張慶豐

［摘要］數(shù)字圖像處理是一門重要的專業(yè)課程，該課程涉及較多的數(shù)學知識，如何面向數(shù)學基礎(chǔ)不足的學生教好這門課是一個重要的問題。作者提出適當減少教學中使用的數(shù)學、使用課堂定制的演示軟件、增強項目開發(fā)環(huán)節(jié)的教學等措施，來提高數(shù)字圖像處理課程的教學效果。實踐表明這些措施確實有效。

［關(guān)鍵詞］教學方法數(shù)字圖像處理數(shù)學基礎(chǔ)項目教學

［中圖分類號］G642.423［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）02-0075-03

數(shù)字圖像處理課程是一門重要的計算機專業(yè)選修課，和數(shù)學的聯(lián)系非常緊密，要求也比較高，從傳統(tǒng)的教材中就可以看到這一點。但是選修該課程的學生很多，有相當一部分學生來自于非計算機專業(yè)。另外作者所在學校有不少的外招生，他們對這個課程也比較感興趣，愿意選修。從整體看，一班學生中數(shù)學基礎(chǔ)不夠好的人數(shù)超過一半。

課程之初的調(diào)查還發(fā)現(xiàn)七成以上的學生不愿意涉及深入的數(shù)學公式，同時，多數(shù)學生愿意在這個課程中學習關(guān)于圖像處理的程序開發(fā)技術(shù)。基于這樣的基礎(chǔ)背景和興趣取向，作者在該課程的教學中除了采用一些常規(guī)教學方法之外，還注意了以下三個方面的工作：第一，課程中減少數(shù)學的使用，盡量不用高深的數(shù)學知識，使用簡單的數(shù)學來解釋數(shù)字圖像處理中的問題。第二，在教學中定制開發(fā)了一些演示軟件，增強學生對算法的理解和感性認識。第三，增強項目開發(fā)環(huán)節(jié)的教學，培養(yǎng)學生的動手能力。

下面詳細談?wù)勅绾卧谶@三個方面加強教學引導，促進學生對知識的學習。

一、課程中盡量減少復雜數(shù)學公式的使用

眾所周知，數(shù)字圖像處理和數(shù)學關(guān)系密切，需要用到不少高深的數(shù)學知識。如果將涉及深入數(shù)學知識的內(nèi)容全部刪減，則大大減少了數(shù)字圖像處理課程的內(nèi)容，降低了課程的專業(yè)價值。如何使用較簡單的數(shù)學知識來講授課程，同時保持課程的專業(yè)價值，這是一個需要認真考慮的問題。

首先，要對講授的知識內(nèi)容進行認真規(guī)劃，原則是減少數(shù)學知識的使用，同時也讓同學領(lǐng)略數(shù)字圖像處理的專業(yè)含義。規(guī)劃后的主要教學內(nèi)容包括：數(shù)字圖像處理中的一些基本概念、灰度變換、圖像的頻域變換、空域濾波、頻域濾波、腐蝕與膨脹、圖像恢復、圖像編碼、邊緣檢測、色彩表達等知識點。應(yīng)該說上面的內(nèi)容和一般的數(shù)字圖像處理課程內(nèi)容并無很大的不同。主要的不同在于減少了一些需要較多數(shù)學基礎(chǔ)的內(nèi)容，如：KL變換、小波變換、維納濾波的原理、信息熵的原理等內(nèi)容。一般來說，這些內(nèi)容的數(shù)學推導是困難的，因此，課程進行了削減。但是對于傅里葉變換、離散余弦變換、逆濾波、Hough變換、算術(shù)編碼等內(nèi)容，還是保留了下來，這些內(nèi)容雖然數(shù)學偏難，但是專業(yè)意味濃厚，因此，需要講授。

其次，則是很重要的一點：在教學中減少高深數(shù)學知識的使用，用簡單直觀的方法來說明數(shù)學算式的原因和含義。下面以傅里葉變換和邊緣檢測為例子來說明如何減少數(shù)學知識的使用。

（一）利用少量的數(shù)學來解釋傅里葉變換

在數(shù)字圖像處理中，傅里葉變換是數(shù)學公式較多，學起來最難的內(nèi)容之一?？紤]到傅里葉變換的重要性，課程必須講解。針對此內(nèi)容，作者按照下面的教學順序來進行。

