余劍平, 孫云平, 賈納豫

(1.云南師范大學(xué) 信息學(xué)院,云南 昆明 650092；2.玉溪師范學(xué)院 信息技術(shù)工程學(xué)院，云南 玉溪 653100)

1 引 言

迭代學(xué)習(xí)控制(ILC)[1-5]自被提出以來就得到迅速發(fā)展.近年來,迭代學(xué)習(xí)控制被廣泛地應(yīng)用于重復(fù)跟蹤問題,并且在有限時間域內(nèi),實現(xiàn)對目標(biāo)軌跡的精確跟蹤.文獻(xiàn)[1-3]基于Lyapunov函數(shù)與復(fù)合能量函數(shù),提出一種新的迭代學(xué)習(xí)控制方法,替代基于壓縮映射的迭代學(xué)習(xí)控制.文獻(xiàn)[4]對一類線性時滯系統(tǒng)提出一種迭代學(xué)習(xí)控制方法.文獻(xiàn)[5]對非線性不確定狀態(tài)時滯系統(tǒng),設(shè)計基于PID類型的迭代學(xué)習(xí)控制算法,保證了系統(tǒng)所有信號有界性.

根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)或控制增益是否被估計,迭代學(xué)習(xí)控制劃分為非自適應(yīng)和自適應(yīng)兩個方向.非自適應(yīng)是在前次控制輸入中增加誤差信息來修正當(dāng)前控制輸入.自適應(yīng)是利用參數(shù)或控制增益的估計值計算控制輸入.自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制(AILC)的研究已取得一定的成果[6-10].文獻(xiàn)[6]基于Backstepping思想,針對二階非線性系統(tǒng)的混合參數(shù),設(shè)計出一種新型的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法;文獻(xiàn)[7]通過Lyapunov技術(shù),提出了一種全新的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法;文獻(xiàn)[8]針對一類初始條件不確定的目標(biāo)軌線迭代可變系統(tǒng),設(shè)計出一種離散的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法.

時滯常常存在于各類工程系統(tǒng)中,造成系統(tǒng)控制性能的低效,甚至損壞系統(tǒng)穩(wěn)定性，因而對時滯系統(tǒng)控制器和穩(wěn)定性方面研究就顯得尤為重要[11-14].文獻(xiàn)[11]考慮一類時變時滯非線性參數(shù)化系統(tǒng),設(shè)計一種基于參數(shù)分離與信號置換的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法.時滯項是未知時變[13]情況,又重新設(shè)計出新的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制策略;時滯項是周期時變[15]情況,利用重構(gòu)系統(tǒng)方程技術(shù)與周期自適應(yīng)律估計方法,設(shè)計了一種自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方案.

關(guān)于雙線性參數(shù)化系統(tǒng)的研究成果比較少,而對系統(tǒng)出現(xiàn)時滯問題的研究就更少了.因此,本文研究一類雙線性參數(shù)化時變時滯系統(tǒng),主要創(chuàng)新之處概括如下:

1)針對雙線性參數(shù)化項,采用差分型自適應(yīng)律對時變參數(shù)進(jìn)行估計,微分-差分耦合型自適應(yīng)律對時不變參數(shù)進(jìn)行估計.

2)基于信號置換思想和參數(shù)重組技術(shù),合并所有的時變時滯項為一個新的時變參數(shù),有效處理了時變時滯影響.

3)設(shè)計一種基于Lyapunov-Krasovskii型復(fù)合能量函數(shù)的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法,該算法有效地保證了系統(tǒng)穩(wěn)定性.

2 問題描述

考慮下述運(yùn)行在區(qū)間[0,T]上的一階雙線性參數(shù)化時滯系統(tǒng)

(1)

式中,x、u∈R分別是系統(tǒng)可測狀態(tài)和控制輸入;θ(t)是未知連續(xù)時變參數(shù);ω是未知時不變參數(shù),符號已知,不妨令其大于0；b≠0是未知?？刂圃鲆?且符號已知,假定大于0.ξ(xk,t)是已知連續(xù)函數(shù),且滿足局部Lipschitz條件;f(,)是未知連續(xù)函數(shù);τ(t)∈C[0,T]是未知時變時滯項,假定存在一個已知常數(shù)τmax，使τ(t)≤τmax,?t∈[0,T].k∈Z+表示系統(tǒng)迭代次數(shù);υ(t)是已知連續(xù)函數(shù),表示系統(tǒng)初始條件.

在下文中,ξ(xk,t)記為ξk.針對系統(tǒng)(1)中θ(t)ξkω這一項,雖然可以采用乘法交換律,使得θ(t)與ω結(jié)合成新的時變參數(shù),但是這種方式會降低系統(tǒng)的某些性能,比如時不變特性.因而,本文采用微分-差分耦合型自適應(yīng)律,并用自適應(yīng)迭代方式對時變和時不變參數(shù)進(jìn)行估計.

