許雷波

高考數(shù)學(xué)試卷中選擇題、填空題、解答題的最后一題往往是具有較高區(qū)分度的題，也是許多老師與學(xué)生心目中的難題。這些題目為什么難？一是解題思路較難想到，二是情況很復(fù)雜，對學(xué)生的思維能力要求較高，三是對學(xué)生知識的綜合運用能力要求較強。為了攻克難題，在高考中取得好的成績，一線優(yōu)秀的教師和學(xué)生在備考中花了很多時間進(jìn)行專門的研究和練習(xí)，有了一些很好的想法與經(jīng)驗。在此，筆者把自己求解2013年重慶市高考數(shù)學(xué)選擇題最后一題，即第十題的求解思路與大家分享，以求拋磚引玉。

題：在平面上，AB1⊥AB2，[OB1]=[OB2]=1，[AP]=[AB1]+[AB2]。若

[OP]<[12]，則

[OA]的取值范圍是

（A）（0，[52]] （B）（[52]，[72]]

（C）（[52]，[2]] （D）（[72]，[2]]

解：來自文（2）。根據(jù)已知條件A、B1、P、B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以AB1、AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點O的坐標(biāo)為（x，y），則點P的坐標(biāo)為（a，b），由[OB1]=[OB2]1，得[（x-a）2+y2=1x2+（y-b）2=1]則[（x-a）2=1-y2（y-b）2=1-x2]又由[OP]<[12]，得（x-a）2+（y-b）2<[14]，則1-x2+1-y2<[14]，即x2+y2>[74]，（1）又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1；同理由（y-b）2+x2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2（2）由（1）（2）知[74]

在這個解法中，怎樣想到以A為原點建立坐標(biāo)系，怎樣想到設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b……也就是說解題中存著許多學(xué)生可能想不到的情況，以這種解法講給學(xué)生聽的時候?qū)W生可能會聽得懂，但自己遇到其他類似情況時可能就不會，形成數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的懂而不會現(xiàn)象。如何順其自然地找到解題思路呢？下面是我的探索過程。

嘗試：因為向量的運算具有明顯的幾何意義，所以看到這個題目以后的第一個想法就是畫圖。顯然，B1，B2在單位圓上，A在以B1B2為直經(jīng)的圓上，P在以AB1，AB2為相鄰兩邊的矩形的頂點上（由A定P），如圖1。因為題中要求的是[OA]取值范圍，那么在向量中怎樣求模？一種最常用的方法就是求向量的平方。因為[OP]<[12]，|PA|=|B1B2|≤2，所以由[OA]=[OP]+[OA]，得[OA]2=[OP]2+[PA]2+2[OA][OA]cos∠APB1≤[14]+4+2×[12]×2×1=[14]+4+2=[254]，∴[OA]≤[52]。與答案對比，不對，經(jīng)過分析，原因在于[OP]<[12]。而OP的長度與B1B2的長度是有關(guān)系的，當(dāng)|B1B2|=2時，|OP|=1不符合條件。那么符合條件的點P在哪兒呢？

轉(zhuǎn)換：在剛才嘗試中我們是由A定P?？墒怯捎赑有約束條件|OP|<[12]。所以由A得到的點P不一定符合條件，但在B1B2固定的情況下，A與P是一一對應(yīng)的，因此我們可以轉(zhuǎn)而考慮由P定A。由已知條件，P點同時在以O(shè)為圓心，[12]為半經(jīng)的圓內(nèi)和B1B2為直經(jīng)的圓上，也就是在弧[MN]上，如圖2。

實驗：P的位置確定下來了，那么OA的最大值與最小值分別是多少呢？考慮用幾何畫板軟件中的測算功能。先固定B1，B2，讓P在[MN]上運動，觀察OA值的變化情況。通過實驗操作發(fā)現(xiàn)：P在M或N點時，OA取到極小值[72]，最大值在O、P、A共線時取得，但不是[2]。接著，固定B1，變動B2的位置，再觀察P在上[MN]運動時，|OA|值的變化情況，我們始終發(fā)現(xiàn)，P在M、N處取到極小值[72]，而以B1B2為直經(jīng)的圓過圓心O，且P與O重合時|OA|取到最大值[2]。

