張萬里,林安

向量優(yōu)化中集合的一些相對代數(shù)性質(zhì)和相對拓?fù)湫再|(zhì)

張萬里,林安

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶401331)

基于Flores-Baz′an等人的思想,提出了假設(shè)B1和假設(shè)B2,證明了集合和的相對代數(shù)內(nèi)部等于相對代數(shù)內(nèi)部的和;集合代數(shù)閉包與相對代數(shù)內(nèi)部的和等于和的相對代數(shù)內(nèi)部;集合和的相對拓?fù)鋬?nèi)部等于相對拓?fù)鋬?nèi)部的和;集合拓?fù)溟]包與相對拓?fù)鋬?nèi)部的和等于和的相對拓?fù)鋬?nèi)部,建立了集合代數(shù)閉包相等與代數(shù)內(nèi)部相等,拓?fù)溟]包相等與拓?fù)鋬?nèi)部相等之間的一些等價(jià)關(guān)系.

向量優(yōu)化;假設(shè)B;相對代數(shù)性質(zhì);相對拓?fù)湫再|(zhì)

1 引言

凸集的相對代數(shù)性質(zhì)和相對拓?fù)湫再|(zhì)在向量優(yōu)化理論研究中具有十分重要的作用[1-2].然而,在實(shí)際問題中存在大量的非凸集.因此,如何在適當(dāng)假設(shè)條件下獲得非凸集的一些相對代數(shù)性質(zhì)和相對拓?fù)湫再|(zhì)是非常有意義的研究主題.1959年,Debreu[3]引入了free disposal集的概念,并提出了假設(shè)A:設(shè)P?Y為內(nèi)部非空的真凸錐,SY滿足0∈?S且S+int P=int S(或S+int P?S,或cl S+int P?S).此后,在經(jīng)濟(jì)理論和優(yōu)化問題中與該假設(shè)有關(guān)的條件被廣泛應(yīng)用.2007年,Bonnisseau[4]等人在P是閉凸錐的情況下提出了free disposal假設(shè)P:S+P=S.2010年,Tammer[5]等人又提出了強(qiáng)free-disposal假設(shè)PS:S+(P{0})=int S或cl S+int P?S.2011年,Flores-Baz′an[6]等人指出假設(shè)A,假設(shè)P,假設(shè)PS具有如下關(guān)系:當(dāng)0∈?S,int S/=?且int P/=?時(shí),(PS)?(P)?(A),并提出了假設(shè)B:0/=q∈Y,SY滿足0∈?S且cl S+R++q?int S,其中R++(0,+∞).此外,Flores-Baz′an等人還在假設(shè)B下獲得了集合的一些拓?fù)湫再|(zhì).假設(shè)B目前已成為研究向量優(yōu)化問題的重要工具[7-9].

受文獻(xiàn)[6,10]中研究工作的啟發(fā),本文分別在實(shí)線性空間和實(shí)拓?fù)渚€性空間中提出了假設(shè)B1和假設(shè)B2,并在相應(yīng)條件下證明了集合的一些相對代數(shù)性質(zhì)和相對拓?fù)湫再|(zhì).

2 假設(shè)B1下集合的一些相對代數(shù)性質(zhì)

假定Y是實(shí)線性空間,S為Y的非空子集,Sc,Sri分別表示S的代數(shù)閉包和相對代數(shù)內(nèi)部,Rn表示n維歐氏空間.基于Flores-Baz′an等人的思想,本文提出假設(shè)B1:0/=q∈Y, Sc+R++q?Sri.

注2.1若S滿足假設(shè)B1,則Sri非空.

注2.2若S滿足假設(shè)B,則S滿足假設(shè)B1,反之不一定成立.

例2.1令Y=R3,S={(x1,x2,0)|1≥x1≥0,x2≥1}∪{(x1,x2,0)|x1≥1,x2≥0}, q=(1,1,0).顯然,S關(guān)于q滿足假設(shè)B1,但S不滿足假設(shè)B.

