蘇農(nóng),劉玲

(北京信息科技大學理學院數(shù)學系,北京100192)

平行映射下保測地線的曲面

蘇農(nóng),劉玲

(北京信息科技大學理學院數(shù)學系,北京100192)

利用古典微分幾何方法,討論了在平行映射下測地線不變的曲面若干局部性質(zhì);研究了該類曲面的測地坐標系,并最終得出滿足該條件的曲面只有三類.

平行曲面;測地線;測地極坐標;測地平行坐標系

1 引言

文獻[1]通過計算證明了如果曲面上的測地線在平行映射下仍為測地線,則該測地線必為平面曲線、直線或空間貝特朗曲線.文中作者提出了更進一步的問題:曲面M的所有測地線在平行映射下的像都是的測地線,那么M是否只可能是平面、圓柱面、球面之一?本文利用曲面理論,研究了在平行映射下測地線保持不變的曲面的局部測地坐標系的一些特性,最終證明了以下結(jié)果.

定理1.1設M為連通可定向的光滑曲面,σ:M→為平行映射.如果對M上的任意測地線Γ,均有=σ(Γ)是上的測地線,則M在局部上只能為平面、球面或圓柱面.

2 預備知識

命題2.1兩光滑曲線平行的充要條件是它們的公垂線構(gòu)成的法線曲面是可展的.

命題2.2[2]設是Γ的平行曲線,則在與Γ對應點處有相同的主法向量,且在對應點處的曲率和撓率滿足

其中W是M上于p點的Weingarten映射,I是恒等映射.顯然σ?自共軛,且其特征方向與W的特征方向相同.如果dr是p點的主方向,則d∥dr.反之,如d∥dr,則dr是p點的主方向,同時d是點的主方向.因此有

命題2.3[3]dr是M上p點的主方向的充要條件是對M的任意平行曲面均有d∥dr,即主方向是σ?不變的.

設

由命題2.1以及Rodriques定理得

命題2.4[3]曲面M上的曲線Γ為曲率線的充要條件是其在M的平行曲面上的對應曲線與之平行.

命題2.5[3]曲線Γ為曲面M上的曲率線的充要條件是其平行曲面上的對應曲線也是曲率線,即曲率線是σ不變的,且σ將臍點映到臍點.

命題2.6[3]設M是光滑曲面,σ:M→是平行映射,κ1,κ2及,分別是p∈M及=σ(p)∈處的主曲率,則

命題2.7[4]設曲面M:r=r(u,v)的參數(shù)曲線為正交曲率線,κ1,κ2是主曲率,則有Codazzi方程:

其中E=ru·ru,G=rv·rv是曲面的第一基本量.

3 充要條件

設M:r=r(u,v)是三維歐式空間中的光滑曲面,σ:M→是平行映射.則有

定理3.1如果Γ是M上的測地線,則=σ(Γ)是上測地線的充要條件是:Γ與夾角為定值.

證明于M和上取一階標架場(r;e1,e2,e3)以及(),使得ei=(i=1,2)為切向量場,e3=為法向量場.設s,分別是為Γ和的弧長參數(shù),Γ和與e1夾角分別是θ,.由于Γ是測地線,因此

推論3.1設p0∈M,v0∈Tp0M是p0∈M點的主方向,|v0|=1.Γ是M上通過p0點,以v0為切向量的測地線,如果其在M的平行曲面上的對應曲線也是測地線,則Γ是平面曲線.

證明設s是為Γ的弧長參數(shù),p0點對應參數(shù)為s0,φ是Γ和的夾角.由命題2.3和定理3.1可知φ滿足所以,φ≡0,即Γ和是相互平行的曲線.根據(jù)命題2.4知Γ是M上的曲率線.

設(r(s);α(s),β(s),γ(s))(s是弧長參數(shù))是Γ的Frenet標架,其曲率、撓率和法曲率分別為κ,τ和κn.由于Γ是測地線,所以

而Γ又是曲率線,因此所以,τ=0,即Γ是平面曲線.

注3.1推論3.1說明,如果Γ和=σ(Γ)同為測地線,且Γ上有一點的切向量為曲面在該點的主方向,則Γ必是曲率線,所以是平面曲線.

