李玉華

(云南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

1 引言及主要結(jié)果

T(n)即是人們通常所說的3n+1函數(shù),它是一個(gè)極其簡單的數(shù)論函數(shù).

設(shè)X為一個(gè)非空集合,h:X→X為X上的自映照.對于任意的非負(fù)整數(shù)n,用符號h°n表示h的n次迭代,它們中的每一個(gè)也都是X上的自映照.對于任意的x0∈X,將點(diǎn)列h°n(x0) (n=0,1,2,…)稱為x0關(guān)于h的(正向)軌道.如果對于某個(gè)y∈X,存在正整數(shù)ky,使得

h°ky(y)=y,h°j(y)≠y(?j∈{1,2,3,…,ky-1}),

那么,稱y為h的長度為ky的周期點(diǎn).

3n+1函數(shù)看似簡單,但是對其通過任意次迭代所產(chǎn)生的迭代函數(shù)列的混亂與復(fù)雜程度卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過大多數(shù)人的想象.Collatz L于1952年提出了如下猜想:

3n+1猜想[1]對于?m∈,相應(yīng)?km∈,使得T°km(m)=1.

3n+1猜想亦稱為3n+1問題，它的稱述十分簡單,知道整數(shù)的乘、除法的人都可以理解，但要解決它卻極其困難，它目前仍是數(shù)論中的一個(gè)未徹底解決的問題.

設(shè)h(z)為超越整函數(shù)，由h(z)迭代所產(chǎn)生的整函數(shù)族{h°n(z)|n=0,1,2,…}的正規(guī)點(diǎn)所成之集合稱為h(z)的Fatou集或穩(wěn)定點(diǎn)集，用符號F(h)表示之，而F(h)相對于復(fù)平面的余集稱為h(z)的Julia集或不穩(wěn)定點(diǎn)集，簡記為J(h).由解析函數(shù)的正規(guī)族定義(參見[2])可知:F(h)是的開子集.F(h)的每一個(gè)最大連通開子區(qū)域稱為F(h)的一個(gè)分支.關(guān)于復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)更詳細(xì)的內(nèi)容可參見文獻(xiàn)[3-4].

1996年，Chamberland M[5]將3n+1猜想與實(shí)解析動(dòng)力系統(tǒng)的研究聯(lián)系起來,為3n+1猜想的研究開辟了一條新的途徑.1999年,Letherman S等[6]又進(jìn)一步將3n+1猜想與復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的研究聯(lián)系起來，沿著這一思路繼續(xù)深入探索,我們得到3n+1猜想在復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)中的如下等價(jià)形式.

定理1 設(shè)h(z)為超越整函數(shù),h在自然數(shù)集Ν上的限制恰好為3n+1函數(shù)T，而且|h′(1)h′(2)|<1,并對于?n∈Ν{1,2}有|h′(n)|≥2.則3n+1猜想成立的充分必要條件是：Ν?F(h)．

從復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)的觀點(diǎn)來看，下述結(jié)果給出了一個(gè)關(guān)于3n+1函數(shù)的性態(tài)較好的插值整函數(shù)．

(1)g(z)在自然數(shù)集Ν上的限制是函數(shù)T；

(2)g(z)的臨界點(diǎn)至多除有限個(gè)外都位于實(shí)軸上；

(3)F(g)的分支都是單連通的．

注意到定理2中的整函數(shù)g(z)限制在實(shí)軸上是一個(gè)實(shí)軸上的自映照，而在一維實(shí)動(dòng)力系統(tǒng)的研究中，Schwartz導(dǎo)數(shù)為負(fù)的函數(shù)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)較好研究，那么g(z)作為實(shí)軸上的自映照，它的Schwartz導(dǎo)數(shù)會(huì)有什么樣的性質(zhì)呢？關(guān)于這個(gè)問題，我們有如下結(jié)果：

2 幾個(gè)引理

在定理證明之前,先介紹幾個(gè)輔助結(jié)果.

引理2[4]設(shè)h(z)為超越整函數(shù),則對于?n∈,有F(h°n)=F(h),J(h°n)=J(h).

引理3[7](Marty正規(guī)定則) 設(shè)F*為復(fù)數(shù)域的子區(qū)域D上的某些解析函數(shù)所成之族，則F*在D內(nèi)正規(guī)的充分必要條件是：對于D的任意有界閉子區(qū)域D1，相應(yīng)存在正數(shù)M，使得對于任意g∈F*以及任意z∈D1都有|g′(z)|≤M·(1+|g(z)|2)．

引理4[3]設(shè)h(z)為超越整函數(shù).如果存在正數(shù)A和K以及延伸到∞的簡單曲線Γ，使得|h(z)|≤A|z|K(?z∈Γ),則F(h)的分支都是單連通的.

