喬文剛，袁亭雪

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

3-DOF繩驅(qū)動并聯(lián)機器人運動學(xué)建模及空間分析*

喬文剛，袁亭雪

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010)

研究并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)與工作空間的關(guān)系。提出一種新型的三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人，闡述并簡化該機器人模型，在此基礎(chǔ)上建立其正向運動學(xué)數(shù)學(xué)模型。利用數(shù)學(xué)工具Matlab對其工作空間進行仿真，結(jié)果表明該機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響其工作空間，為機器人的結(jié)構(gòu)開發(fā)奠定了理論基礎(chǔ)。

繩驅(qū)動并聯(lián)機器人；運動學(xué)；工作空間

0 引 言

工作空間是并聯(lián)機器人一項重要性能指標，不同工況對機器人工作空間有著不同的要求[1]，故在設(shè)計過程中是一個不可回避的問題,也是實現(xiàn)并聯(lián)機器人的充分利用的前提條件。因此，對工作空間形狀和大小與并聯(lián)機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)之間關(guān)系的分析是非常必要的。

筆者提出一種三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人，所謂繩驅(qū)動是指機器人末端動平臺的運動由柔性的繩進行驅(qū)動。它既具有并聯(lián)機構(gòu)的優(yōu)點又具有繩索驅(qū)動的優(yōu)點：①無需潤滑：繩的柔性簡化了關(guān)節(jié)的連接及潤滑；②低慣性：材料提供最高的力/質(zhì)量比,減小慣性，提高了機器人的響應(yīng)速度；③工作空間大：柔性繩與擺桿連接處球關(guān)節(jié)比普通球關(guān)節(jié)活動范圍大，使機器人具有更大工作空間[2]。

應(yīng)用幾何方法對該并聯(lián)機器人進行分析，之后建立其正向運動學(xué)數(shù)學(xué)模型并求解。在此基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)工具Matlab對其工作空間進行仿真分析。

1 三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人模型

本文所述并聯(lián)機器人采用Delta機構(gòu)，該機構(gòu)采用3組平行四邊形機構(gòu)。這種機構(gòu)可以消除運動平臺的轉(zhuǎn)動自由度，而只保留空間3個平動自由度[3]。轉(zhuǎn)動自由度的去除,使機構(gòu)工作空間擴大,并減少了運動奇異點[4]。三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的三維型如圖1所示。

圖1 三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人

如圖1所示，三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人共計9個關(guān)節(jié)，包括3個轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)(電機與擺桿的連接)和有6個球面副關(guān)節(jié)(繩與擺桿機、動平臺的連接和氣缸與上下平臺的連接)。該機構(gòu)的動力源來自安裝在基座上的伺服電機，每個電機驅(qū)動一組擺桿和繩，繩的另一端與動平臺相連。通過伺服電機輸出的一定的轉(zhuǎn)角帶動擺桿使其擺動帶動繩，從而使動平臺實現(xiàn)預(yù)期的運動。繩只能承受張力,故在上下平臺之間安裝一氣缸使繩時刻處于張緊狀態(tài)， 同時利用氣缸來作為支撐，使機構(gòu)具有一定的剛度[5]。以動平臺重力的1.5倍為氣缸負載，確定其氣壓。

2 正向運動學(xué)數(shù)學(xué)建模

串聯(lián)機器人的運動學(xué)正解很容易求得,而解析一般形式的并聯(lián)機構(gòu)的運動學(xué)正解迄今為止還沒有得到解決，取而代之的是一些數(shù)值解法,典型的有非線性方程組消元搜索算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，這些解法可以得到精度令人滿意的數(shù)值解,但在解決多解性問題及求解實時性方面存在不足。針對上述問題,筆者提出一種Delta 機構(gòu)正運動學(xué)的幾何解法. 相對于基于代數(shù)方程組的求解方法,其推導(dǎo)過程簡單、直觀,并能直接給出實時控制時滿足連續(xù)運動條件的唯一解。

2.1 模型簡化

將機器人模型首先進行簡化?？紤]到運動平臺只有平動沒有轉(zhuǎn)動, Delta 機構(gòu)中所有分支中的平行四邊形框架始終為平面四邊形,而不會扭曲為空間四邊形[6]。在此條件下,平行四邊形左右兩邊的運動與上下兩邊中點的連線的運動完全相同[7]。故將三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的模型進行簡化化，如圖2所示。

圖2 簡化模型及結(jié)構(gòu)參數(shù)

