李娜

德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東德州 253023

分數(shù)階非線性Duffing振子方程的特性研究

李娜

德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東德州 253023

1 分數(shù)階振子方程

實際力學(xué)系統(tǒng)中干擾振子振動的因素很多，外界的摩擦力和阻力是產(chǎn)生阻尼的外在原因，另外振子本身在振動過程中也會消耗能量是產(chǎn)生阻尼的內(nèi)在原因。利用整數(shù)階微分算子來描述黏彈性介質(zhì)等復(fù)雜系統(tǒng)的振子振動時往往會加入一些人為的經(jīng)驗參數(shù)來構(gòu)造非線性微分方程。而引入分數(shù)階微分算子，可以用簡單的分數(shù)階微分方程來描述振子的振動。Duffing振子方程是力學(xué)中常見的振子方程，在工程技術(shù)、物理學(xué)，化學(xué)以及生物學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用[1-2]，Duffing振子的一般形式為：其中l(wèi)表示阻尼比，m，n分別代表線性與非線性恢復(fù)力的系數(shù)，f(t)表示外部力。由于Duffing振子的廣泛應(yīng)用，近年來涌現(xiàn)了大量的文獻研究Duffing振子的混沌特性，混沌同步問題等[3-4]。本文從另一個角度研究了Duffing振子問題，將Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)[5-6]：

引入到Duffing系統(tǒng)中，Г(·)表示Gamma函數(shù)。研究如下一類分數(shù)階非線性的Duffing振子方程：

其中1＜α≤2，0＜β≤1分別表示對時間t的α，β階的Caputo分數(shù)階導(dǎo)數(shù)。系統(tǒng)滿足初值條件：

關(guān)于分數(shù)階非線性系統(tǒng)的求解有很多方法，如積分變換法、格林函數(shù)法等解析的方法[7-9]，近年來出現(xiàn)了一些半解析的算法，如Adomian分解法[10-11]、變分迭代法[12-13]、微分變換法[14]等，它們可方便有效地求解大量的線性和非線性問題。這些半解析的方法都存在著內(nèi)在的一些缺陷，2011年Khan提出一種新的方法[15-16]：同倫擾動變換法，即將同倫擾動法與Laplace變換法兩種方法相結(jié)合，該方法在一定程度上克服了其他半解析方法存在的缺陷。本文首次將同倫擾動變換法用來求解分數(shù)階的非線性系統(tǒng)并借助Mathematica軟件的符號計算功能得到了所研究的分數(shù)階Duffing系統(tǒng)的近似解，最后分析了振子運動與分數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

2 近似解的復(fù)雜性研究

首先考慮如下的分數(shù)階非線性Duffing振子方程[17]：

由于級數(shù)解比較復(fù)雜這里僅列出前三項，其他項可通過Mathematica軟件得出，另外每項解中只列出了低冪次的項。從而方程（5）的近似解可以表示為：

對應(yīng)的整數(shù)階方程的解u(t)=sin(t)，與文獻[17]的結(jié)果吻合。從而驗證了同倫擾動變換法是一種求解分數(shù)階非線性方程簡單有效的方法，提供了一種新的求解分數(shù)階方程的方法。取方程（5）的三階近似級數(shù)解，研究分數(shù)階的振子位移的振動情況如圖1。圖1給出了振子位移u隨分數(shù)階導(dǎo)數(shù)α和時間t的三維圖像，當分數(shù)階導(dǎo)數(shù)α較小時，對振子振動的影響越明顯。

圖1 方程（5）的三階近似解隨分數(shù)階導(dǎo)數(shù)α和時間t的振動情況

再者為研究阻尼振子方程振動與分數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，如在黏彈性介質(zhì)中的阻尼振動等，阻尼項一般可用分數(shù)階微積分進行描述，研究如下的分數(shù)階非線性Duffing阻尼振動方程：

由于級數(shù)解比較復(fù)雜這里不再一一列出，其他項可通過Mathematica軟件得出，從而方程（25）的近似解可以表示為：

不妨取級數(shù)解的前三項并省略高階項迭代多次得到分數(shù)階阻尼Duffing振動方程的復(fù)雜特性如圖2，由此可以看出受迫分數(shù)階阻尼振動的運動情況。

圖2 分數(shù)階阻尼振動方程（25）隨分數(shù)階導(dǎo)數(shù)α的振動情況

圖2給出了α=0.48，0.6，0.8三種情況下的圖像，可以觀察到分數(shù)階振子振動與阻尼項階數(shù)的關(guān)系，隨著時間的推移呈現(xiàn)衰減的特性。并且α越小，振子的記憶能力越強，振子的變化幅度也就越大。通過引入分數(shù)階的微積分算子來描述黏彈性介質(zhì)中的阻尼振動往往比人為構(gòu)造非線性的整數(shù)階方程簡單而且更能反應(yīng)振子運動與阻尼項的關(guān)系。

3 結(jié)果和討論

本文利用同倫擾動變換的方法求解了分數(shù)階Duffing振子方程的近似解，并研究了振子振動與分數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，為分數(shù)階Duffing振子系統(tǒng)的混沌特性、混沌同步問題等其他特性的研究提供了一定的依據(jù)。

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LI Na

School of Mathematical Sciences,Dezhou University,Dezhou,Shandong 253023,China

Caputo fractional operator is introduced in the nonlinear Duffing oscillator equation.Homotopy perturbation transform method which is based on homotopy perturbation method and Laplace transform method is applied to solving the fractional nonlinear Duffing oscillator equation and with Mathematica symbols calculation software,the approximate solutions are investigated.The relationship between oscillator movement and fractional derivative is also studied.

Caputo fractional derivative;nonlinear Duffing oscillator equation;homotopy perturbation transform method; approximate solution

將Caputo分數(shù)階微分算子引入到非線性的Duffing振子方程中，運用同倫擾動變換法——一種同倫擾動法和Laplace變換相結(jié)合的方法來求解分數(shù)階的非線性方程，借助Mathematica軟件的符號計算功能得到了分數(shù)階非線性Duffing振子方程的近似解，研究了振子運動過程與分數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。

Caputo分數(shù)階微分；非線性Duffing振子方程；同倫擾動變換法；近似解

A

O175.29

10.3778/j.issn.1002-8331.1304-0070

LI Na.Properties of fractional nonlinear Duffing oscillator equation.Computer Engineering and Applications,2014, 50（18）：75-78.

山東省自然科學(xué)基金（No.ZR2010Al019）。

李娜（1979—），女，講師，主要研究領(lǐng)域為非線性偏微分方程。E-mail：wshlina@163.com

2013-04-07

2013-05-27

1002-8331（2014）18-0075-04

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2013-06-26，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130626.1539.015.html