戴振翔，鄭贛鴻，張青，馬永青

（安徽大學物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039）

靜磁場中的唯一性定理

戴振翔，鄭贛鴻，張青，馬永青

（安徽大學物理與材料科學學院，安徽 合肥 230039）

唯一性定理是解決靜電磁場問題的重要理論依據(jù)，應用構造恰當函數(shù)的技巧和一些數(shù)學運算，從給定的邊界條件出發(fā)，本文給出了靜磁場唯一性定理的證明，最后給出了唯一性定理關于靜磁場實際問題的應用舉例.

電動力學；唯一性定定理；邊界條件

靜電場和靜磁場中的唯一性定理是電動力學中的重要定理.靜電場的唯一性定理在郭碩鴻的《電動力學》已經(jīng)給出非常清晰的證明.然而，關于靜磁場中的唯一性定理，卻沒有給出.因此，有必要對靜電場和靜磁場的唯一性定理給出一個統(tǒng)一的系統(tǒng)證明，為解決靜場問題提供理論依據(jù).

1 靜磁場邊界條件

對于存在有限邊界的靜磁場問題，邊界條件一般只有一種選擇，那就是給定邊界上的磁感應強度的法向分量：

即通過邊界的凈磁通為零.

2 靜磁場唯一性定理的證明

由于磁場是有旋無源場，原則上可以引入一個矢量的旋度來描述磁感應強度，此矢量定義為矢勢A：B=▽×A

在均勻各向同性的磁介質(zhì)中：B=μH

而靜磁場的邊值關系：n·(Bi-Bj)=0 n×(Hi-Hj)=α

其中用下標i和j表示界面兩側，n表示界面法線方向的單位矢量，從i側指向j側.α表示電流線密度，其大小等于垂直通過單位橫截線的電流.

對于非鐵磁性均勻磁介質(zhì)，上述的邊值關系可化為A的邊值關系：

在磁介質(zhì)分界面兩側取一狹長回路，計算矢勢A對此狹長回路的線積分.

則可以得到：Ait=Ajt

若取庫倫規(guī)范▽·A=0，則可得：Ain=Ajn及矢勢A的法向分量和切向分量在邊界處相等，矢勢A連續(xù)：Ai=Aj

假設在可均勻區(qū)分的磁介質(zhì)內(nèi)給定磁導率μi和傳導電流Ji，在磁介質(zhì)邊界S上給出矢勢的切向分量At|S或磁感應強度的切向分量Bt=(▽×A)t|S，則介質(zhì)內(nèi)的磁場被唯一確定.

證明假設有兩組不同的解A1和A2都滿足定理條件.

令：A=A1-A2

在均勻各向同性磁介質(zhì)B=μH

任意兩個相鄰的介質(zhì)分界面上滿足邊值關系：

因而在整個區(qū)域的邊界S面上滿足：

構造第i個區(qū)域Si上的積分：

將積分在所有分區(qū)域內(nèi)求和：

則：▽×A=0 A1-A2=constvector

即A1和A2相差一個常數(shù)，兩者所確定的磁感應強度矢量相同，即磁場唯一確定.

由以上的論證，可以得到不隨時間變化的矢量場，在給定的邊界條件和其滿足的可以完備描述其不含時的矢量場下，是唯一確定的.

3 結論

從靜場的角度論證電動力學中的唯一性定理業(yè)已完成.在時變電磁場中論證唯一性定理和在運動的參考系下即相對論情形下論證電磁張量的特定給定的邊界條件下的唯一性定理是今后進一步的研究工作.

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