曹 力，鐘建琳，米 潔

(北京信息科技大學，北京 100192)

0 引言

五軸數(shù)控機床是實現(xiàn)復雜曲面零件的高效高精度加工的重要加工設(shè)備，代表著一個國家機械制造業(yè)的發(fā)展水平，對一個國家的航空、軍事、科研、精密器械等行業(yè)有著至關(guān)重要的影響力。但是由于數(shù)控機床在制造、控制、裝配等各個環(huán)節(jié)以及在加工過程中產(chǎn)生的熱變形、振動、摩擦等各種誤差的影響[1]，使得數(shù)控機床的實際加工軌跡與理想軌跡不能完全吻合，引起了加工誤差，進而影響了加工工件的精度。因此對五軸數(shù)控機床進行誤差補償意義重大，而準確建立誤差模型是進行誤差補償?shù)谋貍錀l件，所以對五軸數(shù)控機床進行幾何誤差建模研究很重要。

多體系統(tǒng)是對一般復雜機械系統(tǒng)的完整抽象和有效描述，可以用若干柔性或剛性體通過某種方式連接而成[2]，在實際應(yīng)用中的機械系統(tǒng)都可以抽象成多體系統(tǒng)，目前已經(jīng)在數(shù)控機床、機器人、坐標測量機等復雜機械系統(tǒng)中應(yīng)用。

1 基于多體系統(tǒng)理論空間幾何誤差建模

多體系統(tǒng)理論的核心是運用多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)關(guān)系對多體系統(tǒng)中的相鄰體及其變換矩陣進行分析。拓撲圖與低序體陣列是多體系統(tǒng)理論中描述相鄰體之間關(guān)聯(lián)的基本方法。

1.1 多體系統(tǒng)中拓撲結(jié)構(gòu)和低序體陣列

拓撲結(jié)構(gòu)是對多體系統(tǒng)本質(zhì)的抽象與概括，而低序體陣列則是描述拓撲結(jié)構(gòu)的常用方法。一般設(shè)慣性坐標系R為B0體，選擇任意一體為B1，然后沿遠離B1的方向按自然增長的數(shù)列標定每個物體的序號，標定到系統(tǒng)的各分支直至全部物體都標定完畢[3]。

圖1 五軸數(shù)控機床機構(gòu)簡圖

對于如圖1所示的五軸數(shù)控機床，可以抽象成如圖2所示的拓撲結(jié)構(gòu)簡圖。

圖2 五軸數(shù)控機床拓撲結(jié)構(gòu)簡圖

在多體系統(tǒng)分析中，拓撲結(jié)構(gòu)的單元稱為體。低序體陣列通過如下算法得到:

式中:L稱為低序體算子。

當L(V)=S時，稱體S是體V的相鄰低序體，顯然體V是體S的相鄰高序體。從而得到圖2所示的拓撲結(jié)構(gòu)的低序體陣列表。如表1所列。

表1 五軸數(shù)控機床低序體陣列表

1.2 多體系統(tǒng)相鄰體之間的位姿描述

在多體系統(tǒng)中，體與體之間的位姿由初始位姿、運動位姿和誤差位姿確定。假定在某一多系統(tǒng)中，典型體S及其相鄰體V如圖3所示。

圖3 典型體S及其相鄰體V

其中Qo是典型體V參考坐標系的原點，相對于體S坐標原點So的位置矢量P與位置誤差矢量Pe。Vo是典型題V的體坐標系原點，V相對于S的移動用位移矢量S和位移誤差矢量Se表示。

1.3 建立多體系統(tǒng)坐標系

在多體系統(tǒng)中，相鄰體之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為相鄰體坐標系之間的關(guān)系。

如圖1所示，在床身與工件分支中，由于床身放置在地面上靜止，所以床身的體坐標系與其慣性參考坐標系重合;2體的理想運動參考坐標系相對于床身的體坐標系平移一個矢量{P2}={P2x，P2y，P2z}T，實際運動參考坐標系與理想運動參考坐標系重合，3體的理想運動參考坐標系相對于2體的體坐標系平移一個矢量{P3}={P3x，P3y，P3z}T，實際運動參考坐標系與理想運動參考坐標系重合，4體的體坐標系、理想運動參考坐標系和實際運動參考坐標系重合，相對于3體的體坐標系平移一個矢量{P4}={P4x，P4y，P4z}T。

在床身與刀具分支中，5體的理想運動參考坐標系，實際運動參考坐標系與床身的體坐標系重合。6體的理想運動參考坐標系與5體的體坐標系重合，實際運動參考坐標系相對于5體的體坐標系轉(zhuǎn)過垂直度誤差φ6xy，7體的理想運動參考坐標系與6體的體坐標系重合，實際運動參考坐標系相對于6體的體坐標系轉(zhuǎn)過垂直度誤差φ7zx和φ7yz，8體的理想運動參考坐標系相對于7體的體坐標系平移一個矢量{P8}={P8x，P8y，P8z}T，實際運動參考坐標系與理想運動參考坐標系重合，9體的理想運動參考坐標系相對于8體的體坐標系平移一個矢量{P9}={P9x，P9y，P9z}T，實際運動參考坐標系與理想運動參考坐標系重合。

2 多體系統(tǒng)相鄰體之間特征矩陣[4－5]

在多體系統(tǒng)中，體坐標系之間的關(guān)系可以由4×4階齊次Denavit－Hartenberg齊次矩陣來描述。相鄰體之間的實際位姿，可由位置位姿特征矩陣、運動位姿特征矩陣及其誤差位姿特征矩陣確定。

在有誤差的多體系統(tǒng)中，相鄰體S、V的位置位姿特征矩陣為:

位置位姿誤差特征矩陣為:

式(5)～(8)中:α，β，γ 代表坐標系 S、V之間的靜止姿態(tài)，a，b，c代表坐標系S、V之間的靜止位置，εpx，εpy，εpz，δpx，δpy，δpz分別表示相對位置誤差矢量在X，Y，Z 軸的回轉(zhuǎn)誤差與移動誤差，θx，θy，θz代表坐標系S的X，Y，Z軸繞坐標系V的X，Y，Z軸的回轉(zhuǎn)角，εsx，εsy，εsz，δsx，δsy，δsz分別表示相對位移誤差矢量在X，Y，Z軸的回轉(zhuǎn)誤差與移動誤差。

即相鄰體之間的變換矩陣為:

于是可以寫出五軸數(shù)控機床各個相鄰體的理想特征矩陣和誤差特征矩陣如下(未注明矩陣為單位矩陣):

3 空間幾何誤差模型的建立[6－8]

設(shè)五軸加工中心刀具切削刃中心點Q在刀具坐標系中的坐標為 Qt=(Qx，Qy，Qz，1)T，在理想情況下，工件在回轉(zhuǎn)工作臺坐標系中的坐標為P，所以:

即點Q在工作臺的理想坐標系與實際坐標系之間的差值為:

即:

式(10)即為該五軸數(shù)控機床的空間幾何誤差模型。依據(jù)數(shù)控機床的誤差辨識參數(shù)即可得到上述特征矩陣，代入式(10)得到空間幾何誤差模型數(shù)學表達式。

4 結(jié)語

基于多體系統(tǒng)理論，以低序體陣列構(gòu)建五軸數(shù)控機床的空間幾何誤差模型，該方法簡單、明確具有通用性和靈活性，可實現(xiàn)應(yīng)用計算機來進行快速建模，通過該模型可以對數(shù)控機床進行誤差補償，提高加工精度進而達到理想的加工效果。

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