王仲君，張莉麗

(武漢理工大學(xué)理學(xué)院，湖北武漢430070)

從1989年發(fā)現(xiàn)第一例本土艾滋病例至今，HIV感染已經(jīng)覆蓋全國，部分地區(qū)感染嚴重，在中國疫情的流行呈現(xiàn)出多樣化特征，并從高危人群逐漸向一般人群擴散，雖然艾滋病的死亡率已有下降趨勢，但艾滋病的防治形勢仍然極其嚴峻［1－3］。若利用數(shù)學(xué)方法對艾滋病的傳播過程進行模擬實驗，找到影響艾滋病傳播的相關(guān)參數(shù)，將對艾滋病的防治工作有重要意義。

目前流行病數(shù)學(xué)模型主要有微分方程、元胞自動機等，而基于元胞自動機的流行病研究在微觀和宏觀方面都得到了迅速的發(fā)展［4－7］，由于艾滋病是一種比較特殊的行為性流行病，傳播過程與個體間行為有很大關(guān)聯(lián)。目前艾滋病的模型研究多考慮在一些特定人群、特定傳播路徑下的演化過程。有一些學(xué)者提出個體“異質(zhì)”性，考慮個體具有不同的抵抗力、感染能力等，也有對元胞空間進行擴展，考慮元胞的全局演化過程［8］。

基于上述分析，筆者考慮個體具有不同的年齡結(jié)構(gòu)、不同的抵抗力和感染能力，依距離建立距離影響函數(shù)，并考慮個體間的致病性接觸行為，建立適合的元胞自動機轉(zhuǎn)換規(guī)則，在高危人群和一般人群中分別對HIV傳播行為進行模擬研究，并與實際數(shù)據(jù)相比較，得到更具真實性的傳播模型。

1 模型建立

筆者所提出的模型基于如下假設(shè):①不考慮個體自然死亡與自然出生;②不考慮個體遷入或遷出;③迭代步長t為一個季度。

1.1 元胞狀態(tài)

從感染HIV病毒到發(fā)病，有一個完整的自然過程，為簡化模型便于研究，此處主要把人群分為4類:易感者、感染后未發(fā)病者(處于潛伏期)、感染且發(fā)病者、發(fā)病后死亡者。設(shè)潛伏期持續(xù)時間為t1，發(fā)病期持續(xù)時間為t2，t時刻元胞狀態(tài)有以下4種情況:

幾乎所有的HIV感染者經(jīng)過一段潛伏期后都會進入典型艾滋病期，在沒有醫(yī)療干預(yù)的情況下會很快死亡，HIV的發(fā)病期很短，一般為9個月左右，在未經(jīng)治療的情況下，平均潛伏期為7～10年，其中有部分感染者病情發(fā)展迅速，潛伏期可短至2～3年;還有部分感染者病情發(fā)展緩慢，潛伏期可延長到12年以上。

1.2 元胞的異質(zhì)性

1.2.1 年齡變量

大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明不同年齡群體感染HIV后發(fā)病率不一樣，其中0～20歲個體發(fā)病率最低，50歲以上個體發(fā)病率最高，群體發(fā)病率與多種因素有關(guān)，此處考慮年齡及潛伏期長短對發(fā)病率的影響，設(shè)最初個體(i，j)的年齡變量為 age(i，j)，將人群年齡分為 5個階段，A1=(0，19)、A2=［20，29］、A3=［30，39］、A4=［40，49］、A5=［50，+∞)，其中A1階段內(nèi)個體具有最長潛伏期時間，A5階段內(nèi)個體具有最短潛伏期時間，Ai階段內(nèi)個體具有潛伏期時間為t1i。

由于個體年齡每年都增加一歲，為便于模擬只考慮健康個體年齡的增加，而忽略已感染個體的年齡增加及個體自然死亡情況，此處假設(shè)所有個體的艾滋病發(fā)病時間為3個季度，即t2=3。

