李光輝， 張 洪， 葉緒國

(1. 凱里學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 凱里 556011；2. 東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，南京 210096)

1 問題的提出

含有p-1個(gè)自變量的理論線性回歸模型一般形式為

y=Xβ+e，E(e)=0， Cov(e)=σ2I

(1)

其中y為n×1的觀測向量，X為n×p的已知設(shè)計(jì)陣，且rank(X)=p，e為n×1的隨機(jī)誤差向量，模型中n次觀測到的數(shù)據(jù)記為Ai=(yi,xi1,…,xi,p-1)，i=1,2,…,n，并記W={A1,A2,…,An}為n組觀測值所組成的樣本空間，Ai為其中的樣本點(diǎn).對于模型(1)，通過最小二乘法可獲得β的LSE，建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

(2)

記Lj={Aj1,Aj2,…,Ajnj}是由W中的nj個(gè)樣本點(diǎn)所組成的子樣，即Lj?W,j1,j2,…,jnj為自然數(shù)1，2，…，n中的nj個(gè)數(shù).易知，W中共包含2n個(gè)子樣.

現(xiàn)考慮以下情形：若W中存在m個(gè)子樣L1,L2,…,Lm，且滿足p+1≤nj≤n-1,j=1,2,…,m,即在這m個(gè)子樣下建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程和參數(shù)β的LSE為

(3)

這k個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程與總數(shù)據(jù)下的回歸方程(2)具有較大的差別，且擬合效果明顯優(yōu)于式(2).以一元線性回歸為例，圖1給出了兩組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖及擬合直線.

圖1 子樣下的經(jīng)驗(yàn)回歸方程與總體回歸方程的差別示意圖

如圖1示，兩組數(shù)據(jù)下所建立的回歸方程都通過了R檢驗(yàn)，在W下的R2都大于0.7，說明兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系都顯著，但圖1(a)中數(shù)據(jù)取得兩組子樣下所建立的回歸方程與總回歸方程差別較大，但擬合效果更佳；圖1(b)中的散點(diǎn)呈明顯分段，用3段擬合所得的回歸方程擬合效果明顯優(yōu)于總回歸直線，所以，在以上兩種線性關(guān)系都顯著的情形下，對總回歸方程的擬合效果仍然提出質(zhì)疑.

同理，在多元回歸模型中，即使總回歸方程通過了F檢驗(yàn)，且每個(gè)自變量系數(shù)都通過了t檢驗(yàn)，若以均方誤差來度量回歸方程的擬合效果，在W中的k個(gè)子樣下的回歸方程與總回歸方程差別較大，且具有更小的均方誤差，但總回歸方程的擬合效果欠佳.

所以，線性模型的同一性就是指，在總回歸方程顯著的條件下，對于?Lj?W，在Lj下建立的子樣回歸方程(3)與總回歸方程(2)之間不存在較大差別，擬合效果相近.線性模型的同一性檢驗(yàn)就是對k個(gè)子樣作如下檢驗(yàn)：

H0：β(j)=β,j=1,…,m； H1：β(j)不全等于β

(4)

張雙林[1，2]對多組自相關(guān)數(shù)據(jù)服從同一模型作了假設(shè)檢驗(yàn).此處在此基礎(chǔ)上，利用文獻(xiàn)[3]中的方法，提出利用自助法獲得W中的k個(gè)子樣，通過文獻(xiàn)[4]中的結(jié)論，對每個(gè)子樣分別建立回歸方程，檢驗(yàn)整體數(shù)據(jù)W是否服從同一線性模型，并導(dǎo)出了檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.

2 自助樣本作同一性檢驗(yàn)的可行性

設(shè)從W中取出m個(gè)完全不同的自助樣本，并保證每個(gè)自助樣本下的已知設(shè)計(jì)陣X(j)都是列滿秩的，記為

Lj={Aj1,Aj2,…,Ajnj}，j=1,2,…,m，p+1≤nj≤n-1

(5)

特別地，每個(gè)自助樣本中取a個(gè)樣本點(diǎn)，若a≤ni，i=1,2，…,k，則取到這些子樣的概率為

若a≥ni時(shí)，i=1,2，…,k，取到這些子樣的概率為

所以，不論以何種方式獲得自助樣本，只要W含有不滿足同一性的子樣越多，就會(huì)導(dǎo)致取到該子樣的概率越大，進(jìn)一步構(gòu)造的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中也會(huì)含有更多與總模型相悖的信息.

3 同一性檢驗(yàn)

設(shè)m組自助樣本下的理論線性回歸模型為

yij=β10+βi1xi1j+…+βi(p-1)xi(p-1)j+eij,i=1,…,m,j=1,…,nj

(5)

其中yij和eij分別表示第i組自助樣本下的第j次的觀測值和隨機(jī)誤差，βik表示第i組自助樣本下的第k個(gè)未知參數(shù)，xikj表示第i個(gè)自助樣本下的第k個(gè)變量的第j次觀測值，k=1,2，…,p-1.將模型(5)記為矩陣形式得

y(i)=X(i)β(i)+e(i),e(i)～N(0,σ2Ini),i=1,2，…,m

(6)

(7)

現(xiàn)需要檢驗(yàn)的假設(shè)(4)可記為

(8)

下面計(jì)算模型(6)下的殘差平方和SSe與約束殘差平方和SSHe.

(9)

(10)

由式(9)(10)得

由于SSHe-SSe～χ2(p)，SSe～χ(N+n-(m+1)p)且兩者相互獨(dú)立，則可得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

(11)

有F～F(p,N+n-(m+1)p)，對于給定的水平α，若F>Fα(p,N+n-(m+1)p)，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為模型不滿足同一性，此時(shí)不認(rèn)同模型具有良好的預(yù)測水平.

由此得到的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

更進(jìn)一步，若每個(gè)自助樣本中的樣本容量都為α，此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為F～F(p,m(a-p)+n-p).

參考文獻(xiàn)：

[1] 張雙林，沙秋英.k組多元自相關(guān)數(shù)據(jù)服從同一模型的假設(shè)檢驗(yàn)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1995，18(4)：518-527

[2] 張雙林，陳超. 線性模型的等價(jià)性檢驗(yàn)[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，14(1)：1-8

[3] 王松桂.線性模型引論[M]. 北京：科學(xué)出版社，2004

[4] 胡雪梅，吳代紅，李楠.基于原始自助法估計(jì)異方差線性模型[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，27(1)：15-17