梁明智

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程系， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

導(dǎo)體在含有電阻、電容、電感導(dǎo)軌電路上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律探析

梁明智

（赤峰學(xué)院 物理與電子信息工程系， 內(nèi)蒙古 赤峰024000）

本文分析討論了在含有電阻、電容、電感導(dǎo)軌電路上導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)接電阻、電容和電感時(shí)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是不同的，對于接電阻時(shí)，最終導(dǎo)體棒將作勻速直線運(yùn)動(dòng)；接電容時(shí)，導(dǎo)體棒最終將作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而接電感時(shí)，根據(jù)電阻的不同，導(dǎo)體棒最終也將作勻速直線運(yùn)動(dòng).

電流；節(jié)點(diǎn)；初始值；終了值；拉普拉斯變換

在電磁學(xué)中，經(jīng)常會涉及在傾斜的光滑導(dǎo)軌上接有電阻、電容或電感時(shí)，放在導(dǎo)軌上的金屬棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問題，下面就這一問題進(jìn)行詳細(xì)的討論.

設(shè)地面上有一與水平面成θ角的固定光滑導(dǎo)軌MN和PQ，兩導(dǎo)軌的間距為L0，其電阻可略，空間存在有與導(dǎo)軌平面垂直的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B，一質(zhì)量為m，電阻為R的導(dǎo)體棒AB放在導(dǎo)軌上并和導(dǎo)軌有良好的接觸.下面討論開關(guān)S分別與電阻、電容或電感相連時(shí)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

1 開關(guān)S與電阻R0相連

設(shè)t=0時(shí)將導(dǎo)體棒由靜止釋放，t時(shí)刻時(shí)棒沿導(dǎo)軌向下的速度為V，則根據(jù)電磁感應(yīng)和牛頓第二定律有：

當(dāng)t=0時(shí)，V(0)=0，則該方程的解為：

（2）最終導(dǎo)體棒將作勻速直線運(yùn)動(dòng)，其速度為：

2 開關(guān)與電容C相連

設(shè)電容開始時(shí)所帶的電荷量為0，t=0時(shí)將導(dǎo)體棒由靜止釋放，t時(shí)刻時(shí)棒沿導(dǎo)軌向下的速度為V，此時(shí)電路中的電流為I，電容兩端的電壓為uc，則根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律有：

整理后有：

解有：

對UC(S)求反拉普拉斯變換有：

由(2)式得導(dǎo)體棒的速度為：

下面對導(dǎo)體棒的速度進(jìn)行如下討論：

（1）導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)可理解為勻加速直線運(yùn)動(dòng)與速度按指數(shù)規(guī)律增加運(yùn)動(dòng)的合成，若令，可知τ越大，導(dǎo)體棒的速度增加的越慢，而τ的大小只取決于電路本身與初始條件無關(guān).

（2）若t>>τ時(shí)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度為：

由(6)式可知導(dǎo)體棒最終將作勻加速直線運(yùn)動(dòng).

（3）若回路電阻R=0，則導(dǎo)體棒開始就作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為

3 開關(guān)與電感L相連

在t=0時(shí)將導(dǎo)體棒由靜止釋放，t時(shí)刻時(shí)棒沿導(dǎo)軌向下的速度為V，此時(shí)電路中的電流為I，則根據(jù)基爾霍夫定律和牛頓第二定律有：

由（7）、（8）式整理得：

討論：⑴若方程S2+aS+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即：R>兩實(shí)根為：

則由(11)式有：

對I(S)求反拉普拉斯變換有：

由(7)式導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度經(jīng)整理后其形式為：

上式表明：（1）當(dāng)電阻很大時(shí)，導(dǎo)體棒的速度單調(diào)地趨于某一定值，導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)不僅不是周期的而且不是往復(fù)的，即將導(dǎo)體棒釋放后，將慢慢地作勻速運(yùn)動(dòng).其最終速度為：

（2）若方程S2+aS+b=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根，即其實(shí)根為：

則由(11)式有：

對I(S)求反拉普拉斯變換有：

由(7)式導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度經(jīng)整理后其形式為：

從上式可以看出導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)仍不是往復(fù)運(yùn)動(dòng)，將導(dǎo)體棒釋放后，導(dǎo)體棒會很快達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)，其最終速度為：

（3）若方程S2+aS+b=0有兩個(gè)復(fù)數(shù)根，即其復(fù)根為：

則由(11)式有：

對I(S)求反拉普拉斯變換有：

由(7)式導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)速度經(jīng)整理后其形式為：

上式表明，當(dāng)電阻很小時(shí)，導(dǎo)體棒的速度可理解為勻速直線運(yùn)動(dòng)與振幅按指數(shù)規(guī)律減小的周期運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，α越大，振幅減少的越快.

討論：（1）導(dǎo)體棒的最終速度為

（2）若回路中電阻不計(jì)，即R=0，則導(dǎo)體棒將作簡諧振動(dòng).

由以上的分析可知，接電阻、電容和電感時(shí)導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是不同的，對于接電阻時(shí)，最終導(dǎo)體棒將作勻速直線運(yùn)動(dòng)；接電容時(shí)，導(dǎo)體棒最終將作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，而接電感時(shí)，根據(jù)電阻的不同，導(dǎo)體棒最終也將作勻速直線運(yùn)動(dòng).

〔1〕數(shù)學(xué)手冊[M].北京：高等教育出版社.

〔2〕賀洪江,王振濤.電路基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社.

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1673-260X（2014）06-0015-02