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(黃灣中學(xué) 安徽靈璧 234213)

對于不等式恒成立問題，參數(shù)范圍的確定是一種較為常見的問題，主要表現(xiàn)為以下幾類：(1)在給定區(qū)間上不等式恒成立；(2)不等式的解集為全體實(shí)數(shù)；(3)解析式的值恒大于(等于或小于)某值；(4)函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù).由于此類問題知識覆蓋面較廣，綜合性很強(qiáng)，對解題的靈活性要求高，因此對學(xué)生來說有較大的難度.其實(shí)，若能靈活利用知識，對于不等式恒成立問題，其參數(shù)范圍還是容易確定的.

1 利用一次函數(shù)的保號性

若原題可轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)型，則可利用一次函數(shù)的保號性求解，過程將會(huì)變得簡捷.

例1已知y=(log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1>0(其中a>0,a≠1)，當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，y的值恒為正，求b的取值范圍.

解由

y= (log2x-1)(logab)2+log2x-6log2x·logab+1=

[(logab)2-6logab+1]log2x-(logab)2+1.

設(shè)t=log2x，x∈[1,2]，則

y=f(t)=[(logab)2-6logab+1]t-(logab)2+1，

其中t∈[0,1]，于是該問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)t∈[0,1]時(shí)，f(t)>0恒成立，求b的取值范圍.由

解得

故當(dāng)a>1時(shí)，

當(dāng)0

即

亦即

從而

解得

2 利用二次函數(shù)的判別式

例3不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0對x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(1)當(dāng)a=1時(shí)，-1<0，不等式恒成立；當(dāng)a=-1時(shí)，不等式對x∈R不恒成立.

(2)當(dāng)a2-1≠0時(shí)，有

解得

綜上可得

( )

A.-7 B.6 C.7 D.8

2-ax-x2<3(1-x+x2)，

即4x2+(a-3)x+1>0對任意x∈R恒成立，故

Δ=(a-3)2-16<0，

解得

-1

由題意知t1+t2=-1+7=6.故選B.

3 分離參數(shù)利用函數(shù)的最值

若原題較容易分離出變量，而令一邊為常見函數(shù)，則可轉(zhuǎn)化為這些常見函數(shù)的最值問題求解.

例5若不等式sin2x+2acosx-a2+2a-3<0對任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，求a的取值范圍.

解原不等式可化為

cos2x-2acosx+a2-2a+2>0,

設(shè)t=cosx，則

f(t)=t2-2at+a2-2a+2=

(t-a)2-2a+2，

其中t∈[-1,1]，從而問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(t)>0在t∈[-1,1]上恒成立，即f(t)在t∈[-1,1]上的最小值大于0.

于是a的取值范圍為(-∞,1)∪(3,+∞).

例6設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-2x+2對10，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解由題設(shè)得

即

4 設(shè)參引元，利用函數(shù)的單調(diào)性

適當(dāng)?shù)匾M(jìn)新變量進(jìn)行代換，可以簡化原題的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化和變通.

解由f(x)是奇函數(shù)，知

f(-2)=-f(2)，

則

f(sin2x-msinx+m)>f(2).

又f(x)是減函數(shù)，知

sin2x-msinx+m<2,

令sinx=t，則0≤t<1，從而

t2-mt+m<2，

即

m(1-t)<2-t2，

解得

[g(t)]min=g(0)=2，

從而

m<2.

例8已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2-2x+y2=0，求使x+y+k≥0恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.

解將x2-2x+y2=0化為

(x-1)2+y2=1.

因?yàn)?/p>

5 先探索猜測，再證明

分析本題若直接求解難度會(huì)很大，為此可從簡單情形入手：

當(dāng)n=2時(shí)，滿足條件的m的取值范圍為m≤41；

當(dāng)n=3時(shí)，滿足條件的m的取值范圍為m≤44；

當(dāng)n=4時(shí)，滿足條件的m的取值范圍為m≤45；

……

為此有如下猜測：m的取值范圍為m≤41.

6 以形代數(shù)，化抽象為直觀

改變觀察和思考問題的角度，采用數(shù)形結(jié)合的方法求解不等式恒成立中參數(shù)的范圍，能使問題化抽象為直觀，取得避繁就簡的效果.

例10若|x+3|+|x|≥m對任意x∈R恒成立，求m的取值范圍.

分析顯然只要求得|x+3|+|x|的最小值即可，而|x+3|+|x|的幾何意義是數(shù)軸上到-3的點(diǎn)的距離與到原點(diǎn)的距離之和，此和的最小值從數(shù)軸上不難知道是3，故m≤3.

圖1

7 多法并用，一題多解

對于有些不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，由于綜合性強(qiáng)，涉及的知識點(diǎn)多，在求解時(shí)，需要綜合利用各方面的知識，找到多種求解方法.這有利于提高我們思維的靈活性和創(chuàng)新能力.

例12已知不等式2x2-9x+m≤0在區(qū)間[2,3]上恒成立，求m的取值范圍.

解法1(解不等式)根據(jù)題意，不等式的解集非空，Δ≥0，此時(shí)解集為

故

解得

m≤9且m≤10，

故

m≤9.

點(diǎn)評求出不等式的解集，根據(jù)解集與給定區(qū)間的關(guān)系列出含有參數(shù)的不等式或不等式組，從而獲解.這是一種常規(guī)思路，求解過程通常較繁瑣.

解法2(討論方程的根)根據(jù)題意，方程2x2-9x+m=0有實(shí)根，且2個(gè)根分別在區(qū)間(-∞,2]，[3,+∞)上.

設(shè)f(x)=2x2-9x+m，則f(2)≤0且f(3)≤0，從而m≤9且m≤10，故m≤9.

點(diǎn)評不等式的解往往與方程的根有聯(lián)系，不等式的解集中的端點(diǎn)常常是對應(yīng)方程的根，因此當(dāng)原不等式為二次不等式時(shí)，應(yīng)與韋達(dá)定理、實(shí)根分布相聯(lián)系.

解法3(函數(shù)的最值)

(1)從數(shù)的角度看.

方法1設(shè)f(x)=2x2-9x+m，x∈[2,3]，問題等價(jià)于f(x)max≤0，而

得

m-9≤0，

即

m≤9.

方法2(分離參數(shù)法)問題等價(jià)于不等式m≤-2x2+9x在區(qū)間[2,3]上恒成立.

設(shè)g(x)=-2x2+9x，x∈[2,3]，則問題等價(jià)于m≤g(x)min，而

即m≤9.

(2)從形的角度看.

方法1當(dāng)x∈[2,3]時(shí)，f(x)=2x2-9x+m的圖像始終不高于直線y=0，也就是函數(shù)f(x)=2x2-9x+m的圖像的最高點(diǎn)在直線y=0的下方或者在該直線上，即f(3)≤0，從而m≤9.

方法2(分離參數(shù)法)問題等價(jià)于不等式m≤-2x2+9x在區(qū)間[2,3]上恒成立.

點(diǎn)評通過對該例(最常見的恒成立問題)的一題多解，揭示了含參數(shù)不等式恒成立問題實(shí)質(zhì)上體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系.因此求解此類問題常常從不等式的解、方程的根、函數(shù)的最值這幾個(gè)方面入手，結(jié)合圖形，靈活轉(zhuǎn)化，選擇最佳解題策略.