潘嘉凝 王萬平

(上海建筑設計研究院有限公司，上海200041)

1 造型元素

1.1 點

點是最基本的圖元，是由三個空間坐標定義的一個位置。點沒有大小，但有位置。為確定點的位置，首先在空間中設置任意一點作為原點。然后，就可以定義某個點的位置在原點左側(或右側)的多少個單位處、在原點上方(或下方)多少個單位處以及高于(或低于)原點多少個單位。這三個數字提供了該點在空間中的三維坐標(如圖1所示)。

圖1 點

1.2 樣條曲線的歷史

樣條曲線(圖2)屬于曲線類型，在用于計算機建模之前，最初是為造船業(yè)開發(fā)的。船體設計師需要找到一種方法來繪制通過一組點的平滑曲線。[2]

圖2 樣條曲線

解決方法是將壓鐵(稱為節(jié)點)放在控制點上，然后彎曲薄金屬條或木條(稱為樣條)使之通過所有壓鐵。

過渡樣條的物理特性意味著每個壓鐵的影響在接觸點處最大，并沿著樣條均勻遞減。若要更多地控制樣條的某個特定區(qū)域，制圖員只需添加更多的壓鐵即可。

但是此方案在數據交換方面存在明顯的問題。人們需要通過數學方式來描述曲線的形狀。三次多項式樣條曲線是制圖員所用木條的數學表示。將多項式樣條曲線引申后獲得B樣條曲線(即基本樣條曲線)，這種樣條曲線是分段多項式樣條曲線之和。

然后，通過引申 B樣條曲線，創(chuàng)建了一種稱為NURBS的數學表達法，自由曲線曲面造型技術就是使用這種表達法。

1.3 曲線的數學表達法

多項式方程式是Alias所使用的曲線表示法的數學基礎。

1.3.1 多項式方程

從最簡單的數學表達法開始，幾何上可以使用y=kx+b之類的方程式代表一條(二維)直線。對于每個 x值，可以得出 y值，并且可以將這兩個值的關系用函數圖像來表示。此類方程式的一般形式是ax+by=c。等號左側的表達式稱為多項式(多項是指表達式包含多個項)。

另外可以創(chuàng)建更加復雜的表達式，以x乘以自身，即y=x*x*x。不必在項中寫出所有x，通常只是將x相乘的次數以上標形式表示。這種上標稱為“指數”。所以，上面的表達式表示為y=x3。

帶有指數的多項式，例如:y=ax2+bx+c第一個x的指數(2)意味著此函數的圖像是曲線，而不是直線。

1.3.2 階數

多項式方程式的階數是方程式中的最大指數。直線方程式的最大指數是1

·線性方程式的階數是1。

·二次方程式(包含x2項)的階數是2。

·三次方程式(包含 x3項)的階數是3，依此類推。

1.3.3 參數表達法

有兩種常見方法可以創(chuàng)建曲線的表達式。隱式表示法將每個變量組合在一個較長的非線性方程式中，例如:ax3+by2+2cxy+2dx+2ey+f=0。在此表示法中，要計算出x值和y值才能在函數圖像上繪制這些點，因此必須對整個非線性方程式求解。

參數表示法將方程式重寫為較短的、容易解出的方程式，即將一個變量轉換為其他變量的值:x=a+bt+ct2+dt3+…y=g+ht+jt2+kt3+…

使用此表示法后，x和y的方程式就顯得非常簡單只需知道t(要計算x和y值的曲線上的點)的值即可。

通過在空間中移動點，可以繪制參數化曲線?？梢噪S時計算移動點的x值和y值。這個點非常重要，因為許多工具都使用將參數值與線上的每個點相關聯的概念。這與曲線的U維相對應。

1.3.4 創(chuàng)建復雜曲線

曲線方程式的階數越低，所描述的曲線就越簡單。表達復雜曲線最簡單的方法是提高曲線的階數，但是這種方法并非很有效。曲線的階數越高，要求進行的計算就越多。此外，階數高于7的曲線的形狀中容易出現寬幅振蕩，這樣不適合進行交互式建模。