證明：剛才是借助幾何畫板軟件這個工具得到答案的，那么這道題具體應(yīng)如何解答呢？從剛才的實驗操作過程我們可以猜想

到滿足題意的圖是圖3

而非圖2。為什么呢？這

里關(guān)鍵是對條件

|[OP]|<[12]

的理解，它的等價含義是

0≤

|[OP]|<[12]，只有在圖3

中OP的長度才滿足這個

條件。知道了這一點，那么此題就很簡單了。由圖3知，△OPA為Rt△，∠POA=90°，|PA|=|B1B2|=[2]，|OA|2=|PA|2-|OP|2=2-|OP|2?！?≤|OP|<[12]，∴[72]<|OA|≤[2]。這個解法比文（2）中提供的解法要簡單得多。

拓展：剛才我們是針對圖3得到了[72]<|OA|≤[2]，如果題目畫出來的圖是圖2，此時|OA|范圍是多少呢？自然而然地就把原題進(jìn)行了拓展：在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]若（1）[13]<|[OP]|<[12]（2）r<|[OP]|<[12]，試分別求|[OA]

|的取值范圍？

此時實際上是將題目條件|[OP]|<[12]變?yōu)閇13]<|[OP]|<[12]或r<|[OP]|<[12]。在畫出來的圖2中，∠POA不是直角，不能用剛才的方法求解。但在△OO1B1中，∠OO1B1=90°，|O1P|=|O1B1|，|OO1|2=|OB1|2-|O1B1|2=1-|O1B1|2=1-|O1P|2。在△OPA中，O1是|PA|的中點，∴2（|OO1|2+|O1P|2）=|OP|2+|OA|2，∴|OP|2+|OA|2=2，|OA|2=2-|OP|2。當(dāng)[13]<|[OP]|<[12]時，可求得

[72]<|OA|<[133]，當(dāng)r<|[OP]|

<[12]時可求得[72]<|OA|<

[2-r2]。當(dāng)然，這時也可建

立如圖4所示的坐標(biāo)系求

解。此時，B1（1，0），設(shè)

p（acosφ，asinφ），B2（cosθ，sinθ）則可求得|OP|=a，A（1+cosθ-acosφ，sinθ-asinφ）。由[PB1]·[PB2]=0，cosθ-acosφ-acosθcosφ-asinθsinφ=-a2，|[OA]|2=（1+cosθ-acosφ）2+（sinθ-asinφ）2=a2+2+2cosθ-2acosφ-2acosθcosφ-2asinθsinφ=2-a2，下面做法同上。

在文（2）中指出此題是難題，面對難題我們怎么辦？從剛才的探索中我們看到首先應(yīng)該從常規(guī)的思路入手，掌握通性通法（比如向量問題我們經(jīng)常要利用其運算的幾何意義，畫出圖形，然后數(shù)形結(jié)合用代數(shù)方法解決幾何問題），熟記常用的結(jié)論（如拓展題解法一中就用到三角形中線長的計算公式），熟練應(yīng)用信息技術(shù)（如運用幾何畫板軟件畫出圖形，找到最值和思路），善于變通和轉(zhuǎn)化（將向量問題轉(zhuǎn)變成幾何問題，幾何問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題），象此文標(biāo)題所說的那樣經(jīng)過嘗試、轉(zhuǎn)換、實驗、證明、拓展等程序，許多時候能突破難點，起到柳暗花明的效果，從而提高自己的解題能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]李柏青.活用信息技術(shù)突破數(shù)學(xué)教學(xué)難點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（11）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

