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(秀州中學(xué)分校 浙江嘉興 314000)

數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題是在歷史長(zhǎng)河中形成，并對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展、應(yīng)用和教學(xué)等方面起過(guò)或仍起著重要作用的問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題往往由于其深刻性、趣味性，讓學(xué)生充滿(mǎn)新奇.通過(guò)數(shù)學(xué)經(jīng)典問(wèn)題的研究，可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想．

“12球稱(chēng)重問(wèn)題”是一個(gè)適合初中學(xué)生研究的問(wèn)題，是讓學(xué)生學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸、代換等數(shù)學(xué)思想的好素材．在數(shù)學(xué)競(jìng)賽課堂上，筆者經(jīng)過(guò)研究，決定從2個(gè)球的稱(chēng)重開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生研究，通過(guò)一個(gè)個(gè)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題，激起學(xué)生的求知欲，在不斷地挑戰(zhàn)中探索稱(chēng)球的方法．

1 課堂實(shí)錄

1.1 巧妙鋪墊，自然引入

師：同學(xué)們，在數(shù)學(xué)中，我們可以比較2個(gè)數(shù)的大??；在生活中，我們也可以比較2個(gè)量的大?。F(xiàn)在有2個(gè)球，如何比較它們的輕重？

生1：用手來(lái)掂量，用天平，用彈簧秤……

師：如果A球重于B球，B球重于C球，如何比較A球和C球的輕重？

生2：A球重于C球．

師：我們有沒(méi)有用到天平?。?/p>

(全體學(xué)生笑了.)

師：要比較若干個(gè)球的輕重，除了用到天平等衡器外，我們也可以用數(shù)學(xué)方法，比如剛才就是用到了不等式中的“傳遞性”，這需要我們開(kāi)動(dòng)腦筋.現(xiàn)在有外觀相同的若干個(gè)球，其中有1個(gè)次品球，重量與正品球有細(xì)微的差別，手頭有一架沒(méi)有砝碼的天平，我們來(lái)研究如何用最少的次數(shù)來(lái)尋找次品．

(教師板書(shū)課題“稱(chēng)球問(wèn)題”.)

師：我們先來(lái)看問(wèn)題，2個(gè)球中有1個(gè)次品，且已知次品偏重．(問(wèn)題1)

生3：稱(chēng)量1次，天平向下傾斜的一方為次品．

師：好．若3個(gè)球呢？(問(wèn)題2)

生4：1次．

師：如何稱(chēng)量？

生4：先任意稱(chēng)量2個(gè)球，若平衡，則第3個(gè)球?yàn)榇纹?；若不平衡，則向下傾斜的一方為次品．

師：很好！若不知次品的輕重呢？(問(wèn)題3)

生5：2次．

師：如何稱(chēng)量？

生5：先任意稱(chēng)量2個(gè)球，若平衡，則第3個(gè)球?yàn)榇纹?，將次品和正品稱(chēng)量1次即可知次品的輕重；若不平衡，則說(shuō)明第3個(gè)球?yàn)檎?，將正品和?個(gè)球中任意一球稱(chēng)量1次，便可分析出結(jié)論．

1.2 適度拓展，拾階而上

師：很好！下面我們討論的問(wèn)題都需要指出次品的輕重．下面看第4個(gè)問(wèn)題，若有6個(gè)球呢(問(wèn)題4)？

(教師引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考后討論，安靜的教室一下子熱鬧起來(lái).)

生6：2次不行，至少3次．

師：說(shuō)說(shuō)你的方案．

生6：分3組，每組2個(gè)．把2個(gè)球放天平左邊，另2個(gè)球放右邊，若平衡，則次品在剩下的2個(gè)球中，再稱(chēng)2次一定可找到次品并知輕重；若不平衡，則次品在已比較的4個(gè)球中；第2次稱(chēng)時(shí)，可以分別拿下1個(gè)球，再分別放上2個(gè)正品，若平衡，則次品在拿下的2個(gè)球中，否則就在另外2個(gè)球中，再稱(chēng)1次，必能找到次品并知輕重．

生7：我把6個(gè)球編號(hào)，分別記為1，2，3，4，5，6．把1，2號(hào)球放天平左邊，3，4號(hào)球放天平右邊，若平衡，則次品為5或6號(hào)球，再稱(chēng)2次一定可找到次品并知輕重；若不平衡，將3，4號(hào)球分別換成5，6號(hào)球：(1)若平衡，次品為3或4號(hào)球；(2)若不平衡，次品為1或2號(hào)球，再稱(chēng)量1次，可以找到次品并知輕重．

生8：生7的方法就是把2個(gè)球捆綁在一起，在解決問(wèn)題3的基礎(chǔ)上，再稱(chēng)量1次就可以了．

師：這3位同學(xué)都很棒！他們采用了“代換”的思想，生7還將球進(jìn)行編號(hào)，這為我們解決問(wèn)題帶來(lái)了方便，生8將這個(gè)問(wèn)題和問(wèn)題3聯(lián)系起來(lái)，這引導(dǎo)我們解決問(wèn)題要學(xué)會(huì)“轉(zhuǎn)化化歸”．“轉(zhuǎn)化化歸”，就是將一個(gè)陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，或者將一個(gè)未解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題．

