☉江蘇省如皋市外國語學校 石飛虹

筆者曾有幸參加過全市青年教師比武大賽，針對教材“不等式及其解集”的教學內(nèi)容，以“問題解決與學習評價”的教學模式構(gòu)建生本課堂，促進教學目標的有效生成.本文擬從教學內(nèi)容與目標解讀、教學過程實錄與目標達成分析、教學反思與課后思考等方面進行深入分析，以期課堂教學達到良好效果.

一、教學內(nèi)容與目標解讀

1.教學內(nèi)容及其解讀

本節(jié)教材選自人教版《義務教育教科書》七年級下冊第九章第一節(jié)“不等式及其解集”.其學習內(nèi)容主要包括：（1）不等式的概念；（2）不等式的解及解集的概念；（3）嘗試用驗證的方法解不等式；（4）在數(shù)軸上表示不等式的解集.由于本節(jié)課是本章學習的起始課，同時也是初中階段不等式學習的起始課.學生在小學已經(jīng)學習過有關數(shù)量的大于、小于、不等于的不等關系，會用符號“＞”、“＜”、“≠”表示有關數(shù)量關系，但用不等式這樣的數(shù)學模型表示生活中的不等關系還沒有學過.所以在小學的基礎上進一步學習不等式是十分必要的.

教材在章前圖的情境創(chuàng)設上，貼近生活實際，借助“商場購物消費”的話題，提出問題“當兩家商場推出不同的優(yōu)惠方案時，到哪家商場購物花費少？”讓學生倍感親切、真實.在學習內(nèi)容的設計上，教材選用了一個具體行程的問題，結(jié)合問題中的不等關系，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題（其中蘊含了符號化、模型化的思想）——不等式，然后類比方程（等式），對不等式進行討論，引出不等式及其解集的概念.在這一過程中體現(xiàn)列不等式蘊含的建模思想，在不等式概念的形成中滲透符號意識和化歸思想.在理解不等式解集幾何表示中突出數(shù)形結(jié)合思想.

2.教學重點、難點分析

基于以上分析，本節(jié)課的重點是正確理解不等式、不等式解與解集的意義，把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上.在知識點的層面上是三個基本概念（不等式、不等式的解和解集），在思維層面上則是數(shù)學思想的滲透（類比、建模、符號意識、數(shù)形結(jié)合）.難點是正確理解不等式解集的意義.

3.教學目標及解讀

（1）教學目標：

①了解不等式以及解（解集）的概念，會把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上.

②經(jīng)歷“把實際問題抽象為不等式”的過程，通過類比等式的對應知識，探索不等式的概念和解，體會不等式與等式的異同，初步掌握類比的思想方法.體會不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的一種有效的數(shù)學模型，培養(yǎng)學生的建模意識.

③通過對不等式概念及其解集等有關概念的探索，培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識，加強同學之間的合作交流意識.

⑵目標解讀：

教學中采用“從現(xiàn)實背景中提出問題；組織學生進入研究階段；幫助學生進行獨立或合作研究的過程；展示成果、分析評價問題解決過程；總結(jié)問題解決過程，形成知識遷移”這一教學模式完成本課的學習.通過學習努力達成：

①了解教材中關于不等式概念的兩種說法，一是“用符號‘＞’、‘＜’表示大小關系的式子，叫做不等式”；二是“用符號‘≠’表示不等關系的式子也是不等式”.明白這里的“符號”指“＜”、“＞”或“≠”（關于“≤”和“≥”號本課暫不提出）.

②使學生知道使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解，這樣的解有無數(shù)個，含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集，認識到不等式的解集包括了不等式的全體的解.

③了解不等式的解集的表示方法有兩種：一是用式子形式（如x＞2），即用最簡形式的不等式（x＞a或x＜a）；另一種是用數(shù)軸，標出數(shù)軸上的某一區(qū)間.其中的點對應的數(shù)值都是不等式的解.這兩種形式分別是用“數(shù)”和“形”表示不等式的解集.“會把不等式的解集正確地表示到數(shù)軸上”就是要求學生會“找界點”、“定方向”.

通過對不等式概念及其解集等有關概念的探索，培養(yǎng)學生的知識遷移能力和建模意識，加強同學之間的使用與交流.在這一過程中實現(xiàn)師生合作交流，構(gòu)建生本課堂，回歸教學本源.

④通過經(jīng)歷“把實際問題抽象為數(shù)學模型——不等式”的過程中學會用類比等式的對應知識，理性思考探索不等式的概念和解，體會不等式與等式的異同，初步掌握類比的思想方法，感悟不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的一種有效的數(shù)學模型.

二、教學過程實錄與達成目標分析

結(jié)合學情特點、教材體系、課題理念等實際，確定本節(jié)課的教與學的方式是：創(chuàng)設情境，問題導入——新課（問題探究和解決）——練習（鞏固新知識）——反饋（對解決問題過程的再現(xiàn)）——測試（檢驗教學目標的落實）.

