王鴻雁，肖文生,2，劉忠硯，侯超，崔俊國，付雷

（1.中國石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東青島，266580；2.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083；3.北京石油化工工程有限公司西安分公司,西安710000）

鉆井過程中鉆柱的橫—扭耦合振動分析

王鴻雁1，肖文生1,2，劉忠硯1，侯超1，崔俊國1，付雷3

（1.中國石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院，山東青島，266580；2.中國石油勘探開發(fā)研究院，北京100083；3.北京石油化工工程有限公司西安分公司,西安710000）

鉆井過程中，鉆柱的橫-扭耦合振動是鉆井作業(yè)工程中無法避免的一種運(yùn)動形態(tài)，也是產(chǎn)生鉆柱故障和系統(tǒng)噪聲的原因之一。針對實際鉆井過程中，鉆柱在井下的受力情況復(fù)雜，提出采用了一種簡化假設(shè)方法，對局部坐標(biāo)系中空間鉆柱單元與間隙元進(jìn)行分析，推導(dǎo)出鉆柱橫—扭耦合振動的動力學(xué)矩陣和鉆井過程中鉆柱的橫—扭耦合振動規(guī)律，從而取得了鉆井過程中鉆柱的橫—扭耦合振動特性，對于鉆井過程中振動和噪聲的控制與故障排除也提供了有價值的參考。

振動與波；鉆柱；橫扭耦合振動

振動問題是鉆井過程中的一種重要的危害和噪聲來源。為了提高鉆井的可靠性和安全性，降低鉆井的工作噪聲，對鉆井過程中鉆柱的振動問題進(jìn)行研究是有必要的。

鉆柱橫扭耦合振動是引起鉆井故障的原因之一，橫扭耦合振動的加劇會造成鉆桿斷裂、鉆桿磨損嚴(yán)重、噪聲過大等問題，這些都會影響鉆進(jìn)的動力性和安全性。對鉆進(jìn)過程中鉆柱橫扭耦合振動的研究具有重要的意義。

1 基本假設(shè)

在垂直井中，假設(shè)鉆進(jìn)前，鉆柱軸線與井眼軸線重合，并且沒有初始變形；在鉆進(jìn)過程中，由于鉆柱很長且柔性較好，在載荷作用下一般不會產(chǎn)生塑性變形，因此可以認(rèn)為材料是線彈性的。在狹長的井眼中，鉆柱的變形受井壁的限制，產(chǎn)生了鉆柱與井壁之間的接觸問題，接觸點的位置是未知的，并且在接觸點處，鉆柱與井壁之間存在摩擦力，于是，形成了接觸摩擦非線性問題。所以，垂直井眼中鉆柱的受力和變形問題，是幾何非線性與接觸摩擦非線性互相耦合的問題，稱之為二重非線性問題。

焦永樹等人[1]通過研究已經(jīng)證實，在鉆井工程中，鉛垂井段鉆柱的屈曲主要取決于鉆柱的浮重，而扭矩對鉆柱屈曲的影響可以忽略不計。因此為了便于分析鉆柱的橫扭耦合振動，作了如下一些簡化和假設(shè)：

（1）鉆柱為均質(zhì)彈性直桿；

（2）鉆進(jìn)前鉆柱中心線與井眼中心線重合，鉆進(jìn)開始后鉆柱中心線偏離井眼中心線；

（3）鉆柱的幾何尺寸、材料屬性分段為常數(shù)，不考慮鉆柱連接處和局部孔、槽的剛度；

（4）井眼橫斷面分段保持圓形剛性截面，不考慮井壁上附著物的彈性變形，如巖石、泥餅等；

（5）鉆進(jìn)過程中，鉆柱單元可能發(fā)生微小變形，未考慮大變形的影響；

（6）鉆柱與井壁可能發(fā)生接觸碰撞，這樣接觸碰撞具有多向性和任意性，一旦發(fā)生接觸碰撞，井壁將產(chǎn)生對鉆柱的接觸碰撞反力；

（7）鉆頭的橫向振動分解為水平面上的Y、Z兩個分量。

2 局部坐標(biāo)系中空間鉆柱單元與間隙元分析[2]

任取一空間鉆柱單元，如圖1所示。其鉆柱單元為直桿，左節(jié)點為i，右節(jié)點為j；局部坐標(biāo)系o xyz是以i點為原點，i j連線為x軸，另外兩個坐標(biāo)軸取在梁單元橫截面的二個慣性軸上。梁單元的每個節(jié)點具有5個自由度，其中2個線位移分量，3個角位移分量；與之相對應(yīng)的節(jié)點力向量也為5個，具體為：