3 定理的證明

3.1 定理1的證明

由于h(1)=2,h(2)=1，而|(h°2)′(1)|=|(h°2)′(2)|=|h′(1)h′(2)|<1，所以由引理1可知:

{1,2}?F(h)

(1)

如果3n+1猜想成立,則對于?k∈,均相應(yīng)存在nk∈,使得

h°nk(k)=T°nk(k)=1

(2)

由式(1)、(2)和引理2可得:Ν?F(h)，定理必要性得證.

如果Ν?F(h)，則我們斷言3n+1猜想成立.事實(shí)上,如若不然的話,那么必然存在k0∈Ν，使得有

h°j(k0)=T°j(k0)>2,(?j∈)

(3)

又利用數(shù)學(xué)歸納法容易得到

(4)

由(3)和已知條件得

|(h°j)′(k0)|≥2j,(?j∈)

(5)

(6)

由(6)和引理3可知:整函數(shù)族{h°j(z)|j=1,2,3,…}在點(diǎn)k0處必定不正規(guī),從而有k0?F(h),這與Ν?F(h)相矛盾，定理充分性得證.所以上述斷言成立.定理1證畢.

3.2 定理2的證明

結(jié)論(1)顯然成立.茲開始證明結(jié)論(2).容易求得

(7)

(8)

由(7)式知道方程g′(z)=0等價(jià)于

(9)

wcosw=2

(10)

易見,要證明方程(9)除至多有限個(gè)根外其余的根均位于實(shí)軸上,只需證明方程(10)除至多有限個(gè)根外其余的根均位于實(shí)軸上.

繼令w=u+iv(其中u與v均為實(shí)變量),則方程(10)轉(zhuǎn)變?yōu)橄旅骊P(guān)于u與u的方程:

(u+iv){(ev+e-v)cosu+(e-v-ev)sinu}=4

(11)

通過分離實(shí)部與虛部,方程(11)轉(zhuǎn)化為下述方程組:

(12)

由于映照φ(w):=wcosw-2保持實(shí)軸不變,因而它的零點(diǎn)集的分布關(guān)于實(shí)軸對稱,鑒于這一原因,設(shè)w0=u0+iv0(u0≠0,v0>0)是方程(10)的根,則有

(13)

由于u0≠0,v0>0,從而由(13)得cosu0·sinu0≠0,而且有

(14)

另一方面,對w0cosw0=2兩邊取摸的平方后整理得

(15)

由(15)知道|u0|+|v0|→+∞必然導(dǎo)致u0→∞,v0→0+,而且|sinu0|→1.由此可知當(dāng)|w0|充分大時(shí),(14)中第二個(gè)式左邊的絕對值嚴(yán)格大于右邊的絕對值.這就說明存在正數(shù)M0,使得方程(10)的位于{w∈||w|>M0}內(nèi)的根全部落在實(shí)軸上的集合(-∞,-M0)∪(M0,+∞)之中.由此可知g(z)的臨界點(diǎn)至多除有限個(gè)外都位于實(shí)軸上.

最后證明結(jié)論(3).由于對于任意不小于4的實(shí)數(shù)z有|g(z)|≤2|z|,從而由引理4知F(g)的分支都是單連通的．定理2證畢.

3.3 定理3的證明

由(8)式得

(16)

由(7)、(8)和(16)諸式得

-12sin2πz-2π2(2z+1)2cos2πz-π2(2z+1)2}

(17)

注意到,對于任意的實(shí)數(shù)z有-1≤sinz≤1,-1≤cosz≤1,由此和(17)知:存在M>0,使得2g?(z)g′(z)-3(g″(z))2<0(?z∈(-∞,-M)∪(M,+∞)).由此即可推出所期望的結(jié)論.定理3證畢.

從定理3的證明過程中可以看出,進(jìn)一步討論即可得出M的值.

參 考 文 獻(xiàn):

[1] LAGARIAS J C.The 3x+1 problem and its generalizations[J].Amer.Math.Monthly,1985,92(1),3-23.

[2] YANG L.Value distribution theory[M].Berlin Heidelberg:Springer-Verlag,Beijing:Science Press,1993.

[3] 任福堯.復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社,1997.

[4] 呂以輦.復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)[M].北京：科學(xué)出版社,1995.

[5] CHAMBERLAND M.A continuous extension of the 3x+1 problem to the realine[J].Dynam.Contin.Discrete Imluls.System,1996,2(4):495-509.

[6] LETHERMAN S,SCHLEICHER D，WOOD R.The 3n+1-problem and holomorphic dynamics[J].Experimental Mathematics,1999,8(3):241-251.

[7] 顧永興.亞純函數(shù)的正規(guī)族[M].成都：四川教育出版社,1988.