1.創(chuàng)設情境，問題導入

師（導語）：同學們，在上一章中，我們學習了二元一次方程組，它和我們以前學過的一元一次方程一樣都是用等量關系來刻畫實際生活中的一些數(shù)量關系，進而解決生活中的一些數(shù)學問題.請同學們觀察以下情境，思考情境中提出的問題.

情境1：如圖1（投影展示），天平左盤放2個紅球，右盤放1個5g砝碼，天平傾斜.設每個紅球的質(zhì)量為xg.

圖1

（1）如何用含x的代數(shù)式表示天平左盤中兩個紅球的總質(zhì)量？

（2）觀察圖1，你發(fā)現(xiàn)了什么關系？你能說明這是什么關系嗎？

（3）如何用數(shù)學符號來表示天平左右兩邊代數(shù)式的數(shù)量關系？

教師引導學生認真讀題，弄清題意，同桌交流解決.

師（提問）：你們能解出情境1中的三個問題嗎？

生1：⑴天平左盤中兩個紅球的總質(zhì)量為2x；

生2：我發(fā)現(xiàn)天平左邊托盤較重，這是一種不等關系，即左邊大于右邊.

生3：用數(shù)學符號來表示為：2x＞5.

師：同學們回答得不錯，情境1描述了現(xiàn)實生活中的數(shù)量有大小之分的不等關系.本章就來研究現(xiàn)實生活中數(shù)量的這些不等關系.列出相應的數(shù)學式子——不等式（組），類比等式和方程，討論不等式的性質(zhì)和解法，感受不等式在研究不等關系問題中的重要作用.（板書）課題：“不等式及其解集”.

達成分析：從“天平”問題情境引入本課課題，既尊重教材又不拘泥于教材，有效地達到了學生都初步從感性上建立起現(xiàn)實生活中數(shù)量有大小之分這一不等關系，成功地將學生引入學習新知識的過程之中.有效的教學一定要從學生已經(jīng)知道了什么開始.

2.問題導航，感知概念

問題1：每年5月的第二個星期日是母親節(jié)，母親節(jié)是一個感謝母親的節(jié)日，母親們在這一天通常會收到禮物.忘憂草（又叫萱草花，如圖2）被稱作母親的花.在母親節(jié)的這一天，我班的張三同學按八折買了2束忘憂草作為母親節(jié)禮品，共付了16元錢.

圖2

（1）設每束忘憂草的標價為x元，可列出方程：_____.

（2）付費超過16元呢？你知道每束忘憂草的標價是多少元嗎？

（3）如果付費少于16元呢？

學生小組合作學習一會后教師提問.

師：請一學生板書問題1的結(jié)果.

師：題目中的幾個關鍵詞“八折”、“超過”、“少于”的含意是什么？

達成分析：問題1在本課中起導入新課作用，考慮學生實際情況（分析應用題能力尚欠缺）和課本中問題的難度，所以設置這個問題串，降低難度.這樣編排體現(xiàn)知識呈現(xiàn)的序列性，從易到難，使得學生“列不等式”的能力實現(xiàn)螺旋式上升.通過實例，讓學生認識到不等關系在生活中的存在；通過問題的解答，讓學生了解不等式的概念，體會不等式是解決實際問題的有效工具，同時滲透了感恩教育.從課堂中的實際效果看，教師的這一設想基本達到.

師：觀察式子（1）、（2）、（3），它們表示的是什么關系？有何區(qū)別？

生：第（1）個式子表示的是相等關系，第（2）和（3）表示的是不等關系.

師：式子（1）、（2）、（3）分別叫什么？

生：式子（1）是含有未知數(shù)的等式，叫方程，式子（2）、（3）是不等式.

師：同學們能否給不等式也下一個定義？

生：能，像（2）和（3）這樣用符號“＜”或“＞”表示大小關系的式子，叫做不等式.

師：不等式還有其他表示法嗎？

師：非常好.那么我們知道的不等式表示數(shù)量之間的什么關系呢？

生：一是表示大小關系，如5＞3，-1＜0；二是表示不等關系，如-5≠5.

達成分析：采用學生熟悉的生活情境作為導入內(nèi)容，然后層層推進，步步設問，環(huán)環(huán)相扣，直至推出不等式的概念及概念理解中應注意的地方.這樣實現(xiàn)了讓學生從已有的數(shù)學經(jīng)驗出發(fā)，從生活中建構(gòu)數(shù)學模型，為后面利用“不等式”這一模型解決生活中實際問題做好鋪墊，體現(xiàn)了數(shù)學生活化、生活數(shù)學化.

師：請同學們嘗試完成下面一組問題.并將你的結(jié)果在黑板上板書出來和大家分享.