1.2.2 個體的傳染強度及抵抗能力

設(shè)t時刻，攜帶HIV病毒的個體(i，j)對健康個體的傳染強度為，研究表明艾滋病患者發(fā)病期的傳染能力要遠遠大于潛伏期的傳染能力，傳染能力隨時間也會不斷增強，此處簡單假設(shè)滿足如下的關(guān)系:

其中，el為控制傳染強度的強度系數(shù)，結(jié)合真實數(shù)據(jù)及實驗?zāi)M確定。

設(shè)mt(i，j)為 t時刻，個體(i，j)的抵抗力，可理解為在一次接觸中，個體不會受到感染的概率。由于個體行為差異性，其抵抗力各不相同［9］，這里假設(shè)mt(i，j)取值服從(0，1)的均勻分布。

1.3 鄰域定義

設(shè)(i0，j0)為中心元胞在網(wǎng)格中的坐標，網(wǎng)格中的任一元胞(i，j)對中心元胞(i0，j0)的距離影響分值為 w(i，j)，則 w(i，j)滿足如下關(guān)系［10－11］:

式中:d為元胞(i，j)到中心元胞(i0，j0)的幾何距離，的影響半徑。如果中心元胞(i0，j0)在元胞(i，j)的影響半徑內(nèi)，則(i，j)在(i0，j0)鄰域內(nèi);如果中心元胞(i0，j0)不在元胞(i，j)的影響半徑內(nèi)，則(i，j)不在(i0，j0)鄰域內(nèi)。

1.4 鄰域內(nèi)元胞對中心元胞的影響力

艾滋病作為一種高致病性的行為性疾病，主要體現(xiàn)在性接觸、血液感染等傳播途徑上，并且在不同的傳播途徑下，個體具有不同的感染率，其中血液傳播的感染率達到95%。相反健康個體與艾滋病患者握手、擁抱、共餐、共用衛(wèi)生間及游泳池等，都不會感染上HIV病毒。此處為簡化模型，暫不單獨考慮不同傳播途徑下的傳播情況，引入函數(shù)來判斷t時刻在一次接觸行為下，元胞(i，j)與中心元胞(i0，j0)之間是否有致病性接觸行為。函數(shù)定義如下:

若It(i，j)=0，元胞間無致病性接觸行為，則 t時刻鄰域內(nèi)元胞(i，j)對中心元胞的影響力較小，影響力計算公式如下:

若It(i，j)=1，鄰居元胞(i，j) 與中心元胞(i0，j0)有致病性接觸行為，對中心元胞的影響力很大，結(jié)合在不同傳播路徑下，個體感染率情況，假設(shè)傳染強度為0.95，此時忽略距離影響分值，影響力計算公式如下:

1.5 元胞狀態(tài)更新規(guī)則

式中:age(i0，j0)為健康個體被感染時個體的年齡;P(St(i0，j0)) 為中心元胞(i0，j0) 在 t時刻被感染的概率，

2 仿真結(jié)果及分析

基于上述模型，假設(shè)初始感染者均處于潛伏期，群體年齡結(jié)構(gòu)簡化為兩類，年輕個體潛伏期為36，年老個體潛伏期為8，結(jié)合C++語言，在不同初始人群感染率下，在100×100二維規(guī)則網(wǎng)格中進行模擬實驗。

2.1 普通人群中HIV傳播

據(jù)統(tǒng)計，我國艾滋病人群平均感染率為0.05%。假設(shè)初始人群感染率為0.05%，初始感染個體隨機分布于網(wǎng)格中，一次迭代過程中個體間最多有一次致病性接觸行為，分別模擬在不同元胞影響半徑、不同初始人群數(shù)下HIV的傳播。

