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(六安第二中學(xué) 安徽六安 237005)

“平面幾何中的向量方法”是高中數(shù)學(xué)人教A版必修4(以下簡稱“教材”)第2.5節(jié)“平面向量應(yīng)用舉例”第一課時(shí)的內(nèi)容.從實(shí)際教學(xué)來看，不少教師對本節(jié)課不夠重視，通常只是簡單地講解幾道例題、布置幾道練習(xí)，然后讓學(xué)生自己“了解、感受”向量法是解決平面幾何問題的另一種方法，缺乏對教學(xué)目標(biāo)任務(wù)的深刻理解和準(zhǔn)確把握，表現(xiàn)出較大的隨意性.現(xiàn)筆者將自己的教材分析與教學(xué)設(shè)計(jì)概述如下，與同行交流.

1 教材分析

中學(xué)教材中的向量，其幾何背景是有向線段，但二者有所區(qū)別：向量，無需考慮起點(diǎn)的絕對位置，它是可以“自由平移”的，這就大大方便了向量之間的相互轉(zhuǎn)化，使向量的運(yùn)算成為現(xiàn)實(shí).正如“教材”中所說：“因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限；如果不能進(jìn)行運(yùn)算，向量只是示意方向的路標(biāo).”也正是基于向量所具有的幾何背景及其強(qiáng)大的運(yùn)算功能，才使得向量方法成為解決幾何問題的重要途徑.它把一個(gè)思辨過程變成了一個(gè)算法過程，可按一定的程序進(jìn)行運(yùn)算操作，從而降低了思考問題的難度，具有一定的優(yōu)越性，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以體會.

用向量方法解決平面幾何問題，是RMI原理應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的典型體現(xiàn).RMI(relation mapping inversion)原理即“關(guān)系—映射—反演”原理，它是一種以聯(lián)系的觀點(diǎn)、通過尋找恰當(dāng)映射實(shí)現(xiàn)化歸的問題解決策略，屬于較高層次的化歸.在高中數(shù)學(xué)中，對數(shù)法、向量法、復(fù)數(shù)法、解析法、參數(shù)法、換元法、變換法等，都是RMI原理的具體應(yīng)用.具體到本節(jié)課，即是將平面幾何中元素之間的關(guān)系“映射”為平面向量之間的關(guān)系，然后將向量運(yùn)算的結(jié)果“反演”為幾何結(jié)論，這樣，就解決了原有的平面幾何問題.“教材”中給出的用向量方法解決幾何問題的“三步曲”，實(shí)際上就是RMI原理的思維過程.RMI原理的應(yīng)用，可以鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性.

本節(jié)課的“教材”內(nèi)容，主要由下面2道例題構(gòu)成：

圖1 圖2

例2如圖2，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AD,DC邊的中點(diǎn)，BE,BF分別與AC交于點(diǎn)R,T，你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎？

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

在義務(wù)教育階段，學(xué)生主要是利用綜合法研究平面幾何，通過演繹推理獲得幾何結(jié)論，經(jīng)常需要作輔助線、構(gòu)造圖形，規(guī)律性不強(qiáng),難度較大.因此，本節(jié)課的教學(xué)，應(yīng)著力于培養(yǎng)學(xué)生的“向量意識”——用向量的“眼光”理解幾何問題中的條件和結(jié)論、用向量的“手段”進(jìn)行“推理論證”；應(yīng)適時(shí)對比，讓學(xué)生充分體驗(yàn)到向量法解決幾何問題的優(yōu)勢，增強(qiáng)學(xué)習(xí)新知的主動性和積極性；應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、提煉，并在以后的教學(xué)中尋找時(shí)機(jī)以繼續(xù)強(qiáng)化向量的工具作用，不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，避免出現(xiàn)向量法在學(xué)生腦中“曇花一現(xiàn)”、“雁過無痕”的結(jié)果.

3 教學(xué)目標(biāo)

初步掌握并總結(jié)、歸納以向量和向量的運(yùn)算為工具研究幾何元素及其關(guān)系的方法(常用的是基向量法和坐標(biāo)法)，體會向量法的優(yōu)越性；通過用向量法加強(qiáng)解決平面幾何問題的探索，加深對向量知識的理解，感悟其中蘊(yùn)含的等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，發(fā)展學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的能力.

4 教學(xué)過程

設(shè)計(jì)1突顯“障礙”，激發(fā)求知欲，引入課題.

上課伊始，教師出示一道平面幾何題：

圖3

例3如圖3，在正方形ABCD中，設(shè)點(diǎn)P是對角線AC上任意一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，請問，直線DP與直線EF的位置關(guān)系如何？試證明你的結(jié)論.

教師讓學(xué)生根據(jù)題目條件，結(jié)合圖形猜想結(jié)論，進(jìn)而嘗試用幾何知識證明自己的猜想.當(dāng)學(xué)生一時(shí)難以找到思路時(shí)，教師指出：“幾何中的線段，一旦有了方向，它就成為一個(gè)向量；我們可以用向量的眼光去看待幾何元素，用向量方法解決幾何問題”(板書課題).

設(shè)計(jì)意圖從一道看似并不復(fù)雜的平面幾何問題入手，學(xué)生不難猜想出結(jié)論，可是用傳統(tǒng)的幾何方法很難證明.當(dāng)學(xué)生處于“憤悱”狀態(tài)時(shí)，自然點(diǎn)明本節(jié)課的教學(xué)主題.

設(shè)計(jì)2降低“起點(diǎn)”，回歸“經(jīng)典”，初識“向量法”.