注2.3上面的例2.1也表明滿足假設(shè)B1的集合S不必是凸集,也不必是錐.

定義2.1[1]S的代數(shù)閉包Sc={y∈Y|?h∈Y,?ε>0,?t∈[0,ε],s+th∈S}.

定義2.2[1]S的相對代數(shù)內(nèi)部Sri={s∈S|?h∈af fS?s,?ε>0,?t∈[0,ε],s+th∈S}.

引理2.1[11]設(shè)S,F?Y為兩個(gè)非空集,則Sc+Fc?(S+F)c.

引理2.2設(shè)非空集S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則S+R++q=Sc+R++q=Sri.

證明任取s∈S,顯然有0∈af fS?s.因此?q∈af fS?(s+q).由s∈Sc和S滿足假設(shè)B1得s+q∈Sc+R++q?Sri.于是af fS?(s+q)?af fS?Sri?af fS?S.

任取x∈Sri,由定義2.2可知,對于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈S+ε0q?S+R++q.故

再由S滿足假設(shè)B1可得S+R++q?Sc+R++q?Sri.結(jié)論得證.

定理2.1設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則

證明任取x∈(S+P)ri?S+P,則存在s∈S,p∈P,使得x=s+p.因?yàn)?/p>

根據(jù)定義2.2可知,對于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈S+ε0q+P?Sri+P.于是(S+P)ri?Sri+P.

任取y∈Sri+P,則存在s∈Sri,p∈P,使得y?p=s∈Sri.由相對代數(shù)內(nèi)部的定義可知:

因而y∈(S+p)ri.根據(jù)引理2.2得S+R++q=Sri,(S+P)+R++q=(S+P)ri.故

則有Sri+P?(S+P)ri.結(jié)論得證.

注2.4從定理2.1的證明可知:若S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則(S+P)ri?Sri+P.

注2.5定理2.1中條件“S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1”不能去掉,否則結(jié)論可能不成立.

例2.2令Y=R2,S={(x1,x2)|x1=0,x2≥0},P={(x1,x2)|x1≥1,x2≥1},q=(0,1).顯然,S關(guān)于q滿足假設(shè)B1,S+P=P關(guān)于q不滿足假設(shè)B1.進(jìn)一步可驗(yàn)證

推論2.1設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,P,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則

證明由定理2.1可知結(jié)論顯然成立.

定理2.2設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,P,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則

證明任取x∈Sc+Pri,存在s∈Sc,p∈Pri,使得x=s+p.因?yàn)?/p>

由相對代數(shù)內(nèi)部定義知,對于q∈Y,存在ε0>0,使得x∈Sc+ε0q+P?Sri+P.故

另一方面,結(jié)合定理2.1易得(S+P)ri=S+Pri?Sc+Pri.結(jié)論得證.

推論2.2設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,P,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則

證明根據(jù)推論2.1和定理2.2可得結(jié)論成立.

定理2.3設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則

證明由引理2.1和引理2.2得,

此外,(Sri+P)c?(S+P)c是顯然的.結(jié)論得證.

推論2.3設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,關(guān)于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設(shè)B1,則

證明由定理2.3可知結(jié)論顯然成立.

定理2.4設(shè)S?Y為非空集且關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則(Sri)c=Sc,(Sc)ri=Sri.證明任取x∈Sc,令h=q∈Y,對任意的ε>0,t∈(0,ε]?[0,ε],均有

由代數(shù)閉包的定義得x∈(Sri)c.故Sc?(Sri)c.此外,顯然有(Sri)c?Sc.因此(Sri)c=Sc.

任取s∈Sc,因?yàn)?q∈af f(Sc)?s?q?af f(Sc)?Sc,故對任意的y∈(Sc)ri,存在ε0>0,使得y∈Sc+ε0q?Sri.于是(Sc)ri?Sri.此外,Sri?(Sc)ri.因此(Sc)ri=Sri.結(jié)論得證.

