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(臺州初級中學(xué) 浙江臨海 317000)

概率與統(tǒng)計(jì)是近幾年新增加的競賽內(nèi)容,統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容包括收集、整理并分析與某一事件相關(guān)的數(shù)據(jù)，進(jìn)而作出推斷與預(yù)測；而概率則是在此基礎(chǔ)上研究這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，進(jìn)而推斷某一事件發(fā)生可能性的大小，它們密切相關(guān).由于這類試題對學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力、創(chuàng)造性思維能力、發(fā)散性思維能力、數(shù)據(jù)分析能力等均提出了較高的要求，因此，概率統(tǒng)計(jì)問題也成為競賽試題中的常見題型.現(xiàn)以近幾年的競賽試題為例，談?wù)劯怕式y(tǒng)計(jì)內(nèi)容在競賽試題中的呈現(xiàn)形式及賽點(diǎn)分析.

1 統(tǒng)計(jì)類試題的競賽元素

近幾年的統(tǒng)計(jì)類競賽試題以實(shí)際問題為背景，考查學(xué)生選取適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析并解決實(shí)際問題的能力,有些試題還考查了學(xué)生利用數(shù)據(jù)進(jìn)行邏輯或合情推理的能力.

1.1 考查學(xué)生的識圖能力

例1某校為提高學(xué)生的環(huán)保意識，對部分學(xué)生進(jìn)行了一次環(huán)保知識測試(分值為整數(shù)，總分100分)，測試成績最低分為53分，現(xiàn)將相關(guān)數(shù)據(jù)收集并分別繪制成如下統(tǒng)計(jì)表1和統(tǒng)計(jì)圖1，請回答下列問題：

表1 每個(gè)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)

圖1

(1)本次測試的總?cè)藬?shù)為多少？

(2)成績在76.5～84.5范圍內(nèi)的人數(shù)為多少？

(3)本次成績的中位數(shù)落在哪個(gè)小組內(nèi)？

(4)成績在84.5～89.5之間的人數(shù)為多少？

(2006年 TRULY信利杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析(1)45人.

(2)12人.

(3)這次測試成績的中位數(shù)落在76.5～84.5這一小組內(nèi).

(4)成績在84.5～89.5之間的人數(shù)為5人.

注近幾年有關(guān)統(tǒng)計(jì)的競賽題通常以選擇題與填空題的形式呈現(xiàn)，很少出現(xiàn)解答題，但隨著新課改的深入及社會(huì)發(fā)展的需要，統(tǒng)計(jì)觀念的培養(yǎng)已成為課程教學(xué)的重要目標(biāo)之一.因此，學(xué)生收集數(shù)據(jù)、整理與描述數(shù)據(jù)的能力、作圖與識圖能力以及統(tǒng)計(jì)意識的培養(yǎng)都是競賽和中考的基本要求.本題考查了學(xué)生從頻數(shù)分布直方圖及統(tǒng)計(jì)表中獲取信息并解決實(shí)際問題的能力.

1.2 考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力

例2校七年級籃球隊(duì)因訓(xùn)練需要準(zhǔn)備買一批運(yùn)動(dòng)鞋.已知該隊(duì)有20名同學(xué)，各同學(xué)的鞋碼見統(tǒng)計(jì)表2.由于不小心弄臟了表格，有2個(gè)數(shù)據(jù)看不到.

表2 不同鞋碼的人數(shù)

請對表2中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，下列說法中正確的是

( )

A.中位數(shù)是40，眾數(shù)是39

B.中位數(shù)與眾數(shù)一定相等

C.平均數(shù)一定處于39與40之間

D.以上說法全錯(cuò)

(2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽海南賽區(qū)初賽試題)

分析據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義可判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，分析極端情況后可知，中位數(shù)與眾數(shù)的關(guān)系不能確定，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，假設(shè)剩余10人全部穿39碼鞋或全部穿40碼鞋，可以判斷C正確.

注數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心內(nèi)容，本題考查了學(xué)生靈活運(yùn)用平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)等不同統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的能力，同時(shí)還考查了學(xué)生利用極端方法分析問題、解決問題的能力.

