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(如皋市第一中學(xué) 江蘇如皋 226500)

“學(xué)起于思，思源于疑”，質(zhì)疑是反思的基礎(chǔ)，反思是質(zhì)疑的深化.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，當(dāng)解完一道題后，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行有效的反思，反思解題過程的方方面面.反思過程中不對學(xué)生的反思作任何限制，充分保護(hù)學(xué)生反思的積極性，鼓勵(lì)學(xué)生對自己的想法進(jìn)行探究，從解題過程中產(chǎn)生更多的思考，從成敗中品味數(shù)學(xué)的苦與樂.長期堅(jiān)持下來，學(xué)生就會形成反思的好習(xí)慣，也會形成適合自己的一套反思方法，學(xué)生分析、解決問題的能力就會在不知不覺中得到提高.下面謹(jǐn)以教學(xué)過程中一道聯(lián)考題的反思引發(fā)的探究為例，把探究帶來的驚喜與大家共享.

(1)求證：點(diǎn)C在一個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)，并求出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)設(shè)直線l:mx+2ny-2=0.

①判斷直線l與第(1)小題中橢圓的位置關(guān)系，并說明理由；

②過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)H，證明：點(diǎn)H在定圓上，并求出該定圓的方程.

(2014年江蘇省重點(diǎn)高中高三聯(lián)考試題)

(m2+2n2)x2-4mx+4(1-n2)=0，

判別式Δ= 16m2-16(m2+2n2)(1-n2)=

②猜想：若點(diǎn)H在定圓P上，則當(dāng)點(diǎn)C在(0，1)時(shí)，H(-1，1)；當(dāng)點(diǎn)C在(0，-1)時(shí)，H(-1，-1),故圓心P必在x軸上.

其中2n2=2-m2，則

因此點(diǎn)H在定圓x2+y2=2上．

反思1第(2)小題中第①題直線l與第(1)小題中的橢圓相切.在直線與圓中，切線與圓心和切點(diǎn)連線的斜率乘積為-1，那么橢圓上任一點(diǎn)處的切線與中心和切點(diǎn)連線的斜率乘積為多少呢？是否也是定值？

反思3第(2)小題中第②題參考答案中通過特殊點(diǎn)探索出定圓的圓心及半徑，從而為下面一般性的證明指明了方向.如果沒能通過特殊位置找出定圓，該如何把握計(jì)算方向呢？有沒有其他計(jì)算方法可以求出定圓？

因?yàn)辄c(diǎn)C(m，n)在橢圓上，所以m2+2n2=2，將m，n代入化簡可得x2+y2=2.

反思4上述2種計(jì)算方法的目標(biāo)都是找出題意中的直接關(guān)系，采用了不同的消去途徑，思路清晰但計(jì)算均比較繁瑣，有沒有其他簡單的消去方法？

再將這2個(gè)式子平方相加，可得

(m2+4n2)x2+(m2+4n2)y2=4(1+n2),

將m2+2n2=2代入，得

(2+2n2)x2+(2+2n2)y2=4(1+n2),

從而

x2+y2=2.

這種整體消去法簡化了思維，避免了繁雜的運(yùn)算.解題過程中達(dá)到目標(biāo)的途徑有多種，要將多種方法進(jìn)行比較，從中優(yōu)選方法，方可避免復(fù)雜的運(yùn)算.

反思5第②題最終的定圓為x2+y2=2，而橢圓的長半軸長的平方也為2，即x2+y2=a2，這是一種巧合，還是一種必然？結(jié)合此題的圖形聯(lián)想到非常類似的一道軌跡題：

圖1 圖2

結(jié)合此題筆者產(chǎn)生一個(gè)大膽的想法：難道此題中的切線為角的外角平分線嗎？若是，則此題可模仿上題采用定義法求出定圓方程.筆者對一般情況進(jìn)行了大膽地推理與證明，如下：

證法1(直接證法)延長直線AC和BC，傾斜角及直線的夾角如圖2所示.根據(jù)對稱性不妨設(shè)點(diǎn)C位于第一象限，由題意可知

結(jié)合圖形可得

α=θ+(π-γ),β=γ-φ,

因?yàn)辄c(diǎn)C(m,n)在橢圓上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2,

所以

因?yàn)辄c(diǎn)C(m,n)在橢圓上，可得

即

b2m2+a2n2=a2b2，

所以

圖3

證法2(間接證法)由于一個(gè)角的內(nèi)角平分線與外角平分線互相垂直，因此要證明直線l為∠ACB的外角平分線，只需證明直線l與∠ACB的內(nèi)角平分線垂直即可.

為此，設(shè)∠ACB的內(nèi)角平分線為CE(如圖3)，且交x軸于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(t,0)，由角平分線的性質(zhì)定理可得

即

從而

由焦半徑公式可得

即

kl·kCE=-1,

即

l⊥CE,

可得直線l為∠ACB的外角平分線.

通過上述2種證法可知橢圓上任一點(diǎn)處的切線即為該點(diǎn)對兩焦點(diǎn)張角的外角平分線，由外角平分線及切線的唯一性可得：橢圓上任一點(diǎn)對兩焦點(diǎn)張角的外角平分線也是橢圓上該點(diǎn)處的切線.

反思是對思維過程、思維結(jié)果進(jìn)行再認(rèn)識的檢驗(yàn)過程.世界著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾教授指出：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心和動(dòng)力.”“沒有反思，學(xué)生的理解水平不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平.”可見，反思在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要.通過反思學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)成為探究性、研究性的活動(dòng)，也可以增強(qiáng)學(xué)生的能力，提高學(xué)生的創(chuàng)造力，促進(jìn)他們的全面發(fā)展.因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)該重視學(xué)生的反思學(xué)習(xí)，積極創(chuàng)造反思條件，引導(dǎo)學(xué)生自覺反思，由反思引發(fā)探究，從而為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)帶來更多的驚喜.