局部坐標(biāo)系下的單元節(jié)點位移向量

2.1 單元位移函數(shù)和應(yīng)變

根據(jù)材料力學(xué)知識，若外加載荷作用在節(jié)點上，取鉆柱單元i j在坐標(biāo)平面o xy和o xz內(nèi)的撓度函數(shù)為x的三次函數(shù)式精確的；而單元的扭轉(zhuǎn)角顯然是x的一次函數(shù)。于是，對于具有10個自由度的空間梁單元的位移函數(shù)為

利用10個節(jié)點位移分量，可唯一的確定出上式中的α1-α10未知量，由形函數(shù)表達(dá)的單元位移函數(shù)模式為

其中

鉆柱單元的應(yīng)變可由幾何方程得到

式中[B]為鉆柱單元應(yīng)變矩陣，其顯示為

2.2 單元剛度矩陣與質(zhì)量矩陣

鉆柱單元的彈性矩陣[D]為

圖1 空間鉆柱單元的節(jié)點位移與節(jié)點力

局部坐標(biāo)系下空間鉆柱單元e的剛度矩陣為

式中

質(zhì)量矩陣為

阻尼矩陣為

其中

[CDi]e=α[Mi]e+β[Ki]e，α、β為比例系數(shù)，通過實驗或者仿真來試求。

2.3 間隙元單元剛度矩陣

間隙元法是解決井下鉆柱隨機(jī)多向接觸非線性力學(xué)問題的一種有效方法。動力間隙元特性[3]描述如下：

形狀特性：動力間隙元是一種內(nèi)邊界與鉆柱外表面重合、外邊界與井壁重合的環(huán)形虛擬二維單元，它具有抗壓剛度，但沒有質(zhì)量和阻尼，幾何形狀為一圓環(huán)，見圖2(a)。

圖2 動力間隙元

物理特性：當(dāng)鉆柱未與井壁產(chǎn)生接觸碰撞時，動力間隙元的抗壓剛度趨于零，但不影響鉆柱的運(yùn)動，見圖2(b)，一旦鉆柱與井壁發(fā)生接觸碰撞，由于動力間隙元具有一定的彈性模量，能阻抗鉆柱侵入井壁運(yùn)動，其抗壓剛度不僅能模擬井壁彈性變形、影響鉆柱的運(yùn)動，還能根據(jù)沖量定理修改鉆柱的速度和加速度，描述出鉆柱與井壁的碰撞接觸過程見2(c)。此時，動力間隙元會發(fā)生壓縮變形，將儲存一定的變形能，該變形能可描述鉆柱與井壁接觸碰撞的能量損失。

位于任一鉆柱單元結(jié)點i處的動力間隙元位移可表示為

式中vi和wi分別為鉆柱單元i結(jié)點的y向和z向位移，{δ}e為梁單元i結(jié)點的位移列陣(含兩個線位移和三個轉(zhuǎn)角)， A為轉(zhuǎn)換矩陣。i動力間隙元在任一方向n的初始間隙為

式中d1為鉆柱外徑，D為井眼初始直徑。當(dāng)鉆柱發(fā)生變形后，間隙元將在井眼圓周n方向上產(chǎn)生的位移為

其相對壓縮量為

當(dāng)εGi≥1時，鉆柱與井壁將產(chǎn)生接觸，當(dāng)0≤εGi＜1時，鉆柱與井壁將不產(chǎn)生接觸。間隙元的抗壓剛度EFK與法向應(yīng)變εn的關(guān)系見圖3，圖中Const為鉆柱的抗壓剛度。

圖3 間隙元剛度與應(yīng)變圖

當(dāng)鉆柱未與井壁產(chǎn)生碰撞時，動力間隙元的速度和加速度應(yīng)符合運(yùn)動學(xué)規(guī)律

式中vT和vn分別為切向和法向速度，aT和an分別為切向和法向加速度，θ˙和θ¨分別為鉆柱旋轉(zhuǎn)角速度和角加速度，fG為間隙元的中心位移。

當(dāng)鉆柱與井壁產(chǎn)生碰撞接觸時，間隙元必然有法向碰撞反力RGn，同時伴隨著附加力和力矩

式中RGt和RGA分別為切向和軸向摩擦阻力；μ1為摩擦因數(shù)，與間隙元切向速度有關(guān)，當(dāng)鉆柱做純滾動或純滑動時為滾動或滑動摩擦因數(shù)，否則取滾動和滑動摩擦因數(shù)的加權(quán)平均值；μ2為滑動摩擦因數(shù)；MGt和MGA分別為摩擦阻力引起的轉(zhuǎn)矩和彎矩。間隙元的接觸方位角為

