彭建奎,俞建寧,張莉

(1.蘭州文理學(xué)院 師范學(xué)院,甘肅 蘭州 730010; 2.蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730070;3.蘭州工業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，甘肅 蘭州 730050)

混沌研究是數(shù)學(xué)和物理學(xué)等學(xué)科的研究熱點(diǎn)之一，由于混沌系統(tǒng)具有極其復(fù)雜性和對初始值的敏感性，因此混沌在通信保密等領(lǐng)域得到了很好的應(yīng)用[1-3].研究者在對混沌產(chǎn)生機(jī)理進(jìn)行研究時(shí)發(fā)現(xiàn)，有些混沌運(yùn)動(dòng)會(huì)對系統(tǒng)本身產(chǎn)生嚴(yán)重危害，甚至?xí)?dǎo)致災(zāi)難性后果[4]，因此混沌控制成為混沌研究領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.文獻(xiàn)[4-6]提出了許多混沌控制方法,但這些混沌控制方法并沒形成較系統(tǒng)的控制理論.

對于實(shí)際系統(tǒng)而言，如何設(shè)計(jì)一種既簡單又快速達(dá)到混沌控制目的的控制器是研究混沌控制的重要方向.快速衰減性是小波函數(shù)的特點(diǎn)之一,文獻(xiàn)[7]表明采用小波函數(shù)構(gòu)造的非線性壓縮映射具有更有效的控制能力,使混沌系統(tǒng)能夠得到快速而有效的控制.含有理分式離散映射比一般離散映射具有更豐富的動(dòng)力學(xué)行為[8],該映射在參數(shù)取適當(dāng)值時(shí)處于混沌狀態(tài)，映射具有3個(gè)凹凸區(qū)域并含一個(gè)峰值.本文作者在分析含有理分式的一維映射動(dòng)力學(xué)[9]時(shí)發(fā)現(xiàn)，該映射產(chǎn)生混沌道路是倍周期分岔通向混沌的過程.本文在此研究基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)二維含有理分式離散系統(tǒng)，并對其動(dòng)力學(xué)行為和控制結(jié)果進(jìn)行了分析和驗(yàn)證.

1 一維含有理分式離散映射模型

一個(gè)含有理分式離散映射的數(shù)學(xué)模型[8]描述為

(1)

其中參數(shù)p∈[-0.990,0.990],x∈[-10.002 5,10.002 5].當(dāng)參數(shù)p在[-0.999 0,0.999 0]時(shí)發(fā)生變化,其系統(tǒng)對應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖如圖1和圖2所示，由此可知，當(dāng)p∈[0.07,0.15]∪[0.25,0.35]∪[0.38,0.51]∪[0.57,0.62]∪[0.64,0.67]時(shí),Lypunov指數(shù)λ>0,即離散系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài).

圖1 一維離散映射Lyapunov指數(shù)譜

圖2 一維離散映射全局分岔圖

2 二維含有理分式離散系統(tǒng)模型的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 基于修正的Marotto定理的混沌分析

2005年，陳關(guān)榮[10]指出了Marotto定理中的錯(cuò)誤，并給出了Marotto定理的修正定理:

現(xiàn)根據(jù)含有理分式的一維離散映射的研究，給出二維含有理分式的離散映射：

(2)

其中g(shù)1(xn,yn),g2(xn,yn)為耦合項(xiàng).選取對稱二次耦合項(xiàng)g1(xn,yn)=g2(xn,yn)=rxnyn，即得具有對稱二次耦合項(xiàng)的二維有理分式的離散系統(tǒng)模型

(3)

定理2在系統(tǒng)(3)中，選擇參數(shù)p1=p2=0.5,r=0.11，則系統(tǒng)(3)的不動(dòng)點(diǎn)是映射f的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn)，即系統(tǒng)(3)在Li-Yorke意義下是混沌的.

證明運(yùn)用Matlab軟件容易得到系統(tǒng)(3)的不動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為O1(13.632 8,13.632 8),其雅可比矩陣為

根據(jù)定理1，若x0∈Bq(O1)使f在x0某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)可微并滿足detDf(x0)≠0,detDf(x1)≠0，則不動(dòng)點(diǎn)O1為f的返回?cái)U(kuò)張不動(dòng)點(diǎn),并且可直接驗(yàn)證detDf(x0)=0.625 2≠0,detDf(x1)=-19.710 3≠0.

通過以上證明可知映射系統(tǒng)(3)在Li-Yorke意義下是混沌的.

2.2 二維含有理分式離散系統(tǒng)混沌道路的數(shù)值仿真

Lyapunov指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo).當(dāng)p1=p2=0.5，r∈[-0.1,0.15]和r∈[0.3,0.5]時(shí)，運(yùn)用全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜，研究該二維有理分式離散映射動(dòng)力學(xué)行為演化過程表明,隨著r的增大，該二維含有理分式離散映射通過倒倍周期分岔通向混沌道路，并具有比一維含有理分式離散映射更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為(圖3).

圖3 系統(tǒng)映射隨參數(shù)r變化的全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜

當(dāng)r=0.11，p1=p2=p，p∈[-0.5,0.8]時(shí)，運(yùn)用全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜，研究該二維有理分式離散系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為演化過程表明，隨著p的增大，該二維含有理分式離散映射通過倍周期分岔通向混沌道路(圖4).

圖4 系統(tǒng)映射隨參數(shù)p變化的全局分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)譜

3 二維含有理分式離散系統(tǒng)的混沌控制

3.1 小波函數(shù)變換控制法思想

文獻(xiàn)[7]指出小波變換可以控制系統(tǒng)的混沌，小波函數(shù)所構(gòu)造的非線性映射法簡單，只需設(shè)置一個(gè)控制開關(guān)，并且該構(gòu)造方法可對所構(gòu)造的壓縮映射進(jìn)行改進(jìn),將壓縮映射施加于多個(gè)變量,使混沌系統(tǒng)得到更有效的控制.

(4)

3.2 混沌控制的數(shù)值仿真

圖5 二維離散混沌映射控制結(jié)果

4 結(jié)論

本文對含有理分式的一維離散映射的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究,運(yùn)用全局分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜工具討論了該離散映射的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),并得到了該映射混沌態(tài)的形成過程.同時(shí),在此基礎(chǔ)上構(gòu)造了二維含有理分式離散映射，運(yùn)用最大Lyapunov指數(shù)譜和全局分岔圖研究了該二維有理分式離散映射的非線性耦合參數(shù)對該映射的影響，結(jié)果顯示該離散映射具有更加豐富的動(dòng)力學(xué)行為,最后從理論和數(shù)值仿真兩個(gè)方面實(shí)現(xiàn)了小波變換映射壓縮法對該混沌映射的有效控制.

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