幻燈演示：嘗試練習，應用新知：用適當?shù)氖阶颖硎鞠铝袉栴}中的數(shù)量關系.

（1）-3小于2；

（2）y的2倍大于8；

（3）某數(shù)a與2的差小于－1；

生（板書）：（1）-3＜2；（2）2x＞8；（3）a-2＜-1.

師：講評（略）.

達成分析：鞏固練習的作用是讓學生用不等式來刻畫題中3個簡單的數(shù)量關系，鞏固上面所學的知識，進一步培養(yǎng)學生列不等式能力.學生得出答案并不難，該環(huán)節(jié)教師深入到學生的解題過程中，觀察指導學生的解題思路，注意讓學生獨立完成，講評時聽學生的評價，使學生再次感知不等式的概念.

師：觀察上面的不等式，除你表示出的有關數(shù)量關系外，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

生（思考后）：有些不等式不含未知數(shù)，如-3＜2；有些不等式含有未知數(shù)，如2x＞8，a-2＜-1.

師：太好了.下面我們就類似研究方程的方法來研究含有未知數(shù)的這類不等式.

（1）你能從下列數(shù)中找出使不等式成立（或符合條件）的數(shù)值嗎？這些使不等式成立的值叫什么？

0 5 10 15 20 25

（2）不等式還有其他解嗎？若有，有多少？這些解應滿足什么條件？

（3）不等式的所有解叫什么？

（4）怎樣在數(shù)軸上表示不等式的解集？

教師出示問題，學生獨立思考并解答，并引導學生共同評價，得出結(jié)果.

師（提問）：你找出使不等式成立的數(shù)值是哪些？

生：我找出使不等式成立的數(shù)值有0、5.

師：你是怎樣確定的？

師：與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數(shù)的值叫什么？

眾生：使不等式成立的未知數(shù)的值叫做不等式的解.

生（思考后回答）：1，2，3，4，－1，－2，－3……無數(shù)個.

師（強調(diào)）：不等式與方程的區(qū)別是不等式的解不止一個.

師：這些解應滿足什么條件？能不能用一個比較簡捷的式子表示呢？

生2（思考后回答）：x＜10.

師：不等式的這些所有解叫什么？

生：不等式的解集.

師（板書）：一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.

師：求不等式的解集的過程叫做解不等式（怎樣解不等式，我們將在后面學習）.

達成分析：此環(huán)節(jié)學生積極按“觀察特點——猜想結(jié)論——驗證猜想”的思路先讓學生先行討論，教師深入小組，仔細傾聽學生意見，參與學生討論，最后師生共同探究.教師根據(jù)學生思考情況，做適當?shù)匾龑?、講解、強調(diào)，最后再給出不等式解集定義.

問題3：直接說出下列不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來.

（1）2x＜8；（2）x-2＞0.

組織學生有針對性的討論，討論要點：

①確定不等式的解集.

②在數(shù)軸上確定表示不等式的解集相對應的點.

③參考課文122頁的圖示9.1-1，理解確定表示不等式解集的射線方向和表示不等式解集的范圍？

④理解課文122頁框內(nèi)敘述：“在表示不等式的解集相應的點上畫空心圓圈”的含意.

學生按討論要點進行小組活動，教師巡視并重點關注：學生討論是否根據(jù)討論要點進行；討論中學生是否積極展示自己的想法，敘述是否有條理，語言是否準確；學生是否能熟練畫出數(shù)軸，會用數(shù)軸表示解集.

師：多媒體展示學生學習結(jié)果，并歸納關于不等式2x＜8的解集.

文字語言：小于4的數(shù)；數(shù)學式子：x＜4.

數(shù)軸表示如圖3.

圖3

師（概括）：用數(shù)軸表示不等式解集的步驟是：

第一步，建立適當?shù)臄?shù)軸；

第二步，找點：確定表示不等式的解集的相應的點（折射線端點）；

第三步，定向（大于向右，小于向左）；

第四步，當不等號為“＜”或“＞”時，射線端點用圓圈表示.

達成分析：通過問題3組織學生有針對性地討論，調(diào)動學生的學習興趣，每位學生都動起來，邊算、邊答、邊畫、邊交流，在數(shù)學活動中獲取成功的體驗機會，主要達成以下幾點：

一是較好地完成了本環(huán)節(jié)主要任務：突出重點和突破難點.通過對學生已有的數(shù)學知識進行拓展延伸，解釋不等式的解，然后遞進到不等式的解集，最后發(fā)展到解集的兩種表述方法，符合知識發(fā)生發(fā)展形成過程.