1.簡單的傅里葉變換的背景知識介紹，以引起學生的興趣。傅里葉是一位法國數(shù)學家和物理學家（1768-1830）,他對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，應(yīng)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當時有爭議的說法：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成。當時論文審查者中有兩位著名的數(shù)學家拉格朗日（1736-1813）和拉普拉斯（1749-1827），當拉普拉斯和其他審查者投票通過，并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，他認為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。

2.寫出一維傅里葉級數(shù)。即明確告訴學生，任何周期函數(shù)可以被一系列三角函數(shù)表達出來，給出相關(guān)公式，并給出一個簡單的例子。

3.這個思想被直接擴展到兩維。也就是說，一個圖像可以被認為是一個二維函數(shù)，它應(yīng)該可以用一系列褶皺函數(shù)來表達出來，例如類似圖1的一系列褶皺函數(shù)。

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圖1一個二維褶皺函數(shù)的例子

4.每個褶皺函數(shù)可以用三個參數(shù)來定義：每個褶皺水平方向的距離、垂直方向的距離以及褶皺的高度。

5.如果規(guī)定每個皺褶之間的水平距離和垂直距離是1/i和1/j。也就是說褶皺隨著i和j的變化而變化，i、j越大，褶皺越窄。這樣褶皺的類型和數(shù)目都是固定的，只要給出這些褶皺的高度，就完全固定了這些褶皺。

6.所有這些褶皺疊加在一起可以逼近一個真實的圖像的灰度，當然疊加褶皺的參數(shù)應(yīng)適當?shù)亟o出。

通過這種類比，我們直接給出圖像的傅里葉變換表達，以及逆變換的表達式。

上面的講解，沒有從數(shù)學的角度嚴謹?shù)刈C明或者說明傅里葉變換，但是形象地給出了傅里葉變換的一種解釋。這種解釋學生容易接受、理解，同時沒有大的偏差。避開了繁瑣的數(shù)學推導和證明。

當然對于數(shù)學基礎(chǔ)較好的同學，我們也給出了詳盡的資料，讓同學們課下研讀。

（二）邊緣檢測中用直觀替代數(shù)學，逐步引導學生創(chuàng)新思考

在邊緣檢測中少不了要用到一階偏微分、二階偏微分這樣的表達，并以此來講授像素點和邊緣關(guān)系的判斷，有些學生覺得不直觀。在講課中，作者直接用直觀的例子來講述如何判斷邊緣的像素點，避開了數(shù)學表達。

圖2介紹邊緣檢測方法的例子。（a）表達了某一行圖像在x方向的灰度變化情況，（b）反映了像素灰度在該方向的一階差分值，（c）表達了像素灰度在該方向的二階差分值。

為了介紹邊緣檢測的方法是怎么樣的，作者使用了如圖2所示的例子。如圖2（a）所示，某一行圖像在x方向的一些像素點，它們的灰度分別是30、30、30、30、30、30、120、210、210、210、210。作者利用這張圖首先給學生介紹了差分的概念，其計算非常簡單，就是像素灰度之間的差值。

這樣對每個像素點在x方向做一階差分，就可以得到0、0、0、0、0、90、90、0、0、0、0，即如圖2（b）所示。然后在此基礎(chǔ)之上，再做一階差分，可以得到各個像素的二階差分值為：0、0、0、0、90、0、90、0、0、0，即如圖2（c）所示。

從圖2（b）中可以看邊緣處的像素在一階差分處取極值。在非邊緣處趨向于0。因此，可以直觀得到一個簡單的結(jié)論：一階差分為極值的像素點就是邊緣的點，或者接近邊緣的點。

從圖2（c）中也可以看出圈起來的圓點對應(yīng)的就是邊緣像素。因此，直觀得到結(jié)果，二階差分的零點就是圖像的邊緣，同時兩邊的像素的差分符號有改變。

利用上面的圖2（b）和圖2（c）很容易理解如何通過一階差分或者二階差分來判斷邊界像素。

實際計算中可能是兩方面的差分都要進行計算，這種計算一般使用線性濾波器來實現(xiàn)，由此可以給學生引出梯度算子的濾波模板。

事實上，在這里還可以讓學生注意觀察圖2（b），引導學生得出一階差分能起到增強邊緣顯示的效應(yīng)，而其它區(qū)域的圖像像素的一階差分趨向于0，這些像素被弱化。

基于這個結(jié)論，可以讓學生進一步討論，能否利用這種特點對圖像進行灰度增強處理？該如何做才合適？

學生比較容易想到將邊緣增強的效果疊加到原圖上就有可能在原圖效果的基礎(chǔ)上突出邊緣顯示。經(jīng)過討論和完善，可以得到下面的圖像增強方法。如果原圖是F，邊緣圖是E，那么增強的圖則為：F+E/k。其中k是標量系數(shù)，適當選取則可以增強圖像效果。

