韓英豪，張晴，王宏全

(遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

1 預(yù)備知識(shí)

1997年，H.Crauel等在文獻(xiàn)[1]中建立了隨機(jī)偏微分方程吸引子理論的基本框架,并給出了在某些非線性偏微分方程中的應(yīng)用.之后，很多學(xué)者開(kāi)始研究隨機(jī)偏微分方程吸引子的存在性并取得了一些成果，然而這些結(jié)果僅適用于個(gè)別特殊的可加噪聲或乘積噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程上,對(duì)于更一般的隨機(jī)過(guò)程驅(qū)動(dòng)的大多數(shù)非線性隨機(jī)偏微分方程而言，吸引子存在性理論還有待進(jìn)一步研究.B.Gess等在文獻(xiàn)[2]中證明了一些一般的可加噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)偏微分方程吸引子的存在性.本文在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，證明了被乘積噪聲驅(qū)動(dòng)的抽象隨機(jī)發(fā)展方程的隨機(jī)吸引子的存在性.

對(duì)任意有限區(qū)間[s,T]?R，本文所研究的抽象隨機(jī)發(fā)展方程具有如下形式：

(1)

其中H是一個(gè)可分希爾伯特空間,其內(nèi)積用〈·,·〉H表示，H的對(duì)偶空間用H*來(lái)表示,在Riesz同構(gòu)i∶H→H*下這兩個(gè)空間可視為相同(H≡H*).同時(shí)，V是一個(gè)自反巴拿赫空間,可連續(xù)、稠密地嵌入到H中：V?H≡H*?V*,其中V*表示V的對(duì)偶空間,并用V*〈·,·〉V表示V與V*之間的對(duì)偶運(yùn)算.A∶V→V*是滿(mǎn)足下述條件的可測(cè)算子,即存在常數(shù)α>1和δ,c1,c2,c3,K>0,對(duì)于?v,v1,v2∈V,滿(mǎn)足：

(H1)(半連續(xù)性)映射sV*〈A(v1+sv2),v〉V為連續(xù)映射；

(Ω,I,It,P)表示一個(gè)濾子化的概率空間,(Nt)t∈R是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)值Wiener過(guò)程.令((Ω,I,P),(θt)t∈R)是一個(gè)度量動(dòng)力系統(tǒng)，即(t,ω)θt(ω)是B(R)?I/I可測(cè),θ0=id,θt+s=θt°θs,且θt保持P測(cè)度不變,(Nt)t∈R滿(mǎn)足如下條件：

(S1)(嚴(yán)格平穩(wěn)增長(zhǎng)性)對(duì)?t,s∈R,ω∈Ω,有Nt(ω)-Ns(ω)=Nt-s(θs(ω))-N0(θs(ω));

(S3)(可測(cè)性)N∶R×ΩR是關(guān)于σ-代數(shù)B(R)?I/B(R)可測(cè)的；

(S4)對(duì)P-a.s.,ω∈Ω,當(dāng)|t|→∞時(shí),Nt(ω)是次線性增長(zhǎng)，即|Nt(ω)|=o(t).

2 結(jié)果及其證明

首先，給出方程(1)的溫和解、隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)和隨機(jī)流等基本概念,有關(guān)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[3].

定義2設(shè)(H,d)是一個(gè)完備可分度量空間.(i)一個(gè)關(guān)于度量動(dòng)力系統(tǒng)θt的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(RDS)是一個(gè)可測(cè)映射φ:(φ∶R+×H×Ω→H;(t,x,ω)φ(t,ω)x)，使得φ(0,ω)=idH，并且φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)°φ(s,ω)，其中t,s∈R+,ω∈Ω.若對(duì)?t∈R+,ω∈Ω,xφ(t,ω)x是連續(xù)的,則稱(chēng)φ為連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).(ii)如果對(duì)任意-∞

(2)

利用方程(2)的解定義隨機(jī)流φ與隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

S(t,s;ω)Z(s)=Z(t)，

(3)

則由平穩(wěn)增長(zhǎng)性可以得出S(t,s；ω)x=S(t-s,0；θ0(ω))x.如果定義φ∶R+×H×Ω→H為

φ(t,ω)x=S(t,0;ω)x,

(4)

則由文獻(xiàn)[4]中的定理4.2.4可推得方程(1)存在唯一It適應(yīng)的解,因而得到如下定理.

定理1假設(shè)條件(H1)—(H4)成立,并且任意一個(gè)隨機(jī)過(guò)程N(yùn)t滿(mǎn)足條件(S1)—(S3),則(3)式中定義的映射族S(t,s;ω)是與方程(1)相關(guān)聯(lián)的連續(xù)隨機(jī)流,因而由(4)式定義的映射族φ是與方程(1)相關(guān)聯(lián)的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

定義3(i)一個(gè)(閉)集值映射K∶Ω→2H,如果對(duì)?x∈H,映射ωd(x,K(ω))是可測(cè)的,則稱(chēng)K是可測(cè)的，其中對(duì)非空集A,B∈2H,規(guī)定d(A,B)(x,y),d(x,B)=d({x},B).一個(gè)(閉)可測(cè)的集值映射K也叫做一個(gè)(閉)隨機(jī)集.

定義4如果H的一個(gè)隨機(jī)集A在P測(cè)度意義下對(duì)幾乎所有的ω∈Ω滿(mǎn)足下述條件,則稱(chēng)A為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ的隨機(jī)吸引子:

(i)A是φ不變集,即φ(t,ω)A(ω)=A(θtω),?t>0;

(ii)A吸引所有確定型有界集B?H.

下面給出一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)存在隨機(jī)吸引子的判別方法.

運(yùn)用上述定理擬證明一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的隨機(jī)吸引子的存在性,需要證明存在一個(gè)緊吸收集，為此需要如下附加條件：

(5)

證明對(duì)方程(2)兩端用zt在H中做內(nèi)積,再由算子A的強(qiáng)迫性得到

(6)

根據(jù)Gronwall引理,當(dāng)s≤-1時(shí)有

(7)

證明對(duì)不等式(6)兩端同乘eλ t,并在[-1,0]區(qū)間上求積分，則引理2結(jié)論得證.

(8)

(9)

由引理4和定理2的結(jié)果可知,與方程(1)相關(guān)聯(lián)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ存在唯一的一個(gè)緊隨機(jī)吸引子.

注此結(jié)論同樣可適用于擬線性拋物型偏微分方程、廣義多孔介質(zhì)方程等.

參考文獻(xiàn)：

[1]Crauel H,Debussche A,Flandoli F. Random attractors[J]. J Dyn Dif Equ,1997,9(2):307-341.

[2]Gess B,Liu Wei,Roeckner M. Random attractors for a class of stochastic partial differential equations drivern by general additive noise[J]. J Differential Equation,2011,251(2):1225-1253.

[3]Crauel H,Flandoli F. Attractors for random dynamical systems[J]. Probab Theory Related Fields,1994,100(3):365-393.

[5]Liu W. Invariance of subspaces under the solution flow of SPDE[J]. Infin Dimens Anal Quantum Probab Relat Top,2010,13(1):87-98.