圖1為總感染人數(shù)變化圖，其中圖1(a)是初始人群數(shù)為8 000，元胞影響半徑r分別為1、2、3、4的感染人數(shù)變化圖;圖1(b)為元胞影響半徑r=3，初始人群數(shù)量分別為 4 000、5 000、6 000、7 000、8 000的總感染人數(shù)變化圖。如圖1所示，元胞影響半徑越大，艾滋病傳播速度越快，感染人數(shù)越多，較早達到峰值;元胞影響半徑較小時無新增感染者，艾滋病不能傳播開來，且感染人數(shù)呈現(xiàn)出階梯型下降;同時初始人群數(shù)越大，HIV的傳播速度越快，HIV感染人數(shù)越多。元胞的影響半徑類似于個體的活動范圍，如果可以控制感染個體的活動范圍并對其隔離，就可以在一定程度上控制艾滋病的傳播速度，然而當(dāng)代便捷的交通擴大了個體的活動范圍，也就增加了HIV傳播行為的復(fù)雜性［12］。中國是一個人口大國，各地區(qū)的人群密度、人群分布、人群結(jié)構(gòu)差異大，尤其是一些大城市，人口構(gòu)成很復(fù)雜，艾滋病的傳播行為隨之變得復(fù)雜，而HIV正趨向于由特殊群體向一般人群擴散，艾滋病的防治預(yù)防工作顯得尤為重要。

圖1 總感染人數(shù)變化圖

圖2 相關(guān)感染人數(shù)變化統(tǒng)計圖

圖3 不同時刻的演化結(jié)果圖

圖2 是初始人群數(shù)為8 000，r=3時相關(guān)感染人數(shù)變化圖;圖3為對應(yīng)的部分時刻演化結(jié)果，圖中黑色元胞代表發(fā)病個體，深灰色元胞代表潛伏期個體，淺灰色元胞代表健康個體。對比發(fā)現(xiàn)開始時HIV感染者集中分布于病源附近，總感染人數(shù)迅速增加，在t小于8時，無艾滋病發(fā)病者;t大于8時，在病源附近的部分中老年感染個體首先發(fā)病，發(fā)病人數(shù)與潛伏期人數(shù)相比呈現(xiàn)出一定的滯后性增長和下降。演化步長為36前一段時間內(nèi)，在網(wǎng)格空間限制下，潛伏期個體數(shù)不變，而發(fā)病個體數(shù)較低甚至為0。此時若個體不主動進行檢測，由發(fā)病情況可大致判斷艾滋病“消失”了，但隨著時間的增長，病源附近部分未發(fā)病的年輕感染個體在經(jīng)過漫長潛伏期后逐漸發(fā)病，發(fā)病人數(shù)激增，艾滋病再一次爆發(fā)?？梢娙后w年齡結(jié)構(gòu)影響艾滋病的爆發(fā)情況，短期的艾滋病“消失”現(xiàn)象不能忽視，仍然要做好防治工作。

2.2 艾滋病高發(fā)地區(qū)HIV傳播

在性接觸、血液接觸等行為下艾滋病的感染率較大，在一些特殊群體中感染率最高達到5%，這里假設(shè)HIV初始感染率為2.5%，初始人群數(shù)為4 000，元胞影響半徑r=3，考慮在一次迭代過程中，個體之間存在致病性接觸行為數(shù)最多分別為1、2、3這3種情況，這里假設(shè)初始感染者分布在網(wǎng)格中心位置，便于觀察傳播現(xiàn)象。

(1)總感染人數(shù)比較。模擬過程中發(fā)現(xiàn)HIV由病源中心向四周擴散，致病性接觸的次數(shù)越多，傳染速度越快，感染面積越大，在較高致病性接觸次數(shù)下，艾滋病很可能成為地方病。同時個體間不存在致病性接觸行為時，即使初始感染率很高，在模擬過程中無新增感染者，初始感染個體經(jīng)過潛伏期、發(fā)病期后死亡。如圖4所示，在一次迭代過程中健康個體與感染個體之間的致病性接觸次數(shù)越多，HIV感染率越大，艾滋病的傳播速度越快，感染人數(shù)越多，群體的死亡率越高。在艾滋病高發(fā)地區(qū)，一定存在著與當(dāng)?shù)亟?jīng)濟、社會相關(guān)的一條傳播途徑，要有效控制艾滋病的傳播，首先要找到在該地區(qū)艾滋病傳播的主要途徑，再有針對性地對其進行行為教育控制，減少致病性接觸行為次數(shù)，降低艾滋病的感染率及傳播速度。

