陳 瓊， 童國平， 李 盛

(浙江師范大學 數理與信息工程學院，浙江 金華 321004)

0 引 言

由Su-Schrieffer-Heeger(SSH)[1]，Rice[2]提出的聚乙炔孤子模型已成功地解釋了無自旋電導率、紅外吸收等許多實驗結果.雖然,純凈的聚乙炔每個格點有一個可移動的π電子，但其不導電，這是它的維度性所造成的[3].將其摻雜后，其電導率可達金屬的電導率[4].由于聚乙炔鏈與鏈之間相互耦合很弱，因而可視為準一維結構.盡管如此，鏈與鏈之間的耦合對孤子等非線性元激發(fā)有一定的影響[5]. Fesser[6]考慮了鍵與鍵平行結構、反平行結構等三維情況的鏈間耦合問題，利用連續(xù)SSH模型研究了電子能譜.隨著石墨烯實驗的開展[7]，尤其是人們對石墨烯納米帶拓撲性質的發(fā)現，石墨烯更引起人們的研究興趣.利用緊束縛近似與硬壁邊界條件[8-10]、有限系統的Bloch定理[11]、狄拉克方程低能近似[12]等方法，可以解析地得到扶手椅型和鋸齒型2種石墨烯納米帶的電子色散關系.那么，除此以外，能否利用SSH模型方法來解析地給出電子的色散關系？因為石墨烯納米帶在一個方向上仍然具有周期結構，尤其是鋸齒型邊的納米帶，可以視為均勻聚乙炔鏈鍵與鍵非平行結構的二維鏈間耦合而成.因此，只要選取合適的單位元胞，就能給出其電子能譜，本文的研究正是基于這一考慮.

1 模型與方法

1.1 計入鏈間耦合的SSH哈密頓量

共軛高分子的鏈間耦合與其鏈中耦合相比較弱，因此，通常忽略鏈間耦合，把其視為準一維結構[3].盡管如此，這種弱鏈間耦合還是產生一定的物理效應[5].如果計入鏈間耦合，體系的SSH哈密頓量可表達為

H=HSSH+Hint.

(1)

(2)

(3)

這里:HSSH描述的是考慮自旋時每條鏈內相互作用的哈密頓量，其中包括電子部分He和晶格部分Ha;式中的t0是晶格未畸變時的電子最近鄰跳躍積分;un是第n個格點的二聚化位移;而α是反映鏈二聚化位移的畸變參量;Hint表示鏈與鏈之間的相互作用項;an,s為第n個格點上電子自旋為s的湮滅算符;t⊥代表鏈間耦合跳躍積分，反映的是耦合強度.式(2)中,K和M分別表示晶格的彈性常數和CH原子團的質量，這部分是非量子的經典唯象表達.

對于未畸變的一維鏈來說，計入最近鄰相互作用的電子部分的SSH哈密頓量為

(4)

這時考慮鏈間耦合的系統哈密頓量可表示為

(5)

下面筆者將這一簡化模型運用于具有鋸齒型邊的石墨烯納米帶的電子能譜研究.

1.2 鍵與鍵不平行結構的鏈間耦合

為了突現鏈間耦合效應，筆者在下面的計算中略去了長、短鍵之間的差別，即把相鄰格點間的跳躍能都取成t0.于是，考慮最近鄰相互作用時，由圖1(c)可得系統的哈密頓量為

(6)

圖1 2條鏈之間鍵與鍵非平行結構耦合

將式(6)中的產生和湮滅算符作如下變換：

(7)

(8)

(9)

利用式(7)、式(8)和式(9)，可將式(6)轉化成哈密頓矩陣表示式

將此哈密頓量對角化就可以得到如下電子能譜

(11)

式(11)中,符號“±”表示導帶和價帶.

1.3 鍵與鍵平行結構的鏈間耦合

當2條鏈之間如圖2(a)和圖2(b)的形式耦合時，稱之為平行耦合.因為圖2(a)的長鍵(或短鍵)之間是平行的，而圖2(b)的上一條鏈的長鍵(或短鍵)與下一條鏈的短鍵(或長鍵)是平行的.

圖2 2條鏈之間的鍵與鍵平行耦合

當不計二聚化時，2種結構形式相同，系統的哈密頓量可表示為

(12)

聯立式(7)、式(8)、式(9),可將式(12)轉化成哈密頓矩陣

由此可得電子能譜為

(14)

很顯然，不計二聚化時，2種形式的鏈間耦合的電子能譜不相同.

1.4 耦合鏈模型應用于石墨烯

由SSH哈密頓模型式(5)，可寫出圖3在y方向一個元胞的哈密頓量如下：

(15)

(16)

式(16)形式上與式(12)相同，但產生和湮滅算符的具體內容不再完全相同.聯立式(7)、式(8)和式(9)，可將式(16)表示成矩陣形式：

將此哈密頓量對角化，就可得到電子能譜

(18)

當t⊥=t0時，式(18)就是基于SSH模型得到的鋸齒型石墨烯納米帶的能量色散關系，此結果與有限系統的Bloch定理[11]所得結果一致.

2 計算結果與討論

圖4 非平行結構不同垂直耦合強度的電子能譜

2條鏈之間鍵與鍵平行方法耦合的能譜展現在圖5中.同樣，隨著耦合強度的增加，2條能帶分離增強.與圖4相比可以看出，平行結構的耦合要強于非平行結構.同時，能帶的增寬也變得明顯很多，表明這種耦合方式有助于電子的擴展態(tài)行為，而不利于電子的局域態(tài)行為.對比圖4和圖5還可以看出，在相同耦合強度下，平行結構要比非平行結構更能改變電子的能帶結構.

圖6給出了非平行結構的鏈間耦合SSH模型應用于鋸齒型邊石墨烯納米帶的電子能譜.從式(18)可知，由于納米帶有一定的寬度，ky可以取一些分立的值，對每一個ky值，均可以得到一條相應的能帶.為了展示能帶隨著耦合強度變化的規(guī)律，只需給出ky=0的部分能帶圖就足夠了，因為其他能帶的變化規(guī)律是類似的.圖6(a)～(e)所示表示耦合強度是漸漸增強的，即t⊥=0.5，1.0，1.5，2.0，2.5eV.由圖6可見，隨著耦合強度的增強，能帶增寬；耦合強度的增加不會引起能隙的打開；耦合強度的增加，電子的擴展態(tài)得到極大的增強.這個結果告訴我們，想通過調節(jié)納米帶寬度方向的鍵長來改變其導電性質是不可能的.當耦合強度為2.5eV時，碳原子構成正六邊形結構，因此，圖6(e)表示的是正常能帶結構(部分能帶).應用這一方法所顯示的能帶結構與有限系統的Bloch方法[11]所得結果是一致的.

圖5 平行結構不同垂直耦合強度的電子能譜

圖6 鋸齒型邊石墨烯納米帶電子能譜與鏈間耦合強度的關系

3 結 論

利用SSH模型計算了2條反式聚乙炔鏈其鍵之間平行和非平行結構的電子能譜.隨著耦合強度的增強，這兩種構形均表現相似的特點，即都能增加能帶的寬度，但是平行結構更勝一籌.將非平行結構的耦合方式應用于鋸齒型石墨烯納米帶，能夠較為簡潔地、且解析地給出能量色散關系.與其他方法相比，數學處理大大簡化，這是本方法的優(yōu)點所在.另一方面，想通過改變寬度方向的鍵長來打開能隙是不可能的.

參考文獻：

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