其中系數(shù)k由vi和wi正負(fù)號決定。由上式可見θGi在0°～360°之間變化，能描述出管柱在井眼圓周方向上的隨機(jī)多向接觸問題。

這些附加力將構(gòu)成間隙元的等效結(jié)點力

式中RGty和RGtz分別為切向摩擦阻力RGt在y向和z向的分量，MGAy和MGAz分別為摩擦阻力引起的彎矩MGA在y向和z向的分量?？紤]到鉆柱與井壁碰撞接觸時的能量損失，其動力間隙元的速度和鉆柱旋轉(zhuǎn)角速度應(yīng)符合沖量定理

式中mi為鉆柱第i個節(jié)點的相鄰兩個單元的質(zhì)量的平均值；Rn、Rt分別為鉆柱第i個接點的內(nèi)力。

多向間隙元的平衡方程：

由彈性力學(xué)原理可得任一間隙元i的彈性勢能為

為了使間隙元與梁單元能有機(jī)地拼裝起來進(jìn)行管柱受力分析，需將DGi和BGi用零擴(kuò)充成與梁單元節(jié)點位移維數(shù)相同的矩陣，即矩陣[DGi]和[BGi]為5×5階方陣。此時間隙元的勢能為

式中{δi}e為鉆柱第i個節(jié)點的廣義位移向量；[DGi]為間隙元的彈性矩陣；{εi}和[Bi]分別為間隙元的應(yīng)變向量和應(yīng)變矩陣。其中[BGi]和[DGi]分別為

對上式變分，可得到間隙元的平衡方程式

將上述單元矩陣用零擴(kuò)充成與鉆柱單元節(jié)點位移維數(shù)相同的矩陣，即

其中

所以考慮鉆柱與井壁接觸的鉆柱單元剛度矩陣為

3 鉆柱橫扭耦合振動動力學(xué)矩陣方程

3.1 坐標(biāo)變換

設(shè)整體坐標(biāo)系下單元節(jié)點位移為

節(jié)點位移、鉆柱剛度矩陣和質(zhì)量矩陣在整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中[ T]為轉(zhuǎn)換矩陣，可寫成下列形式

3.2 鉆柱橫扭耦合振動動力學(xué)矩陣方程

組集后的動力學(xué)矩陣方程表示為3底部邊界條件[3―8]

為便于計算,可以將所有橫向力都分解在Y、Z方向，計算式為

3.

式中F?lijk(t)鉆頭在t時刻所受到的橫向力；αijk(t)在t時刻第i牙輪，第j齒圈上第k顆觸底齒的刮切方向；J N(i)為第i牙輪上齒圈總數(shù)；Kc(i,j)為第i牙輪，第j齒圈上觸底齒的顆數(shù)。

三牙輪鉆頭在鉆井過程中除受到橫向力作用外，還受到巖石的阻力產(chǎn)生的阻力矩，該阻力矩與鉆柱作用在鉆頭上的扭矩平衡。設(shè)t時刻鉆頭上第i牙輪，第j齒圈上第k顆觸底齒齒頂中心坐標(biāo)為x(k)，y (k)，z(k)，則牙輪鉆頭與巖石相互作用的扭轉(zhuǎn)相互作用力計算式為

式中l(wèi)yijk(t)、lzijk(t)分別為鉆頭觸底齒與在鉆頭坐標(biāo)系中與y軸和z軸之間的距離；F*lyijk(t)、F*lzijk(t)為鉆頭在t時刻所受到的橫向力在y和z方向上的分量。

4 應(yīng)用實例

以我國南海的某鉆井?dāng)?shù)據(jù)為例，對鉆柱的橫扭耦合振動進(jìn)行模擬分析。

鉆具組合：φ215.9 mm三牙輪鉆頭×0.25 m+ LF1φ214×1.69 m+φ159×71.4鉆鋌×25.37 m+LF2φ 214×1.6 m+φ159×71.4鉆鋌×8.92 m+LF3φ214×1.56 m+φ159×71.4鉆鋌×17.79 m+LF4φ214×1.58 m+φ 159×71.4鉆鋌×105.77 m+φ159接頭×0.5 m+φ127加重鉆桿×108.58 m+φ127普通鉆桿至井口。

