1=-λ,則稱{xt}為長(zhǎng)記憶時(shí)間序列(Brockwell[4]).

        2.2 時(shí)間序列長(zhǎng)記憶性的檢驗(yàn)

        (13)

        其中,R(n)表示極差,即

        (14)

        S(n)表示標(biāo)準(zhǔn)差,即

        (15)

        可以證明

        (16)

        其中C為常數(shù),H為Hurst指數(shù).由式(16)可得H的近似估計(jì)值為

        (17)

        2.3 分整自回歸移動(dòng)平均(ARFIMA)模型

        ARFIMA模型由Granger和Joyeux(1980)[5]提出,是基于分?jǐn)?shù)差分噪聲(FDN)模型與自回歸移動(dòng)平均(ARMA)模型相結(jié)合的產(chǎn)物.設(shè){yt},t=1,2,…,T為可觀測(cè)樣本序列,則ARFIMA(p,d,q)模型表述如下

        φ(L)(1-L)d(yt-μ)=θ(L)εt

        (18)

        其中,{εt}是白噪聲序列,L是滯后算子,滯后多項(xiàng)式算子φ(L)=1-φ1L-…-φpLp和θ(L)=1-θ1L-…-θqLq的特征根都在單位圓外,且|d|<0.5時(shí),yt平穩(wěn)且可逆;0

        圖2 收益率時(shí)間序列

        3 實(shí)證分析

        3.1 樣本數(shù)據(jù)的選取

        由滬市和深市過(guò)去的指數(shù)波動(dòng)分析可知,兩者具有較大的相關(guān)性.滬市開(kāi)市早、市值高,具有對(duì)外部沖擊反應(yīng)較敏感的特征,對(duì)深市具有一定的“溢出效應(yīng)”,同時(shí),上證指數(shù)與其他股票均具有極高的相關(guān)性和代表性.因此,此處選擇上證指數(shù)作為研究樣本.另外,在我國(guó)股票上市初期,進(jìn)入流動(dòng)的股票數(shù)量少,同時(shí)證券市場(chǎng)交易制度與監(jiān)管制度也不完善,股票質(zhì)量不高,股市呈現(xiàn)一定的大幅波動(dòng)的現(xiàn)象,而在1997年后則呈現(xiàn)出平穩(wěn)狀態(tài).此處選取1998年1月5日到2013年4月15日上證指數(shù)日收盤(pán)價(jià)格指數(shù)(數(shù)據(jù)源自華西證券http://www.hx168.com.cn/hxzq/index.jsp),樣本總量為3 694個(gè).將股票日收益率定義為yt=100*(lnpt-lnpt-1).收盤(pán)價(jià)時(shí)間序列如圖1,收益率時(shí)間序列如圖2.

        3.2 樣本數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計(jì)

        首先對(duì)上證指數(shù)收益率序列進(jìn)行描述統(tǒng)計(jì)和正態(tài)性W檢驗(yàn)(表1),認(rèn)為樣本不是來(lái)自正態(tài)分布的總體.收益率的密度估計(jì)曲線和正態(tài)分布密度曲線的對(duì)比圖也可以看出樣本不服從正態(tài)分布(圖3).

        表1 數(shù)據(jù)描述統(tǒng)計(jì)和正態(tài)性W檢驗(yàn)

        3.3 長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)及結(jié)果分析

        根據(jù)AIC信息準(zhǔn)則,均選用ARFIMA(1,d,1)模型.表2為各分布下ARFIMA(1,d,1)模型的估計(jì)結(jié)果.可以看出,正態(tài)分布下的模型估計(jì)效果不如其他模型,其長(zhǎng)記憶性也并不顯著.其他6種分布下的模型估計(jì)出的參數(shù)相差不大,象征長(zhǎng)記憶性的d值均在0.23左右,屬于0至0.5的區(qū)間內(nèi),p值也在99%的置信水平下顯著,表明收益率序列具有長(zhǎng)記憶性.通過(guò)各種分布的對(duì)比,顯示出有偏分布下的模型估計(jì)效果都比對(duì)稱分布下的模型估計(jì)效果要好,說(shuō)明收益率序列的確具有尖峰厚尾性和非對(duì)稱的效應(yīng).