1.3 考查學(xué)生的統(tǒng)計(jì)推理能力

例3從魚塘打撈草魚300尾，從中任選10尾，稱得每尾的質(zhì)量分別是1.5，1.6，1.4，1.6，1.2，1.7，1.5，1.8，1.3，1.4(單位：千克)，估計(jì)這300尾草魚的總質(zhì)量大約是

( )

A.450千克 B.150千克

C.45千克 D.15千克

(2007年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣東賽區(qū)初賽試題)

分析本題取材自生活中常見的統(tǒng)計(jì)問題.先利用算術(shù)平均數(shù)的意義計(jì)算每尾魚的平均質(zhì)量是1.5千克，再用樣本估計(jì)總體的思想推斷這300尾草魚的總質(zhì)量大約為300×1.5=450千克.故選A.

注統(tǒng)計(jì)推理屬于合情推理的范疇，是一種可能性的推理，與其他推理不同的是，由統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無法用邏輯的方法去檢驗(yàn)，只有靠實(shí)踐來證實(shí).本題的估值屬于統(tǒng)計(jì)推理，考查的內(nèi)容是用樣本平均數(shù)推斷總體平均數(shù)，讓學(xué)生體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解其合理性，推斷并解決生活中的問題.

1.4 結(jié)合方程、不等式等知識考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力

(2012年四川省初中數(shù)學(xué)競賽初賽試題)

分析設(shè)A,B這2組數(shù)原來的平均數(shù)分別為a和b，A組數(shù)原來有m個(gè)數(shù)，則B組數(shù)原來有15-m個(gè)數(shù)，從而

由式(2)得 2a=21-m,

(4)

由式(3)得 2b=36-m,

(5)

將式(4)，式(5)分別代入式(1)可得m=10，進(jìn)而得a=5.5，b=13.

例5設(shè)a,b,c的平均數(shù)為M，a和b的平均數(shù)為N，N和c的平均數(shù)為P.若a>b>c，則M與P的大小關(guān)系是

( )

A.M=PB.M>P

C.M

(2000年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

又a>b>c,

所以

即M-P>0，因此M>P.故選B.

注理解平均數(shù)的意義，結(jié)合方程(組)與不等式(組)的知識是解題的關(guān)鍵所在.

2 概率類試題的競賽元素

2.1 考查概率的求解方法

初中階段概率的求法除了列舉法、列表法、樹狀圖法外，還有面積法及頻率估計(jì)概率的方法，若稍加拓展，還能借助排列組合的方法確定事件發(fā)生的個(gè)數(shù).除此之外，乘法原理、加法原理也能應(yīng)用在概率的求解中.

例6在分別標(biāo)有號碼2，3，4，…，10的9個(gè)球中，隨機(jī)取出2個(gè)球，記下它們的標(biāo)號，則較大標(biāo)號被較小標(biāo)號整除的概率是

( )

(2013年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

例7如圖2，有5張點(diǎn)數(shù)分別為2，3，7，8，9的撲克牌，從中任意抽取2張，則其點(diǎn)數(shù)之積是偶數(shù)的概率為______．

圖2

(2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽河南賽區(qū)復(fù)賽試題)

分析根據(jù)題意，當(dāng)不考慮抽牌順序時(shí)，可以畫出如圖3所示的樹形圖：

圖3

注本題用樹狀圖求解.當(dāng)決定事件發(fā)生可能性的元素超過2個(gè)時(shí)，常用樹狀圖來形象、清晰地反映事件發(fā)生的可能性.

例8一個(gè)袋子中裝有4個(gè)相同的小球，它們分別標(biāo)有號碼1,2,3,4.搖勻后隨機(jī)取出一球，記下號碼后放回；再將小球搖勻，并從袋中隨機(jī)取出一球，則第2次取出的球的號碼不小于第1次取出的球的號碼的概率為

( )

(2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)初賽試題)

注本題用乘法原理與加法原理求解.乘法原理是指完成一件事情要分m步，第1步有n1種方法，第2步有n2種方法，…，第m步有nm種方法，則完成這件事情的不同方法總數(shù)為

N=n1×n2×…×nm.

加法原理是指完成一件事情可以分為m類，第1類有n1種方法，第2類有n2種方法，…，第m類有nm種方法，則完成這件事情的不同方法總數(shù)為

N=n1+n2+…+nm.