師：我們?cè)賮?lái)思考，能否減少稱(chēng)量次數(shù)，或者在某些情況下減少次數(shù)？

生7：在我剛才的稱(chēng)量方法中，若平衡，則似乎不能減少次數(shù)；若不平衡，可能可以減少次數(shù)……

生9：可以的，不妨設(shè)3,4號(hào)球的一側(cè)向下傾斜，將3號(hào)球取下，1號(hào)球移到右側(cè)，5號(hào)球放左側(cè)．若平衡，則說(shuō)明3號(hào)球?yàn)榇纹非移?；若左?cè)向下傾斜，則說(shuō)明1號(hào)球?yàn)榇纹非移p，若右側(cè)仍向下傾斜則說(shuō)明2號(hào)球偏輕或4號(hào)球偏重，需稱(chēng)量第3次．

師：很棒！求最不利情況下的次數(shù)，也就是求得的次數(shù)必須能夠保證問(wèn)題解決，充分運(yùn)用數(shù)學(xué)思想以減少稱(chēng)量的次數(shù)(包括局部減少稱(chēng)量的次數(shù))是我們所追求的．生9采用這種創(chuàng)造性的方法在局部取得了很好的效果，希望同學(xué)們?cè)诤竺娴挠懻撝性俳釉賲枺?/p>

1.3 認(rèn)知沖突，體驗(yàn)過(guò)程

師：下面我們來(lái)看“12球稱(chēng)重問(wèn)題”，12個(gè)球中有1個(gè)次品且不知次品輕重，稱(chēng)幾次可以找到次品并知輕重?(問(wèn)題5)

生10：4次．

師：說(shuō)說(shuō)你的方案．

生11：將12個(gè)球分為3組，每組4個(gè)，按問(wèn)題3的解決方法，稱(chēng)2次可找到次品在哪一組并知輕重，再把4個(gè)球分2組，分別運(yùn)用問(wèn)題1的解決方法即可，共4次．

(生11的回答博得一片掌聲.)

師：2位同學(xué)回答得很好，他們不但用自己的思考解決了問(wèn)題，也充分運(yùn)用了前面的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化化歸的思想．請(qǐng)大家再思考一下，能否再減少次數(shù)呢？

(一石激起千層浪，學(xué)生積極思考……)

1.4 創(chuàng)生智慧，水到渠成

生12：我能夠在平衡的時(shí)候減少稱(chēng)量次數(shù)，第2次稱(chēng)量(1，2，3)與(9，10，11)．若平衡，則12號(hào)球?yàn)榇纹?，再通過(guò)第3次稱(chēng)量可知與正品的輕重；若不平衡，則次品在(9，10，11)中且知次品的輕重，用問(wèn)題2的解決方法確定次品．

生13：在不平衡時(shí)，不妨設(shè)(5，6，7，8)一側(cè)向下傾斜，將5，6，7號(hào)球取下，1，2，3號(hào)球移到右側(cè)，9，10，11號(hào)球放左側(cè)．若平衡，則說(shuō)明5，6，7號(hào)球之一為次品且偏重，還需稱(chēng)量1次；若左側(cè)向下傾斜，則說(shuō)明1，2，3號(hào)球之一為次品且偏輕，也還需稱(chēng)量1次；若右側(cè)仍向下傾斜則說(shuō)明4號(hào)球偏輕或8號(hào)球偏重，再需稱(chēng)量1次即可．

生14：老師，我的方案與生13不一樣，在不平衡時(shí)，不妨設(shè)(5，6，7，8)一側(cè)向下傾斜，將左側(cè)球調(diào)整為(3，5，9,10)，右側(cè)球調(diào)整為(1，2，6,7)．若平衡，則說(shuō)明4號(hào)球偏輕或8號(hào)球偏重，再稱(chēng)1次即可；若左側(cè)向下傾斜，則說(shuō)明1，2號(hào)球之一偏輕或5號(hào)球偏重，將1，2號(hào)球再比較1次即可；若右側(cè)仍向下傾斜則說(shuō)明3號(hào)球偏輕或6，7號(hào)球之一偏重，將6，7號(hào)球再比較一次即可．

生15：老師，在不平衡時(shí)，不妨設(shè)(5，6，7，8)一側(cè)向下傾斜，接下來(lái)，我只需在天平2側(cè)各放3個(gè)球．將左側(cè)球調(diào)整為(3，4，5)，右側(cè)球調(diào)整為(1，2，6)．若平衡，則說(shuō)明7，8號(hào)球之一為次品且次品偏重，再稱(chēng)1次即可；若左側(cè)向下傾斜，則說(shuō)明1，2號(hào)球之一偏輕或5號(hào)球偏重，將1，2號(hào)球再比較1次即可；若右側(cè)仍向下傾斜則說(shuō)明3，4號(hào)球之一偏輕或6號(hào)球偏重，將3，4號(hào)球再比較一次即可．

1.5 反思總結(jié)，舉一反三

師：太好了！在同學(xué)們的共同努力下，我們不僅解決了這個(gè)問(wèn)題，而且有了多種解法，在這些解法中，涉及到分類(lèi)討論、轉(zhuǎn)化化歸、代換等重要的思想方法，值得同學(xué)們用心去體會(huì).