在解決例3之前，先看初中學(xué)過的2個(gè)經(jīng)典定理(PPT展示，包括幾何證法)：

圖4 圖5

定理2(勾股定理)如圖5，△ABC中，∠ACB=90°，求證：AC2+BC2=AB2.

教師提出：你能借助向量知識證明這2個(gè)定理嗎？引導(dǎo)學(xué)生思考：

問題1你能用向量把這2個(gè)定理的條件和結(jié)論分別表示出來嗎？

問題2請仔細(xì)觀察結(jié)論中的向量與條件中的向量之間的內(nèi)在聯(lián)系，借助向量運(yùn)算證明定理.

以定理1為例，

問題3比較每個(gè)定理的幾何證法與向量證法，你有什么體會？

利用痕跡檢驗(yàn)技術(shù)對嫌疑車輛進(jìn)行檢驗(yàn)鑒定是運(yùn)用最多，也是最為關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)。一方面，它可以認(rèn)定肇事車輛，為國家、集體、個(gè)人挽回?fù)p失，為打擊犯罪提供證據(jù)，另一方面，可以排除非肇事車輛，使無辜者免收損失。

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生一開始對向量工具較為陌生，需要通過低起點(diǎn)、漸進(jìn)式的問題引導(dǎo)學(xué)生的思維.三角形中位線定理與勾股定理是學(xué)生非常熟悉的平面幾何經(jīng)典定理，其向量證法簡單明了、互補(bǔ)性強(qiáng)(涵蓋了向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算)，與幾何證法對比鮮明，有利于學(xué)生形成初步的“向量意識”、“向量眼光”與“向量思維”，為例題的順利解決奠定基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)3層層引導(dǎo)，探究例題，再識“向量法”.

現(xiàn)在，我們嘗試用向量方法探究例題.

問題4你能分別用向量刻畫例3中DP與EF可能的位置關(guān)系嗎？

問題8用向量法求解平面幾何問題，通常有哪些步驟、方法？

師生共同歸納，得出：(1)向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：幾何元素向量化→向量運(yùn)算關(guān)系化→運(yùn)算結(jié)果幾何化；(2)幾何元素轉(zhuǎn)化為向量的途徑：基向量法和坐標(biāo)法.

教師可進(jìn)一步指出：由平面向量基本定理可知，2個(gè)不共線向量就能夠表示出平面上任意一個(gè)幾何元素，從而可將“凌亂”的幾何對象變得有條理，使思維指向更加明確；加之向量運(yùn)算兼具幾何與代數(shù)的雙重功能，這就使得幾何圖形中的平移、共線、垂直、相似、距離、角度等都可以通過向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算表示出來，可以降低思考的難度，正所謂“向量因運(yùn)算而力量無限”.

設(shè)計(jì)意圖通過“問題串”的層次性引領(lǐng)，使學(xué)生經(jīng)歷一次完整的用向量法求解幾何問題的思維過程，初步掌握用向量法求解幾何問題的方法程序，體會到向量作為一種工具的應(yīng)用價(jià)值以及其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.平面向量基本定理是用向量表示幾何元素的理論基礎(chǔ)，向量運(yùn)算則是幾何元素中“已知”與“未知”的聯(lián)系紐帶，保證了“三步曲”的合理性、有效性，教師應(yīng)適時(shí)加以提煉、升華.

設(shè)計(jì)4獨(dú)立思考，嘗試應(yīng)用，鞏固“向量法”.

課堂練習(xí)1如圖6，在ABCD中，已知邊AB=m,AD=n，對角線AC=p，求對角線BD的長.你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與2條鄰邊長度之間滿足怎樣的等量關(guān)系嗎？

圖6 圖7

課堂練習(xí)2如圖7，在Rt△HAB中，∠H=90°，HA=6，HB=4，C,D分別為HA,HB的中點(diǎn)，求2條直角邊中線所成鈍角的余弦值.

學(xué)生獨(dú)立作答，教師巡視指導(dǎo)，并對學(xué)生的解答情況進(jìn)行點(diǎn)評(略).

圖8

設(shè)計(jì)意圖“課堂練習(xí)1”求解的是長度問題，它是將教材例1適當(dāng)改編后得到的，改編的主要目的是避免在題目中直接將幾何元素用“基向量”表示出來，而是讓學(xué)生自主思考選擇；同時(shí)，改編后的求解目標(biāo)也更為明確.“課堂練習(xí)2”求解的是角度問題，學(xué)生可以選擇“基向量法”或坐標(biāo)法，根據(jù)向量的夾角公式算出結(jié)果.由于學(xué)生之前沒有學(xué)習(xí)過余弦定理，因此，這2個(gè)課堂練習(xí)用向量法處理比用幾何法處理要簡單得多，可以進(jìn)一步提升學(xué)生運(yùn)用向量知識解題的意識與能力.“課后練習(xí)”則是“動中求定”，訓(xùn)練學(xué)生從向量的角度認(rèn)識和處理共線問題，體現(xiàn)了特殊到一般思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等.

課堂小結(jié)、作業(yè)(略).

(本文是安徽教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)教師MPCK發(fā)展的實(shí)踐研究”階段性成果，項(xiàng)目批準(zhǔn)號：JG13317.)

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修4[M].北京：人民教育出版社，2011.

[2] 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].2版.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3] 徐利治.數(shù)學(xué)方法論選講[M].武漢：華中工學(xué)院出版社，1983.

[4] 蔣亮.感悟“RMI原理”[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2012(7)：6-10.