通過上面的例子，一方面直觀介紹邊緣像素的檢測方法，還啟發(fā)了學生進一步思考圖像增強的方法。

二、借助定制軟件增強學生理論的掌握

在數(shù)字圖像處理的教學中，通過定制的教學軟件能夠增強學生對理論的把握和處理效果的理解。這一點為不少教師認同。本課程教學中作者也開發(fā)了一些定制軟件來動態(tài)地展示圖像處理的效果。

以頻域濾波為例，課堂上使用了如圖3所示的一個演示軟件。這個軟件演示幾種主要的低通濾波、高通濾波和帶通濾波的圖像處理效果。這種演示軟件相比于靜態(tài)圖像展示更有利于學生的直觀體驗和動態(tài)對比處理效果。

比如：在講巴特沃斯帶通濾波的時候，學生可以任意選擇要處理的圖像，然后拖動圖3中的滑動條來動態(tài)調(diào)整帶通濾波的上下截止頻率以及巴特沃斯濾波的階數(shù)，處理后的圖像也同時跟隨變化，動態(tài)顯示出來。這樣學生對參數(shù)如何影響處理結(jié)果就有了動態(tài)的對比和感受。這一點是靜止圖像的展示所無法達到的，這也是定制軟件演示所具有的優(yōu)勢。另外需要說明的是，因為定制軟件是利用Matlab開發(fā)的，所以其過程并不很復雜，相對容易。

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圖3 頻域濾波算法的演示軟件

該軟件提供了各種常用頻域濾波的效果演示，同時對各算法的參數(shù)可以進行動態(tài)調(diào)整，及時顯示調(diào)整的效果。給學生帶來動態(tài)對比的效果體驗。

三、增加項目開發(fā)的教學環(huán)節(jié)

數(shù)字圖像處理課程是一個實踐性很強的課程，不少教師對項目開發(fā)在教學中的使用進行了有益的探索。本課程中也引入了項目開發(fā)的教學環(huán)節(jié)，讓學生在Matlab環(huán)境中對給定的項目進行了開發(fā)。在整個項目開發(fā)的實施中，除了常見的措施外，我們還注意了以下兩點：

（一）項目題目的精選和設(shè)計

首先，項目的設(shè)計要有綜合性，能覆蓋大多數(shù)的教學內(nèi)容；其次，項目不能太多，否則學生時間不足。因此，在整個學期中只設(shè)計了了兩個項目讓學生來完成。一個是車牌識別系統(tǒng)的開發(fā)，一個是圖像壓縮系統(tǒng)的開發(fā)。之所以使用這兩個項目由同學來練習，是因為這兩個項目基本覆蓋了圖像處理課程中的所有技術(shù)，同時它們的規(guī)模適中，學生可以不用太多的時間完成。

（二）加強項目開發(fā)中的檢查和督促

傳統(tǒng)的小組項目開發(fā)模式有許多優(yōu)點，但是也存在一個問題：部分同學不積極參與，工作由小組內(nèi)他人代勞。為了調(diào)動同學積極性，對每個項目進行一次課堂上的書面考查，這種考查非常簡短，只要20分鐘。考查內(nèi)容主要包括項目計劃、進展情況、相關(guān)技術(shù)、完成情況、個人所發(fā)揮的作用等。這種考查可以督促每個同學在項目中發(fā)揮作用。

以上兩個方面的細致處理，增強了項目開發(fā)教學環(huán)節(jié)的效能，促進了學生動手能力的培養(yǎng)，收到了良好的效果。

四、總結(jié)

數(shù)字圖像處理是一門數(shù)學要求較高，實踐要求較強的課程，面對弱數(shù)學基礎(chǔ)的學生，數(shù)學上需要降低難度，編程上需要著重鍛煉。作者在教學中采用了用直觀替代數(shù)學，用動態(tài)演示增強直觀體驗，用項目開發(fā)引領(lǐng)學生編程實踐的培養(yǎng)等措施，這些方法和措施的使用確實為弱基礎(chǔ)的同學帶來較好的教學效果。我們采用這些措施已有四年的歷史，教學實踐表明，這種措施是合理有效的，增強了同學們的興趣和信心，提高了同學的圖像處理編程能力，同時較好地掌握了圖像處理知識。

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［責任編輯：左蕓］