楊林曉,趙侯宇

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶401331)

三階柯西差分方程在幾類群上的解

楊林曉,趙侯宇

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,重慶401331)

在幾類群上討論了三階柯西差分方程解的存在性問題，將二階柯西差分方程的已有結(jié)論進(jìn)一步推廣到三階的情況,并給出在不同群上的一般解.

函數(shù)方程;群;柯西差分

1 引言與預(yù)備知識

設(shè)(G,…)是一個(gè)群,(H,+)是一個(gè)交換群,e∈G和0∈H分別表示群G和群H上的單位元.若映射f:G→H,則f的柯西差分為C(m)f定義為:

其中一階柯西差分C(1)f簡寫為Cf.

關(guān)于柯西差分方程的討論已有許多結(jié)果[1-7],文獻(xiàn)[7]中,作者討論了二階柯西差分方程在群上的解,本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮方程:

在幾類群上的解.其中xi∈G,i=1,2,3,4.事實(shí)上,此方程等價(jià)于f的三階柯西差分方程,即C(3)f=0.(2)式的一般解可用下式表示:

且有

類似于文獻(xiàn)[7],有如下兩個(gè)引理,此處省略其證明過程.

引理1.1設(shè)(G,…)是一個(gè)群,(H,+)是一個(gè)交換群,且f:G→H.若f滿足(2)式,則有以下結(jié)論成立:

其中?x,y,z,μ,ν∈G,n,n1,n2∈

注1.1方程(4)來源于C(3)f=0,由(1)式可知C(2)f(…,y,z)是一個(gè)態(tài)射,C(2)f對于它的第二個(gè)元素和第三個(gè)元素同樣也是一個(gè)態(tài)射,即從C(2)f的定義中也可推出(3)式.

下面等式?f:G→H均成立:

引理1.2如果f∈Ker C(3)(G,H),則

其中xi∈G和ni∈,i=1,2,………,l.該引理的證明類似于文獻(xiàn)[2],故省略此處證明.

注1.2上述引理是(4)式的推廣,如果在(5)式中令l=2,x1=x2=x,則由(5)式可得到(4)式,此時(shí)n=n1+n2.事實(shí)上,

其中?n1,n2∈.

2 方程(2)在n階對稱群Sn上的解

考慮方程(2)在G=Sn時(shí)的情況.此時(shí),當(dāng)n=1和n=2的情形是平凡的,不妨設(shè)n≥3.若f∈Ker C(3)(G,H),由(3)式知C(2)f是三態(tài)射,且H是一個(gè)交換群,因此

其中?x,y,zi∈Sn,π是任意一個(gè)n級排列.類似地有,

其中?x,y,z,xi,yi∈Sn,π是任意一個(gè)n級排列.

設(shè)σ是任意的一個(gè)n階對稱群Sn上的2-循環(huán)(即一個(gè)對換).由Cf的定義并利用σ2=e和引理1.1可得,

而且,利用σ4=e,σ3=σ,及(1)式得

由于C(3)f=0,得

對于2-循環(huán)σ,?z∈Sn使得σ和2-循環(huán)(1 2)滿足:σ=z(1 2)z?1.?x,y∈Sn,由(6)式有

類似地,利用(7)式和(8)式,?2-循環(huán)τ,π和?x,y,z∈Sn,可得,

結(jié)合(10)-(12)式,得

其中?2-循環(huán)σ,τ,π∈Sn.而

其中?x,2-循環(huán)σi∈Sn,π是任意的n級排列.

類似地,可得

其中?y,2-循環(huán)τi∈Sn,π是任意的n級排列.?2-循環(huán)σ,τ∈Sn,由(14),(15)式有

因此可得,

其中2-循環(huán)σi∈Sn,π是任意的n級排列.

引理2.1[7]對任意的x,y,β∈Sn,其中β是一個(gè)2-循環(huán),則

特別地,在(16)式中令x=y=e,有f(β)=f((1 2)),其中2-循環(huán)β∈Sn.

下面求(2)式在群Sn上的解.

定理2.1f∈Ker C(3)(Sn,H)當(dāng)且僅當(dāng)f滿足下式:

其中h0∈H是一個(gè)常數(shù)且滿足8h0=0.