如圖2所示，該機器人的兩個平臺是兩個等邊三角形：上面的大三角形是裝有電機的固定平臺，3個電機之間的角度為120°；下面的小三角形是裝有末端執(zhí)行器的動平臺。關(guān)節(jié)角度分別為θ1，θ2和θ3，點E0是末端執(zhí)行器的中心，其坐標為(x0，y0，z0)。正運動學(xué)是以關(guān)節(jié)角度為已知參數(shù)，求解末端執(zhí)行器中心的位置[8]，即建立以(θ1，θ2，θ3)為自變量，以(x0，y0，z0)為因變量的函數(shù)[9-10]。已知三自由度繩驅(qū)動機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，包括：f為固定平臺三角形邊長 (mm);e為末端動平臺三角形邊長 (mm);rf為固定平臺連接桿長度 (mm);re為動平臺桿的長度 (mm)。

2.2 建立正向運動學(xué)數(shù)學(xué)模型

選定固定三角平臺的對稱中心為參考坐標系原點，建立相應(yīng)的坐標系，如圖2所示，不難看出點E0的z0坐標值總是負值。

設(shè)三個球關(guān)節(jié)點分別為J1，J2，J3；固定三角平臺三邊轉(zhuǎn)動中心分別為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3；移動三角平臺三邊的球關(guān)節(jié)點分別為E1，E2，E3?，F(xiàn)在關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1，θ2和θ3已給定，需確定末端執(zhí)行器中心點E0的坐標(x0，y0，z0)。由角度θ1，θ2和θ3可以確定點J1，J2，J3的坐標。臂J1E1,J2E2和J3E3可以分別繞點J1，J2和J3全空間自由旋轉(zhuǎn)，形成三個以re為半徑的球體。

圖3 正向運動學(xué)簡化模型

圖4 三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人工作空間交集

所以要確定點E0的坐標(x0，y0，z0)，需要解決一組方程：

(1)

式中：i=1,2,3。球體中心坐標(xi，yi，zi)和半徑re是已知的。

結(jié)合固定平臺投影平面，如圖5所示，不難得出：

FiJi=rf(cosθi) (i=1,2,3 )

圖5 固定平臺投影平面

式中：OFi為固定平臺中心到三邊轉(zhuǎn)動中心距離；JiJi′為長臂的移動距離；FiJi為短臂投影到固定平臺平面的長度。

可以確定點J1′，J2′和J3′的坐標為：

(2)

(i=1,2,3 )

將式(2)中J1，J2和J3的坐標分別代入球面方程式(1)，整理后得矩陣：

(3)

其中：

(4)

至此建立了三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的正向運動學(xué)數(shù)學(xué)模型并對其求解。對以上矩陣進行整理化簡求得：

(5)

(6)

其中：

(z3-z1)(y2-y1)]

(7)

(8)

w1)(y2-y1)]

(9)

(10)

d=(y2-y1)x3-(y3-y1)x2

(11)

由矩陣式(5)和式(6)聯(lián)合最終求得E0點坐標，由實際情況知z0應(yīng)取最小負根。

(12)

由以上公式可以確定末端執(zhí)行器中心點E0坐標，即確定了該機器人的工作空間，為下一步應(yīng)用Matlab進行工作空間的分析提供理論依據(jù)。

3 工作空間仿真與分析

3.1 程序開發(fā)

在Matlab環(huán)境下進行三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人工作空間的程序開發(fā)：首先使用meshgrid函數(shù)生成網(wǎng)格采樣點，然后用Delaunay三角剖分算法將網(wǎng)格采樣點平面剖分，同時對角度進行劃分處理，最后使用tri三角表面繪圖法進行工作空間描繪，輸出三維圖形[11]。具體程序流程如圖6所示。

部分程序如下：[A,B]=meshgrid(linspace(0,1,n),linspace(0,1,n));%meshgrid:生成網(wǎng)格采樣點函數(shù)A=reshape(A,prod(size(A)),1);%reshape:重新調(diào)整矩陣的行數(shù)、列數(shù)、維數(shù)B=reshape(B,prod(size(B)),1);%prod:求數(shù)組元素的乘積；size：返回數(shù)組的尺寸triAB=delaunay(A,B);%delaunay：三角剖分函數(shù):

A = Xb(1)*ones(size(A)) + (Xb(2)-Xb(1))*A;

B = Xb(1)*ones(size(B)) + (Xb(2)-Xb(1))*B;

X = [ Xb(1)*ones(n^2,1) A B ; Xb(2)*ones(n^2,1) A B ;

A Xb(1)*ones(n^2,1) B ;

A Xb(2)*ones(n^2,1) B ;

A B Xb(1)*ones(n^2,1);

