張 浩， 侯為波

(淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000)

0 引 言[1]

在現(xiàn)實的投資問題中，有涉及多種資產(chǎn)的風險投資組合.隨著數(shù)學和金融學的不斷發(fā)展，投資者已經(jīng)不滿足于單純盈虧的定性分析，而是希望對風險與收益做出綜合的分析，找出一種收益最大，風險最小的最優(yōu)投資組合.例如，投資市場上有m種投資方式It以供投資者選擇，某投資者有金額為P的資金來進行一段時期的投資.分析人員評估了這m種資產(chǎn)，估算得出要想購買It的風險損失率為Bt，平均收益率為At.因為投資越分散，其總風險就越小，投資人可以確定，當用這些資金來購買若干的資產(chǎn)時，總風險可以被投資方式It中最大的風險所代替.購買It要交交易費，并且若It≤Ut(Ut為定值)，交易費按購買金額計算.還有假定銀行利率為A0(A0=0.04)，并且銀行利率既無風險又無交易費.假定m=4時的相關(guān)數(shù)據(jù)如表1，求在該數(shù)據(jù)下的最優(yōu)風險投資組合.

表1 m=4時最優(yōu)風險投資組合

1 分析問題

由于不確定的資產(chǎn)預(yù)期收益性，使得投資具有風險性，投資者都希望投資的總風險最小而總收益卻最大，所以投資者往往采取投資組合的方法來使風險分散化.在風險損失最小情況下，得到最大的預(yù)期收益的投資組合，就是最優(yōu)的風險投資組合.

此處在討論風險與收益的基礎(chǔ)上，給出相關(guān)數(shù)據(jù)，通過分析、計算，找出最優(yōu)的風險投資組合.其中最優(yōu)是指：1) 在收益一定的情況下風險最小；2) 在風險一定的情況下收益最大.每個投資者的投資心態(tài)和環(huán)境不同，只能根據(jù)大部分的投資情況找到一個大多數(shù)投資者都能接受的風險范圍內(nèi)所得到的收益最大的投資方案.

2 建立最優(yōu)風險投資組合模型

每種投資所需的交易費為Ct，根據(jù)交易費的計算規(guī)則得出

(1)

如果不投資It，則Kt=0，可得出Ct=0，即若不投資It就不必支付交易費；若投資It，則投資金額P×Kt與交易額支付定值Ut做比較，取兩者之中大的與該投資的交易費率相乘，即為該投資所要支付的交易費.

(2)

最后對投資的總風險與凈收益做出個雙規(guī)劃模型

(3)

(4)

在式(4)中，第1個目標函數(shù)是求最大值的，而第2個目標函數(shù)是非線性的，這就使得求解很麻煩.要想辦法把非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，把求最大值轉(zhuǎn)化為求最小值，于是就得到了模型(5)

(5)

3 模型求解

模型(5)是有約束條件的雙目標線性規(guī)劃求最優(yōu)解的問題，用偏好系數(shù)加權(quán)法，將模型中的兩個目標加權(quán)重合得到一個單目標線性規(guī)劃[3].設(shè)s和1-s分別表示為投資者對總風險和凈收益的權(quán)重.于是原模型就變?yōu)閱文繕司€性規(guī)劃問題

(6)

其中權(quán)重數(shù)s與1-s分別表示投資者對總風險大小和凈收益大小的重視程度，s的取值范圍為[0，1]，s的取值越大，說明投資者對總風險重視程度越大.當1-s=1，s=0，說明投資者只關(guān)心凈收益而忽略總風險，這是種投機心理；當1-s=0，s=1，說明投資者只關(guān)心風險程度而不關(guān)心凈收益，該投資者非常的穩(wěn)重.

假設(shè)當s=0.5時，解得結(jié)果為

x=[0.126 9，0.502 4，0.227 9，0.142 8]

4 小 結(jié)

由于投資者的投資心態(tài)與投資環(huán)境不同，所以模型對兩種決策因素采取了偏好系數(shù)加權(quán)的方法.這里的最優(yōu)方案是在某一個特定的偏好系數(shù)下收益期望值較高而風險較小的投資方案.實際上，在求解過程中，不同的偏好系數(shù)所得到的最優(yōu)方案也是不一樣的.

參考文獻：

[1] 安實，王健，趙澤斌.風險投資理論與方法[M].北京：科學出版社，2006

[2] 張春寧，蔡敬梅，張延鋒.一種新的風險投資組合模型構(gòu)建方法[J].統(tǒng)計研究，2003，20(11)：57-63

[3] 茆詩松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M].北京：高等教育出版社，2004