一般情況下,僅有(Sri)ri?Sri,Sc?(Sc)c.然而下面的例子表明:若S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則(Sri)ri=Sri,Sc=(Sc)c,即Sri是相對代數(shù)開集,Sc是代數(shù)閉集.

例2.3令Y=R3,S={(x1,x2,0)|x1≥0,x2≥0},q=(1,1,0).

顯然,S關(guān)于q滿足假設(shè)B1,且可驗(yàn)證:

因此,Sri是相對代數(shù)開集,Sc是代數(shù)閉集.

定理2.5設(shè)S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B1,則Sri=(Sri)ri,Sc=(Sc)c.

證明顯然(S+R++q)ri=(S+R+q)ri.由定理2.1和引理2.2得,

由引理2.1和定理2.4得(Sc)c+R+q?(Sc+R++q)c?(Sri)c=Sc.故(Sc)c?Sc.此外,Sc?(Sc)c是顯然的.結(jié)論得證.

定理2.6設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,對于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設(shè)B1,則

證明首先證明Sc=Pc?Sri=Pri.

若Sc=Pc,由定理2.4得Sri=(Sc)ri=(Pc)ri=Pri.

若Sri=Pri,由定理2.4得Sc=(Sri)c=(Pri)c=Pc.

接下來證明Sc=Pc?Sri?P?Sc.同理可證Sc=Pc?Pri?S?Pc.

若Sc=Pc,則Sri=Pri.于是Sri=Pri?P?Pc=Sc.

若Sri?P?Sc,由定理2.4和定理2.5得Sc=(Sri)c?Pc?(Sc)c=Sc,故Sc=Pc.

3 假設(shè)B2下集合的一些相對拓?fù)湫再|(zhì)

假定Y是實(shí)拓?fù)渚€性空間,S為Y的非空子集,cl S,ri S,af fS分別表示S的拓?fù)溟]包,相對拓?fù)鋬?nèi)部和仿射包.基于相對拓?fù)鋬?nèi)部,本文提出假設(shè)B2:

注3.1若S滿足假設(shè)B2,則ri S非空.此外,S不一定是凸集也不一定是錐.

注3.2若S滿足假設(shè)B,則S滿足假設(shè)B2,反之不一定成立.

定義3.1[1]S的相對拓?fù)鋬?nèi)部ri S={s∈S|存在零鄰域U使得(s+U)∩cl(af fS)?S}.

引理3.1設(shè)S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則S+R++q=cl S+R++q=ri S.

證明任取x∈ri S,則存在零鄰域U,使得

由U的吸收性,存在r∈R++,使得

此外,由x+rq?ri S?S及彷射集的性質(zhì),有

由(3.1)-(3.3)式,得

因此x∈S+rq?S+R++q.于是

結(jié)合S滿足假設(shè)B2,得S+R++q?cl S+R++q?ri S.結(jié)論得證.

定理3.1設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則

證明任取x∈ri(S+P)?S+P,則存在s∈S,p∈P,使得x=s+p,且存在零鄰域U滿足:

由U的吸收性知,存在r∈R++,使得

又由彷射集的性質(zhì)可得,

由(3.4)-(3.6)式得,

則x∈ri S+P.故ri(S+P)?ri S+P.

任取y∈ri S+P,存在s∈ri S,p∈P,使得y?p=s∈ri S.由定義存在零鄰域V,使得

即(y+V)∩cl(af f(S+p))?S+p.根據(jù)定義得y∈ri(S+p).根據(jù)引理3.1得,

則ri(S+p)=ri S+p=S+R++q+p?S+R++q+P.故ri S+P?ri(S+P).結(jié)論得證.

注3.3從定理3.1的證明可知:若S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則ri(S+P)?ri S+P.

注3.4定理3.1中條件“S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2”不能去掉,否則結(jié)論可能不成立.

推論3.1設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,P,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則

證明由定理3.1可知結(jié)論成立.