高考數(shù)學(xué)試卷中選擇題、填空題、解答題的最后一題往往是具有較高區(qū)分度的題，也是許多老師與學(xué)生心目中的難題。這些題目為什么難？一是解題思路較難想到，二是情況很復(fù)雜，對學(xué)生的思維能力要求較高，三是對學(xué)生知識的綜合運用能力要求較強。為了攻克難題，在高考中取得好的成績，一線優(yōu)秀的教師和學(xué)生在備考中花了很多時間進(jìn)行專門的研究和練習(xí)，有了一些很好的想法與經(jīng)驗。在此，筆者把自己求解2013年重慶市高考數(shù)學(xué)選擇題最后一題，即第十題的求解思路與大家分享，以求拋磚引玉。

題：在平面上，AB1⊥AB2，[OB1]=[OB2]=1，[AP]=[AB1]+[AB2]。若

[OP]<[12]，則

[OA]的取值范圍是

（A）（0，[52]] （B）（[52]，[72]]

（C）（[52]，[2]] （D）（[72]，[2]]

解：來自文（2）。根據(jù)已知條件A、B1、P、B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以AB1、AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點O的坐標(biāo)為（x，y），則點P的坐標(biāo)為（a，b），由[OB1]=[OB2]1，得[（x-a）2+y2=1x2+（y-b）2=1]則[（x-a）2=1-y2（y-b）2=1-x2]又由[OP]<[12]，得（x-a）2+（y-b）2<[14]，則1-x2+1-y2<[14]，即x2+y2>[74]，（1）又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1；同理由（y-b）2+x2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2（2）由（1）（2）知[74]

在這個解法中，怎樣想到以A為原點建立坐標(biāo)系，怎樣想到設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b……也就是說解題中存著許多學(xué)生可能想不到的情況，以這種解法講給學(xué)生聽的時候?qū)W生可能會聽得懂，但自己遇到其他類似情況時可能就不會，形成數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的懂而不會現(xiàn)象。如何順其自然地找到解題思路呢？下面是我的探索過程。

嘗試：因為向量的運算具有明顯的幾何意義，所以看到這個題目以后的第一個想法就是畫圖。顯然，B1，B2在單位圓上，A在以B1B2為直經(jīng)的圓上，P在以AB1，AB2為相鄰兩邊的矩形的頂點上（由A定P），如圖1。因為題中要求的是[OA]取值范圍，那么在向量中怎樣求模？一種最常用的方法就是求向量的平方。因為[OP]<[12]，|PA|=|B1B2|≤2，所以由[OA]=[OP]+[OA]，得[OA]2=[OP]2+[PA]2+2[OA][OA]cos∠APB1≤[14]+4+2×[12]×2×1=[14]+4+2=[254]，∴[OA]≤[52]。與答案對比，不對，經(jīng)過分析，原因在于[OP]<[12]。而OP的長度與B1B2的長度是有關(guān)系的，當(dāng)|B1B2|=2時，|OP|=1不符合條件。那么符合條件的點P在哪兒呢？

轉(zhuǎn)換：在剛才嘗試中我們是由A定P。可是由于P有約束條件|OP|<[12]。所以由A得到的點P不一定符合條件，但在B1B2固定的情況下，A與P是一一對應(yīng)的，因此我們可以轉(zhuǎn)而考慮由P定A。由已知條件，P點同時在以O(shè)為圓心，[12]為半經(jīng)的圓內(nèi)和B1B2為直經(jīng)的圓上，也就是在弧[MN]上，如圖2。

實驗：P的位置確定下來了，那么OA的最大值與最小值分別是多少呢？考慮用幾何畫板軟件中的測算功能。先固定B1，B2，讓P在[MN]上運動，觀察OA值的變化情況。通過實驗操作發(fā)現(xiàn)：P在M或N點時，OA取到極小值[72]，最大值在O、P、A共線時取得，但不是[2]。接著，固定B1，變動B2的位置，再觀察P在上[MN]運動時，|OA|值的變化情況，我們始終發(fā)現(xiàn)，P在M、N處取到極小值[72]，而以B1B2為直經(jīng)的圓過圓心O，且P與O重合時|OA|取到最大值[2]。