對系統(tǒng)(1)作出如下必要假設(shè),以此實現(xiàn)本文控制目標(biāo):

假設(shè)2 未知連續(xù)函數(shù)f(,)滿足全局Lipschitz條件,即

|f(xk(t-τ(t)),t)-f(xr(t-τ(t)),t)|≤l|xk(t-τ(t))-xr(t-τ(t))|

式中,l是未知的Lipschitz常數(shù)[15-16].

假設(shè)3 對于系統(tǒng)(1)而言,滿足xk(t)=xr(t),t∈[-τmax,0].顯然ek(t)=0,t∈[-τmax,0],?k∈Z+.

3 構(gòu)造控制律與參數(shù)自適應(yīng)律

系統(tǒng)(1)在第k次迭代時,其跟蹤誤差的動態(tài)方程表示如下:

=θ(t)ξkω+buk+φ(t)+Λk

(2)

根據(jù)假設(shè)2易知,Λk滿足下述不等式

|Λk|≤l|xk(t-τ(t))-xr(t-τ(t))|≤l|ek(t-τ(t))|

(3)

針對時滯系統(tǒng)(1),設(shè)計出了一個Lyapunov泛函,用于處理系統(tǒng)(1)中帶有時滯的一項

(4)

對(4)式中的Lyapunov泛函求導(dǎo),可得

(5)

將(2)式代入(5)式,可得

(6)

根據(jù)(3)式,下列不等式恒成立

(7)

(8)

將(8)式代入(6)式,易得

(9)

根據(jù)假設(shè)1進(jìn)一步簡化(9)式,可得

(10)

根據(jù)(10)式,設(shè)計學(xué)習(xí)控制律為

(11)

設(shè)計時變參數(shù)Θ(t)的自適應(yīng)律為

(12)

設(shè)計時變參數(shù)β(t)的自適應(yīng)律為

(13)

設(shè)計時不變參數(shù)ω的自適應(yīng)律為

(14)

式中,q1>0、q2>0、q3>0均為可設(shè)計的參數(shù)常增益.

將(11)式代入到(10)式中,可得

(15)

4 收斂性分析

定理系統(tǒng)(1)在假設(shè)1-3、學(xué)習(xí)控制律(11)以及參數(shù)自適應(yīng)律(12)-(14)下,具備如下特性:

證明第k次迭代時,定義一個Lyapunov-Krasovskii型復(fù)合能量函數(shù)

(16)

a)計算Ek(t)在第k次與第k-1次迭代時差分

ΔEk(t)=Ek(t)-Ek-1(t)

(17)

根據(jù)(4)式與(15)式,以及假設(shè)3,計算(17)式右邊第一項,可得

(18)

利用代數(shù)關(guān)系式(a-b)2-(a-c)2=(c-b)(2(a-b)+(b-c))以及參數(shù)自適應(yīng)律(12)式,計算(17)式右邊第三項,可得

(19)

利用恒等式(a-b)T(a-b)-(a-c)T(a-c)=(c-b)T(2(a-b)+(b-c))以及參數(shù)自適應(yīng)律(13)式,計算(17)式右邊第四項,可得

(20)

(21)

將(18)-(21)式代入(17)式,可得

(22)

令t=T,并且利用(4)與(14)式,可得

(23)

b)證明跟蹤誤差收斂性

根據(jù)(23)式,并且反復(fù)利用(17)式,可得

(24)

通過(4)式與(16)式可知,E0(t)是關(guān)于t的連續(xù)函數(shù),根據(jù)連續(xù)有界性定義可知,E0(t)在區(qū)間[0,T]上有界,因此E0(T)是有界的.進(jìn)而根據(jù)(24)式,可知Ek(T)也是有界的.

對(24)式兩邊求極限,可得

(25)

c)證明系統(tǒng)中所有信號有界性

5 仿真實例

考慮以下運(yùn)行在區(qū)間[0,2π]上的一階雙線性參數(shù)化時滯系統(tǒng)

期望軌跡xr(t)=sint,系統(tǒng)中不確定項滿足下列不等式

設(shè)計控制增益,選取c=0.5,η=0.5,q1=0.5,q2=0.4,q3=0.6,b=0.3.

仿真結(jié)果如圖1-5.圖1表明了跟蹤誤差的收斂性,圖2-5分別給出控制律曲線與參數(shù)估計曲線,表明了系統(tǒng)所有信號的有界性.

圖1 跟蹤誤差e曲線 圖2 控制律u曲線 圖3 時變參數(shù)Θ(t)估計曲線

圖4 時變參數(shù)β(t)估計曲線 圖5 時不變參數(shù)ω估計曲線

6 結(jié) 論

提出了一種基于Lyapunov-Krasovskii型復(fù)合能量函數(shù)的自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法,并且應(yīng)用于雙線性參數(shù)化時變時滯系統(tǒng)中,該方法結(jié)合微分-差分耦合型自適應(yīng)律,信號置換思想,參數(shù)重組技術(shù)及不等式技巧,使得跟蹤誤差在固定時間域內(nèi)漸近收斂到0.最后,利用仿真實例驗證了該方法的有效性和可行性.

參 考 文 獻(xiàn):

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