        表2 收益率序列在7種分布下ARFIMA(1,d,1)模型的估計(jì)結(jié)果

        注:括號(hào)里的值為參數(shù)估計(jì)的p-value值.

        圖3 收益率的密度估計(jì)曲線與正態(tài)分布密度曲線

        3.4 時(shí)間和事件對(duì)長(zhǎng)記憶檢驗(yàn)的影響

        金融市場(chǎng)價(jià)格之所以波動(dòng),是因?yàn)樗鞘袌?chǎng)各方面相互博弈的結(jié)果,因此事件尤其是重大事件必然會(huì)對(duì)金融市場(chǎng)產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響.因此此處從時(shí)間和事件兩個(gè)角度進(jìn)行對(duì)比研究.

        自2001年2月19日證監(jiān)會(huì)作出對(duì)國(guó)內(nèi)投資者開(kāi)放B股市場(chǎng)以及同年6月12日國(guó)務(wù)院發(fā)布《減持國(guó)有股籌集社會(huì)保障金管理暫行辦法》后,滬深股市一直低迷不振,進(jìn)入熊市[7],2005年6月6日,上證指數(shù)跌破1 000點(diǎn)大關(guān),隨后股市開(kāi)始單邊上漲,進(jìn)入牛市,2007年10月16日,上證指數(shù)達(dá)到開(kāi)市以來(lái)最高點(diǎn)6 124點(diǎn).而后,受到金融風(fēng)暴等因素的影響,自2008年暴跌后,股市又呈現(xiàn)頹靡的熊市.因此將上證指數(shù)數(shù)據(jù)劃分為3個(gè)序列,序列1的時(shí)間跨度為2001年6月13日至2005年6月5日,共957個(gè)數(shù)據(jù);序列2的時(shí)間跨度為2005年6月6日至2009年5月5日,共954個(gè)數(shù)據(jù);第3個(gè)序列的時(shí)間跨度從2009年5月6日至2013年4月15日,共958個(gè)數(shù)據(jù).選用的模型為在偏學(xué)生t分布下的ARFIMA(1,d,1)模型,結(jié)果見(jiàn)表3.

        表3 3個(gè)序列在偏學(xué)生t分布下的ARFIMA(1,d,1)模型的估計(jì)結(jié)果

        注:括號(hào)里的值為參數(shù)估計(jì)的p-value值.

        雖然表3中結(jié)果沒(méi)有表2數(shù)據(jù)的結(jié)果理想,長(zhǎng)記憶性沒(méi)有那么顯著,但依然表明不同時(shí)間劃分下不同時(shí)間段的長(zhǎng)記憶效應(yīng)不同.序列1的d值幾乎為0,有理由相信這一時(shí)間段沒(méi)有長(zhǎng)記憶性.序列2的d值也很小,僅為0.025 517,說(shuō)明序列2的長(zhǎng)記憶性也不明顯.相對(duì)來(lái)說(shuō),序列3的長(zhǎng)記憶性比序列1和2的長(zhǎng)記憶性稍稍顯著一些,但也不如上一組數(shù)據(jù),即1998年1月5日到2013年4月15日這一時(shí)間段的收益率序列的長(zhǎng)記憶性明顯.

        4 結(jié) 論

        采用上證指數(shù)作為樣本建立了廣義雙曲線分布簇下的ARFIMA模型,實(shí)證分析結(jié)果表明上證指數(shù)收益率序列具有尖峰厚尾性和非對(duì)稱效應(yīng)的長(zhǎng)記憶特征.針對(duì)不同分布的計(jì)算結(jié)果比較,表明有偏分布更適合用來(lái)擬合上證指數(shù)收益率.由于事件的發(fā)生對(duì)上證指數(shù)有一定的影響,因此,時(shí)間段的選取是一個(gè)重要的因素,不同時(shí)間段的收益率序列的長(zhǎng)記憶效應(yīng)是不同的.另外,將劃分前后不同時(shí)間跨度的時(shí)間序列相比較,可以發(fā)現(xiàn)時(shí)間跨度短的時(shí)間序列的長(zhǎng)記憶性不如時(shí)間跨度長(zhǎng)的時(shí)間序列顯著,但也并不能說(shuō)明時(shí)間越長(zhǎng),長(zhǎng)記憶效應(yīng)越顯著.

        參考文獻(xiàn):

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