證明：剛才是借助幾何畫板軟件這個工具得到答案的，那么這道題具體應(yīng)如何解答呢？從剛才的實驗操作過程我們可以猜想

到滿足題意的圖是圖3

而非圖2。為什么呢？這

里關(guān)鍵是對條件

|[OP]|<[12]

的理解，它的等價含義是

0≤

|[OP]|<[12]，只有在圖3

中OP的長度才滿足這個

條件。知道了這一點，那么此題就很簡單了。由圖3知，△OPA為Rt△，∠POA=90°，|PA|=|B1B2|=[2]，|OA|2=|PA|2-|OP|2=2-|OP|2?！?≤|OP|<[12]，∴[72]<|OA|≤[2]。這個解法比文（2）中提供的解法要簡單得多。

拓展：剛才我們是針對圖3得到了[72]<|OA|≤[2]，如果題目畫出來的圖是圖2，此時|OA|范圍是多少呢？自然而然地就把原題進(jìn)行了拓展：在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]若（1）[13]<|[OP]|<[12]（2）r<|[OP]|<[12]，試分別求|[OA]

|的取值范圍？

此時實際上是將題目條件|[OP]|<[12]變?yōu)閇13]<|[OP]|<[12]或r<|[OP]|<[12]。在畫出來的圖2中，∠POA不是直角，不能用剛才的方法求解。但在△OO1B1中，∠OO1B1=90°，|O1P|=|O1B1|，|OO1|2=|OB1|2-|O1B1|2=1-|O1B1|2=1-|O1P|2。在△OPA中，O1是|PA|的中點，∴2（|OO1|2+|O1P|2）=|OP|2+|OA|2，∴|OP|2+|OA|2=2，|OA|2=2-|OP|2。當(dāng)[13]<|[OP]|<[12]時，可求得

[72]<|OA|<[133]，當(dāng)r<|[OP]|

<[12]時可求得[72]<|OA|<

[2-r2]。當(dāng)然，這時也可建

立如圖4所示的坐標(biāo)系求

解。此時，B1（1，0），設(shè)

p（acosφ，asinφ），B2（cosθ，sinθ）則可求得|OP|=a，A（1+cosθ-acosφ，sinθ-asinφ）。由[PB1]·[PB2]=0，cosθ-acosφ-acosθcosφ-asinθsinφ=-a2，|[OA]|2=（1+cosθ-acosφ）2+（sinθ-asinφ）2=a2+2+2cosθ-2acosφ-2acosθcosφ-2asinθsinφ=2-a2，下面做法同上。

在文（2）中指出此題是難題，面對難題我們怎么辦？從剛才的探索中我們看到首先應(yīng)該從常規(guī)的思路入手，掌握通性通法（比如向量問題我們經(jīng)常要利用其運算的幾何意義，畫出圖形，然后數(shù)形結(jié)合用代數(shù)方法解決幾何問題），熟記常用的結(jié)論（如拓展題解法一中就用到三角形中線長的計算公式），熟練應(yīng)用信息技術(shù)（如運用幾何畫板軟件畫出圖形，找到最值和思路），善于變通和轉(zhuǎn)化（將向量問題轉(zhuǎn)變成幾何問題，幾何問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題），象此文標(biāo)題所說的那樣經(jīng)過嘗試、轉(zhuǎn)換、實驗、證明、拓展等程序，許多時候能突破難點，起到柳暗花明的效果，從而提高自己的解題能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]李柏青.活用信息技術(shù)突破數(shù)學(xué)教學(xué)難點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（11）.