比較好的方法是將階數相對較低(1－7)的曲線方程式接合在一起，形成更長、更復雜的復合曲線的曲線段。曲線段(或跨距)的接合點稱為編輯點。但是，不能完全忽視階數較高的曲線。階數是5和7的曲線具有某些優(yōu)點，例如曲率更加平滑并且更加“繃緊”。此類曲線經常在汽車設計中使用。

1.3.5 平滑接合

一種由汽車行業(yè)開發(fā)且被廣泛所熟悉的曲線是Bezier曲線。Bezier曲線將三次曲線段組合在一起，每個曲線段包含四個控制點(起點、終點以及兩個“操縱點”)。Bezier曲線的問題是曲線段之間的接合未必平滑。

NURBS對此問題的解決方法是，使用上一個跨距的最后控制點作為當前跨距的初始控制點。這樣可以確保曲線段之間平滑接合。

曲線的階數(圖3)決定了跨距之間接合的平滑度。階數是1的(線性)曲線在接合處提供位置連續(xù)性。階數是2的(二次)曲線提供切線連續(xù)性。階數是3的(三次)曲線提供曲率連續(xù)性。

圖3 曲線的階數

2 造型技術的分類

在數字化設計環(huán)境下，造型技術主要分為:

1)Mesh多邊形造型技術，也稱為網格建模技術(圖4左);

2)Nurbs簡稱自由曲線曲面造型技術(圖4右、圖5)。

這兩種主流造型技術的區(qū)別和適用特點(表1):

表1 主流造型技術特點

3 M esh多邊形造型技術

行業(yè)內基于Mesh多邊形建模技術(圖6)的工具主要有:

1)筆刷類:Zbrush，Mudbox;

2)配合硬件操控類:三維掃描抄數儀等;

3)細分曲面類(Sub-Div):Maya;

Mesh造型技術的特點:

1)對曲線曲面的描述不精確;

2)視覺感官的光滑程度與多邊形網格的疏密程度有關，網格越密造型越接近光滑，如圖6;

3)偏感性和直覺化的造型創(chuàng)作方式;

4)適合生物等仿生造型的創(chuàng)建，以滿足視覺效果需求為主;

5)缺乏設計流程的理念;

6)Mesh轉Nurbs比較困難，涉及到逆向工程等專項技術。

圖6 多邊形網格

4 Nurbs自由曲線曲面造型技術

NURBS是非均勻有理B樣條曲線(Non-Uniform Rational B-Splines)。1991年，國際標準化組織(ISO)頒布的工業(yè)產品數據交換標準STEP中，把NURBS作為定義工業(yè)產品幾何形狀的唯一數學方法。[1]

NURBS曲線和NURBS曲面在傳統的制圖領域是不存在的，是為使用計算機進行3D建模而專門建立的。在3D建模的內部空間用曲線和曲面來表現輪廓和外形。

Nurbs特點:

1)真正意義上的曲線曲面;

2)Nurbs造型方式的流程化特點與產品的設計流程類似;

3)能非常好地配合后端制造需要;

4)Nurbs轉Mesh比較容易;

5)制造業(yè)建模的標準數據結構。

結合上述對Nurbs以及Mesh的特點分析比較，可對行業(yè)內主流設計工具按其基于的造型技術進行分類(表2):

表2 主流設計工具基于造型技術分類

另外還有一類工具結合了Nurbs和Mesh/Sub-Div細分表面建模技術的特點，例如 Rhino的TSpline以及CATIA的Image＆Shape，這類造型技術讓使用基于Nurbs作為模型工具的設計師輕松地創(chuàng)作出有機生物和仿生造型。是一種基于NURBS的新建模技術，可以將其稱為NURBS的Sub-Div細分建模工具。由于基于NURBS所以具有NURBS的的基本特性，模型可以做到非常的精確。同時設計人員可以通過簡單的拖，拉，擠等動作就可以做出自由和仿生的造型。而且還具有部分把多邊形模型轉成NURBS的逆向功能。