證明設(shè)f∈Ker C(3)(Sn,H).設(shè)x∈Sn,則存在2-循環(huán)αi∈Sn,i=1,………,p,使得x=α1α2………αp.故

由(9)式,得8f((1 2))=0.因此由(18)式可推出

令h0:=f((1 2)),這就證明了f一定滿足(17)式.相反的,設(shè)f:Sn→H,滿足(17)式,其中h0∈H是一個(gè)常數(shù)且滿足8h0=0.易證f滿足(2)式.證畢.

注2.1如果p是偶數(shù),則

如果p是奇數(shù),則

3 方程(2)在有限循環(huán)群Gn上的解

設(shè)Gn=〈a|an=e〉是由元a生成的n階有限循環(huán)群.

定理3.1設(shè)f:Gn→H是方程(2)的一般解,則

其中?p∈Z,f(a),Cf(a,a),C(2)f(a,a,a)是群H上的常數(shù)且滿足:

證明設(shè)f:Gn→H滿足方程(2).則由(4)式得,f滿足(19)式:

又因?yàn)閍n=e,由引理1.1,得

及

這就證明了(20)-(22)式.

反之,設(shè)f:Gn→H由(19)式定義,其中f(a),Cf(a,a),C(2)f(a,a,a)是群H上的常數(shù)且滿足(20)-(22)式,故有f是定義在群Gn上的.由(20)-(22)式知,

即f(ap)=f(ap+n).

?x1=ak,x2=al,x3=am,x4=an∈Gn,易證

故f滿足方程(2).定理得證.

4 方程(2)在二面體群Dn上的解

設(shè)Dn=〈a,b|an=e,b2=e,abab=e〉是2n(n≥2)階二面體群.

定理4.1設(shè)f:Dn→H是方程(2)的一般解,則f滿足以下形式:

?p,q∈Z,f(a),f(b),Cf(a,a),Cf(b,b),Cf(a,b),C(2)f(a,a,a),C(2)f(b,b,b),C(2)f(a,a,b)和C(2)f(a,b,b)是群H上的常數(shù),且滿足:

注4.1由上述等式可推出8f(a)=8f(b)=0.由(25)-(35)式,有

證明設(shè)f:Dn→H滿足(2)式.由引理1.2可知

其中xi∈{a,b}.特別地,令x1=a,x2=b，?=2,可得(24)式.

由引理1.1知,對每個(gè)群Dn中由a,b生成的滿足w=e的元有,

?x和y∈Dn.因?yàn)閍,b是Dn的生成元,(37)式對于所有的x成立當(dāng)且僅當(dāng)x=a和x=b時(shí)(37)式也成立:

又因?yàn)镃(2)f是一個(gè)三態(tài)射,a和b是Dn的生成元,(38)式對于所有的x,y成立當(dāng)且僅當(dāng)x=a,y=a;x=a,y=b;x=b,y=a;x=b,y=b這四種情形時(shí)(38)式也成立:

由群Dn的定義,在(36),(39)-(44)式中分別令w=an,w=b2和w=abab,可推出(25)-(35)式.

反之,設(shè)f:Dn→H由(24)式定義,其中f(a),f(b),Cf(a,a),Cf(b,b),Cf(a,b), C(2)f(a,a,a),C(2)f(b,b,b),C(2)f(a,a,b)和C(2)f(a,b,b)是群H上的常數(shù),且滿足(25)-(35)式.可直接驗(yàn)證(36)-(38)式.這就完成了證明.

注4.2在(24)式中,如果q是偶數(shù),結(jié)合(25)-(35)式,有

如果q是奇數(shù)

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Kernel of the third order Cauchy di ff erence on several groups

Yang Linxiao,Zhao Houyu
(School of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing401331,China)

In this paper,we study the existence of solutions of third order Cauchy di ff erence on several groups, extend and improve some recent results to third order Cauchy di ff erence equation,and present its general solution on these groups.

functional equation,group,Cauchy di ff erence

O151

A

1008-5513(2014)03-0314-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.014

2013-12-09.

國家自然科學(xué)基金(11326120);重慶師范大學(xué)自然科學(xué)基金(12XLZ04);重慶高校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助項(xiàng)目(KJTD201308).

楊林曉(1988-),碩士生,研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).

趙侯宇(1982-),博士,講師,研究方向：微分方程與動(dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:39B52,39A70