（責(zé)任編輯：張華偉）

高考數(shù)學(xué)試卷中選擇題、填空題、解答題的最后一題往往是具有較高區(qū)分度的題，也是許多老師與學(xué)生心目中的難題。這些題目為什么難？一是解題思路較難想到，二是情況很復(fù)雜，對學(xué)生的思維能力要求較高，三是對學(xué)生知識的綜合運用能力要求較強。為了攻克難題，在高考中取得好的成績，一線優(yōu)秀的教師和學(xué)生在備考中花了很多時間進(jìn)行專門的研究和練習(xí)，有了一些很好的想法與經(jīng)驗。在此，筆者把自己求解2013年重慶市高考數(shù)學(xué)選擇題最后一題，即第十題的求解思路與大家分享，以求拋磚引玉。

題：在平面上，AB1⊥AB2，[OB1]=[OB2]=1，[AP]=[AB1]+[AB2]。若

[OP]<[12]，則

[OA]的取值范圍是

（A）（0，[52]] （B）（[52]，[72]]

（C）（[52]，[2]] （D）（[72]，[2]]

解：來自文（2）。根據(jù)已知條件A、B1、P、B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2，以AB1、AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b，點O的坐標(biāo)為（x，y），則點P的坐標(biāo)為（a，b），由[OB1]=[OB2]1，得[（x-a）2+y2=1x2+（y-b）2=1]則[（x-a）2=1-y2（y-b）2=1-x2]又由[OP]<[12]，得（x-a）2+（y-b）2<[14]，則1-x2+1-y2<[14]，即x2+y2>[74]，（1）又（x-a）2+y2=1，得x2+y2+a2=1+2ax≤1+a2+x2，則y2≤1；同理由（y-b）2+x2=1，得x2≤1，即有x2+y2≤2（2）由（1）（2）知[74]

在這個解法中，怎樣想到以A為原點建立坐標(biāo)系，怎樣想到設(shè)|AB1|=a，|AB2|=b……也就是說解題中存著許多學(xué)生可能想不到的情況，以這種解法講給學(xué)生聽的時候?qū)W生可能會聽得懂，但自己遇到其他類似情況時可能就不會，形成數(shù)學(xué)教學(xué)中常見的懂而不會現(xiàn)象。如何順其自然地找到解題思路呢？下面是我的探索過程。

嘗試：因為向量的運算具有明顯的幾何意義，所以看到這個題目以后的第一個想法就是畫圖。顯然，B1，B2在單位圓上，A在以B1B2為直經(jīng)的圓上，P在以AB1，AB2為相鄰兩邊的矩形的頂點上（由A定P），如圖1。因為題中要求的是[OA]取值范圍，那么在向量中怎樣求模？一種最常用的方法就是求向量的平方。因為[OP]<[12]，|PA|=|B1B2|≤2，所以由[OA]=[OP]+[OA]，得[OA]2=[OP]2+[PA]2+2[OA][OA]cos∠APB1≤[14]+4+2×[12]×2×1=[14]+4+2=[254]，∴[OA]≤[52]。與答案對比，不對，經(jīng)過分析，原因在于[OP]<[12]。而OP的長度與B1B2的長度是有關(guān)系的，當(dāng)|B1B2|=2時，|OP|=1不符合條件。那么符合條件的點P在哪兒呢？

轉(zhuǎn)換：在剛才嘗試中我們是由A定P?？墒怯捎赑有約束條件|OP|<[12]。所以由A得到的點P不一定符合條件，但在B1B2固定的情況下，A與P是一一對應(yīng)的，因此我們可以轉(zhuǎn)而考慮由P定A。由已知條件，P點同時在以O(shè)為圓心，[12]為半經(jīng)的圓內(nèi)和B1B2為直經(jīng)的圓上，也就是在弧[MN]上，如圖2。

實驗：P的位置確定下來了，那么OA的最大值與最小值分別是多少呢？考慮用幾何畫板軟件中的測算功能。先固定B1，B2，讓P在[MN]上運動，觀察OA值的變化情況。通過實驗操作發(fā)現(xiàn)：P在M或N點時，OA取到極小值[72]，最大值在O、P、A共線時取得，但不是[2]。接著，固定B1，變動B2的位置，再觀察P在上[MN]運動時，|OA|值的變化情況，我們始終發(fā)現(xiàn)，P在M、N處取到極小值[72]，而以B1B2為直經(jīng)的圓過圓心O，且P與O重合時|OA|取到最大值[2]。