A B Xb(2)*ones(n^2,1)];……

圖6 程序流程

3.2 程序正確性驗證

以逆向運動學(xué)為理論基礎(chǔ)，隨機選取部分樣點進行逆向運動學(xué)求解。輸出的角度與工作空間程序要輸入角度進行對比，來驗證程序的正確性。逆向運動學(xué)輸入的是動平臺坐標如表1所列，輸出的則是3個電機轉(zhuǎn)動角度如表2所列。

表1 動平臺坐標輸入 /mm

表2 角度輸出 /rad

逆向運動學(xué)求解部分驗證程序如下：

e=80;

f=400;

re=600;

rf=277;%機器人機構(gòu)尺寸

y1=-0.5*0.57735*f;

y0=y0 - 0.5*0.57735*e;

a=(x0*x0 + y0*y0 + z0*z0 + rf*rf - re*re - y1*y1) / (2*z0); % 逆向角度求解1

b=(y1 - y0)/ z0; ……

3.3 實例仿真

在Matlab環(huán)境下采用三角表面繪圖方法對3自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人進行仿真分析, 求出該機器人的最大工作空間, 其基本步驟為[12]:

(1) 選擇一組確定的電機轉(zhuǎn)動角度θ1，θ2，θ3；此文默認三個角度范圍均為0°～90°。

(2) 輸入一組機構(gòu)設(shè)計參數(shù)f、rf、e和re。

(3) 選定一個動平臺參考點O,將三個電機的轉(zhuǎn)動角度θ1，θ2，θ3分別劃分為N等份，每組角度對應(yīng)與動平臺參考點O的一組確定的位姿(x0，y0，z0)將求出動平臺的每個位姿連接，繪制成三維工作空間圖形輸出。

(4) 重復(fù)步驟(2)和(3), 將機構(gòu)設(shè)計參數(shù)輸入，輸出工作空間圖形。(默認單位長度和角度都劃分為100個單元)

針對圖1所示的機器人機構(gòu)模型, 選用表3所列的結(jié)構(gòu)參數(shù)對機器人的工作空間進行仿真分析。 得出四組工作空間形狀如圖7所示。

表3 機構(gòu)的設(shè)計參數(shù) /mm

圖7 三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人工作空間

在開發(fā)程序過程中按照圖1中模型動平臺在上方，故圖7中顯示的工作空間z軸方向均為正值。

由于f、rf、e和re四個結(jié)構(gòu)參數(shù)對機器人工作空間的影響是相互耦合的，故無法得出各個參數(shù)對工作空間定量的影響。只能對結(jié)構(gòu)參數(shù)與工作空間之間關(guān)系進行定性分析。由圖7可以看出：

(1) 動平臺連接桿長度re對工作空間在z軸方向的最大值影響較大。

(2) 固定平臺三角形邊長f與其工作空間徑向尺寸有關(guān)。

(3) 固定平臺連接桿長度rf和電機轉(zhuǎn)動角度θi將會影響機器人行程范圍。

由以上分析可知，三自由度繩驅(qū)動并聯(lián)機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)直接影響其工作空間形狀和大小。故可用逆向分析方法根據(jù)工作空間的仿真結(jié)果，確定機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)的大體范圍。

4 結(jié) 論

對三自由度繩索驅(qū)動并聯(lián)機器人模型進行簡化, 建立正向運動學(xué)數(shù)學(xué)模型。然后對其工作空間進行仿真。Matlab三角表面法繪制的三維圖形，可以更加直觀展示其工作空間。分析結(jié)果驗證了所述機器人正向運動學(xué)數(shù)學(xué)模型的正確性。根據(jù)實際工況，確定機器人的工作空間，進一步確定機器人結(jié)構(gòu)參數(shù)的范圍，為機器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計與改進奠定了理論基礎(chǔ)。

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Kinematics Modeling and Work Space Analysis for Three-DOF Wire-driven Parallel Robot

QIAO Wen-gang, YUAN Ting-xue

(SchoolofMechanicalEngineering,InnerMongoliaUniversityofScienceandTechnology,BaotouInnerMongolia014010,China)

The relationship between structural parameters and workspace parallel robot for parallel robot is researched. A new three-DOF wire-driven parallel robot is proposed, the robot model is explained and simplified. Based on that, its forward kinematics mathematical model is established. Its workspace is simulated by mathematical tool Matlab. The results show that the structure parameters of the robot directly influence its workspace，which establishes the theoretical foundation for the development of robot structure.

wire-driven parallel robot; kinematics; workspace

2014-01-03

喬文剛(1961-)，男，內(nèi)蒙古包頭人，副教授，碩士，主要從事液壓伺服與機器人等方面的研究工作。

TP24

A

1007-4414(2014)02-0043-05