(學(xué)生談體會(huì)與感想.)

師：12個(gè)球改為39個(gè)球，又如何呢？留作同學(xué)們課后思考．稱(chēng)球問(wèn)題是一個(gè)非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，有興趣的同學(xué)可以就一般的n個(gè)球深入研究．

2 課后反思

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學(xué)思維實(shí)驗(yàn)課，以稱(chēng)球問(wèn)題為載體，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維為主線，通過(guò)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，激發(fā)了學(xué)生的求知欲．在課堂上通過(guò)教師的適時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生積極參與，領(lǐng)悟了數(shù)學(xué)思想，提升了數(shù)學(xué)能力，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變．

2.1 激發(fā)興趣，開(kāi)放問(wèn)題引入

本節(jié)課從一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題出發(fā)，激起學(xué)生思考．對(duì)于“如何比較2個(gè)球質(zhì)量的大小”有各種各樣的答案，學(xué)生往往從“衡器”的角度回答，但教師巧妙地將話鋒一轉(zhuǎn)，從“傳遞性”——數(shù)學(xué)思維方法的角度加以說(shuō)明．如果僅僅從“衡器”的角度回答，這樣的課堂也許不是數(shù)學(xué)課了，數(shù)學(xué)課的關(guān)注點(diǎn)應(yīng)該是數(shù)學(xué)，教師在使學(xué)生思維“急轉(zhuǎn)彎”的同時(shí)集中到“數(shù)學(xué)的課堂上”．

2.2 由易到難，體現(xiàn)螺旋上升

根據(jù)范德維爾的理論，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題對(duì)學(xué)生應(yīng)該是具有挑戰(zhàn)性的，也是可以達(dá)到的．這需要教師精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，本節(jié)課從5個(gè)環(huán)環(huán)相扣問(wèn)題的提出到解決，以“問(wèn)題鏈”的形式出現(xiàn)，到最后還是以問(wèn)題結(jié)束，這些問(wèn)題的設(shè)置，呈螺旋上升趨勢(shì)．這些問(wèn)題既為學(xué)生解決“12球稱(chēng)重問(wèn)題”作好了鋪墊，又有利于學(xué)生在問(wèn)題解決后升華思維，提高能力．

2.3 適時(shí)引導(dǎo)，探求最佳策略

在教師的引導(dǎo)下，由學(xué)生主動(dòng)探求最佳解題策略，在學(xué)生思維受挫的情況下，教師巧妙地將解決問(wèn)題的難點(diǎn)逐步化解，使學(xué)生能通過(guò)自己的努力在從無(wú)解法到有想法，從有想法到具體落實(shí)，從局部?jī)?yōu)化到整體優(yōu)化的過(guò)程中激發(fā)了探索的欲望，有效地找到了問(wèn)題解決的方法，品嘗到了成功的喜悅．

2.4 體驗(yàn)過(guò)程，滲透數(shù)學(xué)思想

本節(jié)課從2個(gè)球的問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)而探索3個(gè)球、6個(gè)球到12個(gè)球的問(wèn)題，最后布置了39個(gè)球的問(wèn)題作為課外作業(yè)，同時(shí)提出n個(gè)球的問(wèn)題供學(xué)有余力的學(xué)生思考，讓學(xué)生體驗(yàn)和了解科學(xué)的探索過(guò)程．在問(wèn)題的解決過(guò)程中，滲透了多種數(shù)學(xué)思想和方法：如在稱(chēng)量過(guò)程中，要根據(jù)天平的傾斜進(jìn)行分類(lèi)討論；球由少到多體現(xiàn)了從特殊到一般的研究方法；將6個(gè)球分3組，轉(zhuǎn)化為3個(gè)球的問(wèn)題體現(xiàn)了化歸的思想；稱(chēng)12個(gè)球，第一次8個(gè)球不平衡，將天平左右盤(pán)上的部分球與正品球進(jìn)行輪換對(duì)調(diào)，體現(xiàn)了代換的思想；從球的數(shù)目增加到n個(gè)球問(wèn)題的提出，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)歸納法思想做好準(zhǔn)備．

2.5 師生合作，轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

在本節(jié)課中，教師為學(xué)生營(yíng)造了一個(gè)有利于創(chuàng)新思維發(fā)展的良好環(huán)境，課內(nèi)師生、生生多邊互動(dòng).在教師的問(wèn)題引導(dǎo)下，學(xué)生自主探求、合作學(xué)習(xí)，在討論中發(fā)揮他們思維的潛能，競(jìng)相發(fā)表各自的意見(jiàn)，在學(xué)生的積極參與和主動(dòng)探索中成功地解決“12球稱(chēng)重問(wèn)題”，真正做到了“帶著問(wèn)題走進(jìn)教室，帶著問(wèn)題走出教室”，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的改變，提高了學(xué)習(xí)效率．