證明：剛才是借助幾何畫板軟件這個工具得到答案的，那么這道題具體應(yīng)如何解答呢？從剛才的實驗操作過程我們可以猜想

到滿足題意的圖是圖3

而非圖2。為什么呢？這

里關(guān)鍵是對條件

|[OP]|<[12]

的理解，它的等價含義是

0≤

|[OP]|<[12]，只有在圖3

中OP的長度才滿足這個

條件。知道了這一點，那么此題就很簡單了。由圖3知，△OPA為Rt△，∠POA=90°，|PA|=|B1B2|=[2]，|OA|2=|PA|2-|OP|2=2-|OP|2?！?≤|OP|<[12]，∴[72]<|OA|≤[2]。這個解法比文（2）中提供的解法要簡單得多。

拓展：剛才我們是針對圖3得到了[72]<|OA|≤[2]，如果題目畫出來的圖是圖2，此時|OA|范圍是多少呢？自然而然地就把原題進(jìn)行了拓展：在平面上，[AB1]⊥[AB2]，|[OB1]|=|[OB2]|=1，[AP]=[AB1]+[AB2]若（1）[13]<|[OP]|<[12]（2）r<|[OP]|<[12]，試分別求|[OA]

|的取值范圍？

此時實際上是將題目條件|[OP]|<[12]變?yōu)閇13]<|[OP]|<[12]或r<|[OP]|<[12]。在畫出來的圖2中，∠POA不是直角，不能用剛才的方法求解。但在△OO1B1中，∠OO1B1=90°，|O1P|=|O1B1|，|OO1|2=|OB1|2-|O1B1|2=1-|O1B1|2=1-|O1P|2。在△OPA中，O1是|PA|的中點，∴2（|OO1|2+|O1P|2）=|OP|2+|OA|2，∴|OP|2+|OA|2=2，|OA|2=2-|OP|2。當(dāng)[13]<|[OP]|<[12]時，可求得

[72]<|OA|<[133]，當(dāng)r<|[OP]|

<[12]時可求得[72]<|OA|<

[2-r2]。當(dāng)然，這時也可建

立如圖4所示的坐標(biāo)系求

解。此時，B1（1，0），設(shè)

p（acosφ，asinφ），B2（cosθ，sinθ）則可求得|OP|=a，A（1+cosθ-acosφ，sinθ-asinφ）。由[PB1]·[PB2]=0，cosθ-acosφ-acosθcosφ-asinθsinφ=-a2，|[OA]|2=（1+cosθ-acosφ）2+（sinθ-asinφ）2=a2+2+2cosθ-2acosφ-2acosθcosφ-2asinθsinφ=2-a2，下面做法同上。

在文（2）中指出此題是難題，面對難題我們怎么辦？從剛才的探索中我們看到首先應(yīng)該從常規(guī)的思路入手，掌握通性通法（比如向量問題我們經(jīng)常要利用其運算的幾何意義，畫出圖形，然后數(shù)形結(jié)合用代數(shù)方法解決幾何問題），熟記常用的結(jié)論（如拓展題解法一中就用到三角形中線長的計算公式），熟練應(yīng)用信息技術(shù)（如運用幾何畫板軟件畫出圖形，找到最值和思路），善于變通和轉(zhuǎn)化（將向量問題轉(zhuǎn)變成幾何問題，幾何問題轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題），象此文標(biāo)題所說的那樣經(jīng)過嘗試、轉(zhuǎn)換、實驗、證明、拓展等程序，許多時候能突破難點，起到柳暗花明的效果，從而提高自己的解題能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]李柏青.活用信息技術(shù)突破數(shù)學(xué)教學(xué)難點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2013（11）.

（責(zé)任編輯：張華偉）