類似于定理3.1的證明,可以得到下面的定理3.2及其推論.

定理3.2設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,P,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則

推論3.2設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,且S,P,S+P關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則

定理3.3設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則

證明根據(jù)引理3.1,類似于定理2.3的證明可得結(jié)論成立.

推論3.3設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,對于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設(shè)B2,則

定理3.4設(shè)S關(guān)于0/=q∈Y滿足假設(shè)B2,則ri(cl S)=ri S,cl(ri S)=cl S.

證明類似于定理2.4的證明可得ri(cl S)=ri S.顯然有,

下證cl S?cl(ri S).

任取x∈cl S,對任意的零鄰域U,存在r∈R++,使得x+rq∈x+U.由x+rq∈ri S得(x+U)∩ri S非空.根據(jù)拓?fù)溟]包的定義得x∈cl(ri S),于是clS?cl(ri S).結(jié)論得證.

定理3.5設(shè)S,P?Y為兩個(gè)非空集,關(guān)于0/=q1,q2∈Y分別滿足假設(shè)B2,則

證明類似于定理2.6的證明可得結(jié)論成立.

參考文獻(xiàn)

[1]史書中.凸分析[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,1990.

[2]Jahn J.Vector Optimization:Theory,Applications and Extensions[M].New York:Springer,2011.

[3]Debreu G.Theory of Value[M].New York:John Wiley,1959.

[4]Bonnisseau J M,Crettez B.On the characterization of efficient production vectors[J].Economic Theory, 2007,31(2):213-223.

[5]Tammer C,Zˇalinescu C.Lipschitz properties of the scalarization function and applications[J].Optimization, 2010,59(2):305-319.

[6]Flores-Baz′an F,Hern′andez E.A unif i ed vector optimization problem:complete scalarizations and applications[J].Optimization,2011,60(12):1399-1419.

[7]Flores-Baz′an F,Hern′andez E.Optimality conditions for a unif i ed vector optimization problem with not necessarily preordering relations[J].Journal of Global Optimization,2013,56:299-315.

[8]Zhao K Q,Xia Y M.A kind of unif i ed proper efficiency in vector optimization[J].Abstract and Applied Analysis,Article ID 636907,2014.

[9]Flores-Baz′an F,Laengle S.Characterizing efficiency on inf i nite-dimensional commodity spaces with ordering cones having possibly empty interior[J].Journal of Optimization Theory and Applications,Doi:10.1007/s 10957-014-0558-y,2014.

[10]Tanaka T,Kuroiwa D.The convexity of A and B assures int A+B=int(A+B)[J].Applied Mathematics Letter,1993,6(1):83-86.

[11]楊玉紅.集合的凸性及其應(yīng)用[D].重慶:重慶師范大學(xué)圖書館,2007.

Some relative algebraical properties and relative topological properties of sets in vector optimization

Zhang Wanli,Lin An
(College of Mathematics Science,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

In this paper,the Assumption B1and B2are proposed basing on the idea of Flores-Baz′an et al. The relative algebraic interior of the sum for two sets is equal to the sum of the relative algebraic interior for these sets,the sum of the algebraic closure of a set and the relative algebraic interior of a set is equal to the sum of the relative algebraic interior for the two sets,the relative topological interior of the sum for two sets is equal to the sum of the relative topological interior for these sets,the sum of topological closure of set and the relative topological interior of set is equal to the sum of the relative topological interior for the two sets are proved.Furthermore,the equivalent relations between equality of the algebraic closure and the equality of algebraic interior are established.We also obtain the similar equivalent relations for the topological closure and the relative topological interior.

vector optimization,Assumption B,relative algebraical properties,relative topological properties

O221.6

A

1008-5513(2014)06-0642-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.014

2014-07-23.

國家自然科學(xué)基金(11301574,11171363).

張萬里(1987-),碩士生,研究方向：最優(yōu)化理論及應(yīng)用.

2010 MSC:90C26,90C29,90C30