張勇，張付臣，張光云，袁紅

1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南南陽 473009

2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331

3.西南石油大學(xué)外國語學(xué)院，成都 610500

4.臨沂大學(xué)理學(xué)院，山東臨沂 276005

一類超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究及其仿真

張勇1，張付臣2，張光云3，袁紅4

1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南南陽 473009

2.重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 401331

3.西南石油大學(xué)外國語學(xué)院，成都 610500

4.臨沂大學(xué)理學(xué)院，山東臨沂 276005

1 引言

自從美國氣象學(xué)家Lorenz發(fā)現(xiàn)第一個(gè)混沌系統(tǒng)-Lorenz系統(tǒng)以來[1]，混沌已經(jīng)在許多領(lǐng)域中取得了巨大而深遠(yuǎn)的發(fā)展。尤其最近10多年來，混沌系統(tǒng)的控制和同步得到了廣泛而深入的研究[2]。其中的許多結(jié)果都直接用到了混沌系統(tǒng)的解最終有界的假設(shè)，而這些系統(tǒng)的有界性大多數(shù)是通過計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬得到的。直到2002年，文獻(xiàn)[3]從數(shù)學(xué)上嚴(yán)格論證了Lorenz混沌系統(tǒng)吸引子的存在性以及最終有界性。對(duì)于著名的Lorenz系統(tǒng)，俄羅斯學(xué)者Leonov通過長期的研究，得到了Lorenz系統(tǒng)全局吸引集的一個(gè)圓柱形估計(jì)式和一個(gè)球形估計(jì)式。2005年，我國動(dòng)力系統(tǒng)專家廖曉昕[4]等首次提出全局指數(shù)吸引集的概念，通過構(gòu)造廣義正定、徑向無界Lyapunov函數(shù)族，結(jié)合其他數(shù)學(xué)方法，給出一個(gè)Lorenz系統(tǒng)全局吸引集和正向不變集的統(tǒng)一結(jié)果，并派生出其他一系列類似的公式，比Leonov的結(jié)果更精確。由于在全局指數(shù)吸引集Ω外一個(gè)混沌系統(tǒng)的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復(fù)解和其他任何混沌吸引子都不復(fù)存在，因此大大簡化了對(duì)該混沌系統(tǒng)的分析工作。隨后，其他一些混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集相繼被研究[5-15]。由于超混沌系統(tǒng)比一般的混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為更加復(fù)雜。因此，其動(dòng)力學(xué)行為較一般混沌系統(tǒng)更加難以預(yù)測。據(jù)作者所知，對(duì)于超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集的問題研究的比較少，而且沒有統(tǒng)一的方法來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)。因此，有必要對(duì)新超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集進(jìn)行研究。下面將研究一類新超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集。

一個(gè)新超混沌系統(tǒng)為[16]：

其中a,b,c,d,e,f,g,h均為系統(tǒng)（1）的正參數(shù)，并且當(dāng)a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1時(shí)，系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)分別是LE1=10.732 7,LE2=3.850 3,LE3=-3.439 9,LE4=-26.347 6，其最大的李雅普諾夫指數(shù)比較大且大于零，說明系統(tǒng)（1）的運(yùn)動(dòng)比較復(fù)雜，并且具有兩個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)，因此系統(tǒng)（1）是超混沌的，其動(dòng)力學(xué)行為較一般混沌系統(tǒng)（最大的李雅普諾夫指數(shù)為負(fù)）更加難以預(yù)測。此外該系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)維數(shù)是DL=3.422 9，由于該系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)維數(shù)是分?jǐn)?shù)維，從而從另一方面驗(yàn)證了系統(tǒng)（1）是混沌系統(tǒng)。當(dāng)a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1時(shí)，系統(tǒng)（1）軌線相圖，見圖1。

系統(tǒng)（1）的平衡點(diǎn)、李雅普諾夫指數(shù)、同步等問題在文獻(xiàn)[16]中已經(jīng)被研究過，但是超混沌系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)吸引集問題至今沒有被研究，下面將研究當(dāng)正參數(shù)a,b,c,d,e,f,g,h滿足a≥1,b＞1,c＞0,d＞0,e＞0,f＞0,g≥1,h≥1時(shí)，系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)吸引集（在系統(tǒng)（1）中a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1)，有下面的定理。

圖1 系統(tǒng)（1）軌線的相圖(a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1)

2 系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集

為系統(tǒng)（1）的全局指數(shù)吸引集。

證明作廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數(shù)

沿著式（1）的正半軌線計(jì)算V(x,y,z)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，有

由定理1，系統(tǒng)（1）的正半軌線包含在下列所定義的四維橢球Ω之中。2所示。集合Ω1在xOy，xOw，yOw平面上的投影，如圖3所示。取a=35,b=4,c=25,d=5,e=35,f=100,g=1,h=1[16]，取時(shí)間t=50 s，系統(tǒng)（1）的各個(gè)狀態(tài)變量x(t),y(t),z(t),w(t)隨時(shí)間演化的圖形，如圖4所示。