二是實現(xiàn)了學習中正向遷移的作用.雖然解不等式不是本節(jié)課教學目標，但問題3的第（1）問的設計意圖是想在方程的解與同它對應的不等式的解之間建立一種聯(lián)系，這樣設計充分發(fā)揮學習心理學中正向遷移的作用，借助已有的方程知識，可以為學習不等式提供一條學習之路.

三是滲透了數(shù)學思想.通過解決問題3，得出不等式的解，再引導學生觀察解的特點，探索出解集的兩種表示方法（符號表示、數(shù)軸表示），培養(yǎng)了學生用估算方法求解集的技能，觀察能力和數(shù)感，并且滲透了數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想.

3.課堂達成，學習評價

課堂練習（投影展示）：

（1）已知下列各數(shù)，請將是不等式3x＞5的解的數(shù)填到圖4的橢圓中.

－4，－2.5，0，1，2，3，4.8，8.

（2）不等式3x＞5的解集是：_________.

（3）在數(shù)軸上表示不等式3x＞5的解集，正確的是（ ）.

圖4

（4）某班同學經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1個易拉罐瓶可賣0.1元，1名山區(qū)貧困生一學期住校生活費用大約是500元.該班同學計劃資助兩名山區(qū)貧困生一學期生活費用，他們已從自已的零花錢中集資了450元，不足部分準備靠回收易拉罐所得，那么他們一年至少要回收多少個易拉罐？

學生獨立練習后同桌互動交流、評價，教師講評過程略.

達成分析：運用本節(jié)所學的知識，解決實際問題，使學生經(jīng)歷將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，再加以解決的過程，實現(xiàn)對所學知識的鞏固和深化.通過對學生熟悉的生活背景進行處理，讓學生體會數(shù)學生活化，能將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題加以解決，培養(yǎng)學生應用意識.

4.課堂小結(jié)，布置作業(yè)

問題4：你對不等式及解集有何認識？通過學習有什么感想？

生（甲）：不等式和方程或方程組一樣，都是解決實際問題的數(shù)學模型.

生（乙）：通過和方程的類比來學習不等式的相關知識.

師：非常好，兩位同學都回答得很好，希望同學們做好課后作業(yè)，及時鞏固，希望你們學習愉快！

作業(yè)：教科書 習題9.1 第1、2、3題.

達成分析：通過學習自我反思、交流，引導學生自主完成對本節(jié)知識技能和思想方法的小結(jié)，多數(shù)學生養(yǎng)成“反思”的好習慣，并訓練了學生的語言表述能力，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

三、教學反思與課后思考

本節(jié)課，是一節(jié)數(shù)學概念課，主要體現(xiàn)如下幾點：

1.通過問題導學，不等式及解集的概念在問題解決的過程中直白生成

問題是知識和能力的生長點，教學過程也是學生的認知過程.遵循學生的認知規(guī)律，有意識、有計劃、有條理地設計一些引人入勝的問題，讓學生始終處在積極的思維狀態(tài).只有學生積極地參與教學活動才能收到良好的效果，才能不知不覺中接受了新知識，分散了難點.本課采用情境啟發(fā)、問題解決、實例探究、及時評價的教學方法，揭示了知識的發(fā)生和形成過程.這種教學方法以“問題解決”為基礎，先“提出問題”，后“講評點撥”，讓學生在克服困難與障礙的過程中充分發(fā)揮自己的觀察力、想像力和思維力，再加上多媒體的運用，使不等式及解集的概念在緩慢的問題解決的過程中直白生成.

2.通過互動交流，不等式及解集的概念在緩慢的探索質(zhì)疑中踏實生成

讓學生主動參與、合作交流，并通過計算、驗證、思考，初步體會不等式與方程的區(qū)別和聯(lián)系，突出知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，即不等式與方程一樣，都是反映客觀事物變化規(guī)律及其關系的模型.教學過程中注重展現(xiàn)知識的來龍去脈，引導學生的思維活動，給學生一條觀察事物（情景）、提出問題、分析問題、解決問題的線索，以增強學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，類比已經(jīng)學過的方程知識，引導學生自己去探索、發(fā)現(xiàn)、甄別，從而得出不等式及解集的意義，使不等式及解集的概念在互動交流，探索質(zhì)疑中踏實生成.

3.通過激情生趣，不等式及解集的概念在緩慢的討論思辨中靈動生成

本課設置了現(xiàn)實的問題情境，如天平和母親節(jié)禮品“忘憂草”，討論思辨這些問題，在課堂教學實施中尋找最適合學生思維水平的最佳出發(fā)點，切入點！將數(shù)學教學視為一種活動、一種過程、一種支撐注重活動過程的數(shù)學教學新型課堂，這種新型課堂可以使學生體會到現(xiàn)實生活中存在著大量的不等關系，不等式是現(xiàn)實世界中不等關系的一種數(shù)學表示形式，它也是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間關系的有效模型，使不等式及解集的概念在緩慢的討論思辨中靈動生成.