樊美麗,章春國,谷尚武

具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的能量衰減估計(jì)

樊美麗,章春國,谷尚武

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)系,浙江杭州310018)

研究具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng).首先在合適的假設(shè)條件下,應(yīng)用線性算子半群理論證明了系統(tǒng)的適定性;進(jìn)而運(yùn)用線性算子半群的頻域定理證明了具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合梁―弦系統(tǒng)的能量是一致指數(shù)衰減的.

Kelvin-Voigt阻尼;弱耦合系統(tǒng);線性算子半群;一致指數(shù)衰減

1 引言

基于梁、弦、板等系統(tǒng)在空間科學(xué)及機(jī)器人學(xué)中的廣泛應(yīng)用,由智能材料制成的補(bǔ)釘黏貼在或嵌入到基底結(jié)構(gòu)中作為主動(dòng)或被動(dòng)的阻尼器,為了獲得最優(yōu)配置(最佳控制)結(jié)果,往往需要知道系統(tǒng)能量衰減與系統(tǒng)參數(shù)之間的定量關(guān)系,實(shí)際系統(tǒng)的控制作用往往取決于系統(tǒng)的這一指標(biāo).近二十年來,應(yīng)用的發(fā)展和技術(shù)要求的不斷提高,驅(qū)使國內(nèi)外許多數(shù)學(xué)和力學(xué)工作者研究各種具有不同類型阻尼的Euler-Bernoulli梁、Timoshenko梁、Rayleigh梁以及Petrovsky板等系統(tǒng)(耦合系統(tǒng))的穩(wěn)定性.例如:文獻(xiàn)[1-2]研究的是非線性阻尼耦合振動(dòng)的Petrovsky系統(tǒng),文獻(xiàn)[3-6]考慮的是各種具有不同阻尼的弦、梁及波系統(tǒng)的穩(wěn)定性.本文考慮一類具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的穩(wěn)定性.確切地說,研究如下具有Kelvin-Voigt阻尼的弱耦合系統(tǒng)的初邊值問題:

其中“′”表示對空間變量x的導(dǎo)數(shù),a(x)∈L∞(0,L).

本文的方法源于文獻(xiàn)[6].在合適的假設(shè)下,應(yīng)用經(jīng)典結(jié)果[7]和C0-半群生成元的預(yù)解式在虛軸上的有界性的頻域結(jié)果[8],并且運(yùn)用線性算子半群理論、分片乘子技巧以及矛盾的討論得到了系統(tǒng)(1)的適定性和能量的一致指數(shù)衰減性.

2 主要結(jié)果

為了研究系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性,作如下的假設(shè):

(H1)假設(shè)

其中Poincare常數(shù)c1,c2>0.為了方便起見,記∥a∥L∞(0,L)為∥a∥∞.

(H2)

定義系統(tǒng)(1)在時(shí)刻t的能量為:

引入Hilbert空間

其中Hk(0,L)是k階Sobolev空間[9].并賦予范數(shù):

因此V,H均為Hilbert空間.

設(shè)

并賦予范數(shù):

那么H也是Hilbert空間.

在H中定義線性算子A如下:

那么,可以將系統(tǒng)(1)改寫成H上的抽象Cauchy問題:

其中Z=(u1,u2,v1,v2),

現(xiàn)在敘述本文的主要結(jié)果:

定理2.1如果假設(shè)(H1)-(H2)成立,那么A是H上壓縮C0-半群eAt的無窮生成元.進(jìn)一步,若(u01,u02,v01,v02)∈D(A),則系統(tǒng)(1)存在唯一的強(qiáng)解;若(u01,u02,v01,v02)∈H,則系統(tǒng)(1)存在唯一的弱解.

定理2.2如果假設(shè)(H1)-(H2)成立,那么系統(tǒng)(1)的能量是一致指數(shù)衰減的.

3 系統(tǒng)的適定性和半群的譜性質(zhì)

首先證明算子A生成H上的壓縮C0-半群eAt,進(jìn)而證明系統(tǒng)的適定性,并且得到線性算子A的譜性質(zhì).