5 矛盾與對策

之所以從造型技術的原理去研究其準確性、唯一性，是因為建筑設計有別于CG視覺藝術只停留在畫面里。建筑設計的成果是一個看得見摸得著，需要實實在在建造出來的真實的對象。因而考慮如何把造型設計出來只是一個開始，還需研究如何把設計建造出來。

在對造型技術及其工藝特點有了一個基本的概念后，可以得出以下結論:

1)任何精確的造型都是可以描述唯一性的;

2)能描述唯一性的，必定是能以數學方程式表達;

3)Nurbs就是一種能精確描述自由造型的造型技術;

4)傳統圖紙已經無法描述 Nurbs造型的唯一性。

這也是制造業(yè)利用模型數據傳遞設計信息替代二維圖紙的原因之一。

現實矛盾是先進的造型技術與落后的圖紙表達之間的矛盾。畢竟在建筑業(yè)圖紙是具有法律效應的設計資料文件。因此化解這對矛盾最佳的途徑就是“翻譯”。將只有計算機能運算的設計信息翻譯成傳統圖紙能表達的形式，同時翻譯成現場工程技術人員能夠使用，滿足建造工藝的表達式。

常規(guī)的做法有:

1)近似擬合法

暫時犧牲曲線的連續(xù)性，將原本曲率連續(xù)的Nurbs曲線分別為若干近似圓弧，便于施工圖中尺寸標注(圖7-8);

2)控制點定位法

提取模型的造型特征信息，例如三維坐標值(圖9);

3)設計成果封裝交付法

即在交付二維圖紙的同時，提交與二維設計成果匹配的三維設計成果及其衍生數據清冊(圖10)。

由此可見造型技術的工藝特點不僅改變了建筑設計的技法，同時影響著建筑業(yè)內各環(huán)節(jié)和參與方之間溝通協作的思維模式。

使用上述“翻譯”的做法實屬無耐之舉。在任何一次翻譯轉換的過程中，都會或多或少地發(fā)生原始光滑連續(xù)的曲線曲面與轉換后可圖紙表達造型的誤差，這樣就需要有一個范圍，就是公差，用來確定精度。公差越小，精度就越高。

例如三維曲面幕墻的立面展開圖，對復雜的曲面幕墻展開，面積和形狀或多或少會有所變化的，好比一張嶄新的A4紙，被揉搓折皺后再展開永遠恢復不到原來的樣子。但是只要曲面幕墻展開后的面積或者邊界條件與展開前的差值在

6 結語

圖10 設計成果封裝交付法

允許幕墻加工安裝允許公差范圍內，就是滿足工藝要求。

因此公差在實際項目的建筑造型設計中就是后端加工制造工藝精度、材料自身特性應環(huán)境溫度影響產生的應力應變的允許誤差。且任何一個項目都需在設計之初就確定合適的公差，并且一旦設定，中途不能隨意修改。

一個優(yōu)秀的建筑少不了打動人的造型，造型反應出一個時代環(huán)境下人的思想感情、使用要求和審美意識。我們在建筑造型創(chuàng)作中既要突破傳統局限，將傳統與現代科技和時代精神有機結合起來，在構思、造型、藝術有所創(chuàng)新突破。

但受到材料特性、工藝要求、可建造性分析結果和質量工期可控制壓力等因素限制，建筑設計在方案之初就應充分考慮造型技術的工藝特點。要達到怎樣的預期效果等。這些目標和需求明確了，技術指標和技術路線自然也清晰了。

[1]百度百科

[2]Alias Help Document

[3]周培德.計算幾何:算法設計與分析(第3版)[M].清華大學出版社，2008.