鉆井參數(shù)：井深2 500～3 000 m，平均鉆壓180kN，鉆壓幅值15.0 kN，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)速60.0 r/m in，水深1 000 m。

提取鉆柱的橫向和扭轉(zhuǎn)耦合自由度，獲得了鉆柱橫向與扭轉(zhuǎn)振動的頻率分布規(guī)律，如圖4所示。對這種耦合振動在頻率為0.7 Hz的振動進(jìn)行模擬分析，獲得的振動過程中鉆柱上各節(jié)點的振動情況，節(jié)點位移最大的部位在鉆柱底部的節(jié)點，如圖5所示，在這種振動狀態(tài)下，鉆柱底部節(jié)點的振動幅度比較大，容易失效。

圖4 橫向與扭轉(zhuǎn)耦合振動頻率

圖5 橫扭耦合振動時各節(jié)點位移分布

5 結(jié)語

(1)考慮到鉆進(jìn)過程中，鉛垂井段鉆柱的屈曲主要取決于鉆柱的浮重，而扭矩對鉆柱屈曲的影響可以略去不計，對模型進(jìn)行了有益假設(shè)，更加便于進(jìn)行理論分析；

(2)基于以上簡化，應(yīng)用邊界層理論和有限元理論研究鉆進(jìn)時鉆柱的橫扭耦合振動，建立了鉆進(jìn)時鉆柱非線性耦合振動的物理模型；

(3)應(yīng)用有限元法將整體鉆柱離散為有限個鉆柱單元，以鉆柱單元的非線性變形分析為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出了鉆進(jìn)時鉆柱振動的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，建立了鉆進(jìn)時鉆柱的橫扭耦合振動的動力學(xué)方程；

(4)為便于計算，將鉆柱底部受力進(jìn)行分解，最后得出鉆桿單元剛度矩陣方程底部邊界條件；

(5)通過對深水鉆井鉆柱的橫扭耦合振動的分析及模擬，獲得了鉆柱系統(tǒng)的橫扭耦合振動的基本規(guī)律。鉆柱橫扭耦合振動規(guī)律的研究，有利于鉆柱振動的理論及分析方法的完善。

[1]焦永樹，嚴(yán)宗達(dá)，蔡宗熙.扭矩對鉛垂井段鉆柱靜立分岔的影響[J].工程力學(xué)，1998，增刊：261-265.

[2]劉巨保，張學(xué)鴻.石油設(shè)備有限元分析[M].北京：石油工業(yè)出版社，1996.68-70.

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[8]朱才朝，馮代輝，路波，等.鉆柱結(jié)構(gòu)與井壁巖石互作用下系統(tǒng)耦合非線性動力學(xué)研究[J].機(jī)械工程學(xué)報，2007，43(5)：145-149.

Analysis of Lateral-and-torsional Coupled Vibration of Drill String During Drilling Process

WANG Hong-yan1,XIAO Wen-sheng1,2,LIU Zhong-yan1, HOU Chao1,CUI Jun-guo1,FU Lei3

(1.College of Mechanical and Electrical Engineering,China University of Petroleum, Qingdao 266580,Shandong China; 2.Research Institute of Petroleum Exploration and Development,Beijing 100083,China; 3.Beijing Petrochem ical Engineering Co.Ltd.,Xi`an,710000,China)

Coupled lateral-and-torsional vibration of drill string is inevitable during drilling process.It can cause the drill-string faults and system noise.Because the force system applied to the drill string is very complex in the drilling process,a simplified method is provided.The spatial drill-stem element and gap element are analyzed in local-coordinate system.The dynamical matrices of the coupled lateral-and-torsional vibration of the drill string are developed.Some correlation rules are obtained and the basic characteristic of the coupled lateral-and-torsional vibration of the drill string during drilling is revealed.

vibration and wave;drill string;lateral-and-torsional coupled vibration

TB52

A

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.01.015

1006-1355(2014)01-0061-06

2013-03-22

山東省自然科學(xué)基金資助項目（Y2008F48）；國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863計劃)(2012AA090303)；山東省自主創(chuàng)新專項項目（2012CX80101）

王鴻雁（1980-），女，山東東營人，在讀博士，目前主要從事海洋鉆機(jī)方面的研究。

E-mail:wanghy0546@163.com