定理2.1的證明對于任意的Z=(u1,u2,v1,v2)∈D(A).由分部積分得,

因此A在H中是耗散的.易知kerA={0},對?Z1=(f1,f2,f3,f4)∈H,求解方程:

即

將(11)和(12)兩式相加,分部積分,并應(yīng)用邊界條件得:

于是由(13)式,(H1)和帶權(quán)Cauchy不等式得:

另一方面,由(4)式得,

于是由(14)和(15)兩式得:

于是存在正數(shù)M1,使得

由(10)式和假設(shè)(H1),(H2)得:存在正常數(shù)C1,C2,使得

由(19)-(21)式得到:存在某個(gè)常數(shù)M>0,使得∥Z∥H≤M∥Z1∥H.因此,

且A是閉的.對足夠小的λ>0,λI?A的值域rg(λI?A)=H,故由文獻(xiàn)[7]定理1.4.6知?jiǎng)t應(yīng)用Lumer-Phillips定理即證明了A是H上壓縮C0-半群eAt的無窮生成元.

進(jìn)一步,若(u01,u02,v01,v02)∈D(A),則系統(tǒng)(1)存在唯一的強(qiáng)解:

性質(zhì)3.1iR?ρ(A).

證明首先,證明A具有緊的預(yù)解式.

不妨設(shè){Yn|n≥1}?H是一有界序列:對于n≥1,≤C成立.由上面的證明可得λ=0∈ρ(A).則令Zn=A?1Yn,有∥AZn∥H≤C,根據(jù)Sobolev嵌入定理可知,在Zn中能夠找到收斂的子列,因此A?1是緊的.

由引理4.1[10]的類似證法,可得:

使得

則由(8)式可得,

因此在L2(0,L)中有注意到,

那么在(0,L)中,有

由(22)式以及算子A的定義得到:

故在(0,L)上,有(u1,u2,v1,v2)=0與假設(shè)矛盾.因此原命題成立.

4 定理2.2的證明

若u1(x,t),u2(x,t)是系統(tǒng)(1)的解.那么有:

能量E(t)的一致指數(shù)衰減性等價(jià)于C0-半群eAt的一致指數(shù)穩(wěn)定性.由性質(zhì)3.1和頻域結(jié)果[8],只需證明:

假設(shè)(26)式不成立,即sup{∥(iβ?A)?1∥|β∈R}=+∞,由一致有界性定理和預(yù)解式的連續(xù)性知,存在{βn}?R和{Zn=(u1n,u2n,v1n,v2n)}?D(A),使得

且在H中,有

于是,在V中有,

在H中有,

由(8)式可得:

因此在L2(0,L)中有

另一方面,由(29)式知,〈(f1n,f2n),(v1n,v2n)〉H→0,通過分部積分得,

由(30)式知,〈(f3n,f4n),(u1n,u2n)〉H→0,通過分部積分并結(jié)合(31)式得,

將(33)和(34)兩式相加,并取實(shí)部得:

又由(29)結(jié)合(27)式得到:在L2(0,L)中有,u1n→0,u2n→0,于是結(jié)合(H1),有

從而由(35)結(jié)合(27)式得到:

于是(36)的第二式與(32)式矛盾.這就證明了定理2.2.

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Energy decay estimates for the weakly coupled systems with Kelvin-Voigt damping

Fan Meili,Zhang Chunguo,Gu Shangwu
(Department of Mathematics,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou310018,China)

This paper studies the weakly coupled systems with Kelvin-Voigt damping.First,under the appropriate hypothesis,we prove the well-posedness of the system by using the theory of linear operator semigroup. And then,we show that the energy of the weakly coupled system with Kelvin-Voigt damping is uniform exponential decay by applying the frequency domain result on Hilbert space.

Kelvin-Voigt damping,weakly coupled system,linear operator semigroup, uniform exponential decay

O231.4

A

1008-5513(2014)06-0634-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.06.013

2014-07-31.

國家自然科學(xué)基金(61374096,11271104).

樊美麗(1989-),碩士生,研究方向：分布參數(shù)系統(tǒng).

2010 MSC:35B37,93B52