圖4 總感染人數(shù)變化圖

(2)發(fā)病人數(shù)比較。模擬過程中發(fā)現(xiàn)某些個體離病源距離雖近，但被感染后發(fā)病時間較遲，有些個體距離中心感染區(qū)較遠，但是被感染后較早發(fā)病死亡，體現(xiàn)了個體年齡差異性對潛伏期及發(fā)病情況的影響，發(fā)病期個體數(shù)隨時間變化的數(shù)據(jù)也說明了這一問題。圖5為3種不同致病性接觸次數(shù)下發(fā)病期個體數(shù)的變化圖，這3種情況下，發(fā)病期個體數(shù)基本呈現(xiàn)出先增加后減少的趨勢，但波動較大。在演化步數(shù)t小于8時，無艾滋病發(fā)病者，這是因為模型假設(shè)中老年個體的潛伏期為8，而年輕個體的潛伏期為36，所以t在16～36之間時發(fā)病個體都是老年個體，在演化步數(shù)大于36后，各年齡的感染個體都有可能會發(fā)病，整個群體的發(fā)病情況就變得復(fù)雜了。隨著個體年齡增長，中老年個體數(shù)增加，其較短的潛伏期在一定程度上影響發(fā)病人數(shù)，而前期感染的年輕個體經(jīng)過漫長的潛伏期后也會發(fā)病，發(fā)病個體數(shù)波動較大。若發(fā)病個體數(shù)下降則說明新增發(fā)病個體數(shù)小于新增死亡人數(shù)，這與潛伏期個體數(shù)及年齡結(jié)構(gòu)有一定的關(guān)聯(lián)。這3種模擬情況下發(fā)病人數(shù)最后都會大幅度下降，這可能是因為網(wǎng)格規(guī)模限制了潛伏期個體數(shù)，潛伏期個體數(shù)大量降低導(dǎo)致發(fā)病期的個體數(shù)相對也大量減少?？梢娫跊]有藥物治療的前提下，個體的年齡結(jié)構(gòu)確實在一定程度上影響HIV傳播。

2.3 實際數(shù)據(jù)比較分析

圖5 發(fā)病人數(shù)變化圖

圖6 給出了武漢市2001—2011年的艾滋病感染人數(shù)變化情況，與本實驗所模擬得到的發(fā)病人數(shù)變化圖相比，具有一定的相似性，故考慮年齡屬性來研究艾滋病的傳播具有一定的真實性。

圖6 艾滋病感染人數(shù)變化圖

3 結(jié)論

元胞自動機模型曾多次用于流行病傳播研究，筆者從年齡結(jié)構(gòu)、傳染能力等方面擴展元胞自動機模型，并考慮元胞間是否有致病性接觸行為以及致病性接觸行為的次數(shù)對HIV傳播行為的影響，最后在兩類人群下模擬實驗，得到相關(guān)參數(shù)對HIV傳播行為的影響。仿真結(jié)果發(fā)現(xiàn)初始人口數(shù)、元胞影響半徑仍然影響HIV的傳播速度及感染率，致病性接觸行為對HIV傳播速度影響較大，年齡結(jié)構(gòu)在一定程度上影響群體的HIV感染分布，初始人群數(shù)、致病性接觸次數(shù)、元胞影響半徑及年齡結(jié)構(gòu)相互作用，共同影響著HIV在群體中的傳播，在某些取值條件下，群體總感染人數(shù)及發(fā)病期人數(shù)呈現(xiàn)出一些固定的變化規(guī)律，可進一步研究這些規(guī)律從而對艾滋病的預(yù)防控制提出科學(xué)合理的建議。

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