為方便起見，僅給出四維橢球Ω在xOyw平面上的投影

圖2 系統(tǒng)（1）的正半軌線包含在三維橢球Ω1之內(nèi)

圖4 系統(tǒng)（1）在上述參數(shù)下的各個(gè)變量隨時(shí)間演化的曲線

與文獻(xiàn)[16]中得到的該超混沌系統(tǒng)的界Ω2進(jìn)行比較，可以看出本文中得到的該混沌的界范圍相對(duì)較小，從而結(jié)果更加準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

本文通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)研究了一類新的不拓?fù)涞葍r(jià)于Lorenz系統(tǒng)，Rossler系統(tǒng)，Chen系統(tǒng)，Lü系統(tǒng)的非線性自治超混沌系統(tǒng)（1），得到了該超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集Ω={x,y,z,w|7.142 9x2+100y2+ 250(z-11)2+w2≤20 166.7=(142)2},而且通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB給出了相應(yīng)的數(shù)值模擬。仿真結(jié)果表明了該方案的有效性，同時(shí)也豐富了該混沌系統(tǒng)的混沌特性。由于全局指數(shù)吸引集的估計(jì)是通過廣義Lyapuov函數(shù)獲得的，正如Poincare地形線的作用一樣Lyapuov函數(shù)控制系統(tǒng)軌線的走向。并且可以斷定在全局指數(shù)吸引集Ω之外混沌系統(tǒng)（1）的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復(fù)解和其他任何混沌吸引子都不復(fù)存在。但是該系統(tǒng)的控制、同步、和復(fù)雜分岔行為等其他一些問題還有待于進(jìn)一步研究。

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[15]袁紅，張付臣.多維混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集及模擬[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，46（5）：518-521.

[16]張曉丹，崔麗娟.一類四維超混沌系統(tǒng)的界及同步的研究[J].物理學(xué)報(bào)，2011，60（11）：110511-1-110511-7.

ZHANG Yong1,ZHANG Fuchen2,ZHANG Guangyun3,YUAN Hong4

1.Henan Polytechnic Institute,Nanyang,Henan 473009,China
2.College of Mathematics and Statistics,Chongqing University,Chongqing 401331,China
3.School of Foreign Languages,Southwest Petroleum University,Chengdu 610500,China
4.School of Science of Linyi University,Linyi,Shandong 276005,China

Globally exponentially attractive set of a chaotic system plays an important role in chaos control and chaos synchronization.In this paper,the globally exponentially attractive set of a new hyper-chaotic system is studied via constructing a Lyapunov function and the function extreme value theory.It has been obtained that the globally exponentially attractive setΩfor this system.It can be concluded that the system cannot have equilibrium points,periodic solutions,quasiperiodic solutions,or other chaotic attractors outside the globally attractive setΩ.This simplifies the analysis of the properties of the hyper-chaotic system.Furthermore,it can be concluded that the rate of the trajectories of system going from the exterior of the setΩto the interior of the setΩis an exponential rate.The globally exponentially attractive setΩalso provides the theoretic foundation for the chaotic control and chaotic synchronization of the system.Numerical simulations are presented to show the effectiveness of the proposed scheme.Numerical simulation is consistent with the results of theoretical calculation.

hyper-chaotic system;globally exponentially attractive set;numerical simulations Lyapunov function

混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集在混沌系統(tǒng)的控制與同步之中起著非常重要的作用。借助一個(gè)適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)和一元函數(shù)極值理論研究了一個(gè)新超混沌系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集，得到了該系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集表達(dá)式Ω?？梢詳喽ㄔ谌种笖?shù)吸引集Ω之外混沌系統(tǒng)的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復(fù)解和其他任何混沌吸引子都不復(fù)存在，這大大簡化了對(duì)該系統(tǒng)的分析工作。確定軌線從吸引集外走向吸引集的速度是指數(shù)速率。同時(shí)得到的全局指數(shù)吸引集表達(dá)式Ω為該系統(tǒng)的控制和同步提供了理論依據(jù)。通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行了模擬，數(shù)值模擬與理論計(jì)算的結(jié)果相吻合。

超混沌系統(tǒng)；全局指數(shù)吸引集；數(shù)值仿真；李雅普諾夫函數(shù)

A

O241.84；O29；O242.1

10.3778/j.issn.1002-8331.1211-0340

ZHANG Yong,ZHANG Fuchen,ZHANG Guangyun,et al.Dynamical analysis of hyper-chaotic system and its simulation.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：79-82.

重慶市自然科學(xué)基金（No.2009BB3185）.

張勇（1981—），男，講師，從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究；張付臣（1983—），主要研究領(lǐng)域?yàn)槌Ｎ⒎址匠谭€(wěn)定性與分岔；張光云（1983—），女，碩士研究生，研究方向：外國語言學(xué)與應(yīng)用語言學(xué)。E-mail：zhangfuchen1983@163.com

2012-11-27

2013-01-05

1002-8331（2014）22-0079-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-02-07,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130207.1420.020.html

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