分步時(shí)，要保證分步后任務(wù)恰好能完成，分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)前后要統(tǒng)一，不重不漏.

例9甲、乙2個(gè)人約定在早上7～8時(shí)之間在運(yùn)動(dòng)場門口會(huì)面，他們約定先到者應(yīng)等候另一個(gè)人15分鐘，過時(shí)即可離去，那么2個(gè)人見面的概率是______．

圖4

注用幾何圖形的面積關(guān)系來求概率的試題較多，但本題的難點(diǎn)在于如何構(gòu)圖來表示面積.本題借助了一次函數(shù)的圖像特征，將時(shí)間分別用x，y的坐標(biāo)來表示，從而把時(shí)間長度這樣的一維問題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問題，最后對面積求解而得到概率.

2.2 概率與方程(組)、不等式(組)結(jié)合

(第21屆希望杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初二組試題)

分析先將原方程2邊同乘以x2-3x+2，并化簡為整式方程:

(x-2)+a(x-1)=2(a+1)，

即

(a+1)x=3a+4，

( )

(2009年“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析根據(jù)方程組解的意義，分2種情況討論如下：

(1)當(dāng)2a-b=0時(shí)，方程組無解．

(2)當(dāng)2a-b≠0時(shí)，方程組的解為

由已知得

解得

注概率與方程(組)、不等式(組)結(jié)合的試題，解題一般從方程(組)、不等式(組)入手，分析出解的情況后，再結(jié)合概率的意義進(jìn)行求解.

2.3 概率與函數(shù)結(jié)合

例12在函數(shù)y=-x+5上取5個(gè)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為1，2，3，4，5，試問：在這5個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)取2個(gè)點(diǎn)P(x1,y1)，Q(x2,y2),則點(diǎn)P,Q在同一反比例函數(shù)圖像上的概率是______.

分析依題意，5個(gè)點(diǎn)中任意取2個(gè)點(diǎn)有10種可能的情況，通過驗(yàn)證可知有2個(gè)點(diǎn)滿足條件，故答案為0.2.

例13將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子6個(gè)面分別編號為1，2，3，4，5，6，先后投擲2次，若將2個(gè)正面朝上的編號分別記為m，n，則二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖像與x軸有2個(gè)不同交點(diǎn)的概率是

( )

(2013年“《數(shù)學(xué)周報(bào)》杯”全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

注以函數(shù)知識為載體的概率試題，多數(shù)情況下是以函數(shù)知識為主來考查概率的求法.

2.4 概率與游戲結(jié)合

①過第1關(guān)是必然事件；

③可以過第4關(guān)；

④過第5關(guān)的概率大于0.

其中，正確說法的個(gè)數(shù)是______.

(2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)初賽試題)

例15一場數(shù)學(xué)游戲在2個(gè)非常聰明的學(xué)生甲、乙之間進(jìn)行，裁判在黑板上先寫出整數(shù)2，3，…，2 006，然后隨意擦去一個(gè)數(shù)，接下來由甲、乙2個(gè)人輪流擦去一個(gè)數(shù)(即乙先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后甲再擦去一個(gè)數(shù)，如此下去)，若最后剩下的2個(gè)數(shù)互質(zhì)，則判甲勝；否則，則乙勝.按照這種游戲規(guī)則，則甲獲勝的概率是______(用具體數(shù)字作答).

(2007年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)初賽試題)

注用概率的思維理解游戲規(guī)則是解題的關(guān)鍵，有些與游戲結(jié)合的概率題還涉及到對學(xué)生思維要求更高的組合問題，包括染色原理、數(shù)論、抽屜原理等知識.

綜合以上分析可知，概率統(tǒng)計(jì)類競賽試題形式新穎，內(nèi)容豐富，它在與其他數(shù)學(xué)知識整合的同時(shí)，逐步趨向于以生活實(shí)際為載體，考查學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的更高要求.從另一個(gè)角度來講，在信息化社會(huì)中，掌握一定的概率統(tǒng)計(jì)知識，會(huì)用統(tǒng)計(jì)的眼光看問題，會(huì)從數(shù)字中提取有用信息進(jìn)行正確決策，對學(xué)生的成長意義更重大.因此，教師要注重培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)意識，輔助學(xué)生形成概率思維.