注3.2在推論3.1的條件下,經(jīng)過Γ上每一點,由Γ切方向決定的法截線、法截面重合;曲線Γ上每一點處與Γ正交的主方向都正交于公共的法截面,因此是相互平行的.

4 測地坐標系及定理的證明

設M是光滑曲面,p∈M.由曲面論可知,切平面TpM上的極坐標系(s,θ)確定了曲面在p點的測地極坐標系(這里0

引理4.1[4](Gauss引理)Σ與Σ′是彼此正交的曲線族.

定理4.1設M是光滑曲面,p∈M是臍點,σ:M→為平行映射.如果對任意從p出發(fā)的測地線Γ,均有=σ(Γ)是上的測地線,則M為旋轉(zhuǎn)曲面,Σ是經(jīng)線族,Σ′是緯線族, p點的法線是旋轉(zhuǎn)軸.

證明設(s,θ)為p點的測地極坐標,曲面的位置向量為r(s,θ),p點位置向量為r0,對應參數(shù)s=0,p點處的法向量為n0.根據(jù)推論3.1和注3.1,可知

因此,

所以,M是s-曲線繞p點的法線的旋轉(zhuǎn)曲面.

注4.1由定理4.1易知,Σ,Σ′實際上是曲面在p點的局部正交曲率線網(wǎng),而s是弧長參數(shù),因此曲面的第一基本形式為

設s-曲線的主曲率為κ1,則由命題2.7得

設p∈M,v0∈TpM是p點處的單位切向量,Γ是M上通過p點,以v0為切向量的測地線,其弧長參數(shù)為v.令T為曲面上沿Γ的光滑切向量場且與Γ正交,|T|=1.記從Γ上v點出發(fā),以Tv為切向量的測地線族為Σ,則Σ覆蓋了Γ的某一單側(cè)鄰域U,取與Σ正交的曲線族Σ′,這樣Σ和Σ′構(gòu)成U內(nèi)的測地平行坐標系.設Σ和Σ′分別由u-(u是弧長參數(shù))和v-曲線構(gòu)成,Γ對應參數(shù)u=0,則曲面第一基本形式滿足

利用推論3.1以及(2),(5)式,易證

定理4.2設M是光滑曲面,p∈M,σ:M→為平行映射.Γ是經(jīng)過p,在該點的切向量為p主方向的測地線,Σ和Σ′是Γ的單側(cè)鄰域U內(nèi)的測地平行坐標系.如果=σ(Γ)是上的測地線,σ(Σ)是覆蓋了σ(Γ)單側(cè)鄰域內(nèi)的測地線族,則Σ,Σ′都是平面曲線族,其中Σ′是相互平行的曲線族,Σ族中曲線的主曲率與v無關(guān),Σ,Σ′構(gòu)成U內(nèi)的正交曲率線網(wǎng).特別地,如果Γ是直線,則曲面片U是一般柱面或平面.

引理4.2[5]如果M是處處為臍點的連通曲面,則M必為球面或平面.

定理1.1的證明:設p∈M,Γ1,Γ2是從p出發(fā)且在該點的切向量為p點相互正交主方向的測地線,v,u分別為它們的弧長參數(shù),p點對應u=0,v=0.令Σ1和Σ′1是Γ1的單側(cè)鄰域U∩1內(nèi)的測地平行坐標系,Σ2和Σ′2是Γ2的單側(cè)鄰域U2內(nèi)的測地平行坐標系.考慮U=U1U2/=?內(nèi)的兩參數(shù)曲線族Σ1,Σ2,由定理4.2可知,他們既是測地線族,也同時為曲率線族.

1.如果Σ1,Σ2非正交,則U內(nèi)存在非正交曲率線網(wǎng),所以U內(nèi)處處是臍點,根據(jù)引理4.2,得U是一片球面或平面.

2.如果Σ1,Σ2正交,則曲面的第一基本形式為:

由于u-曲線和v-曲線都是測地線,利用Liouville公式可得Ev=0,Gu=0,所以Gauss曲率K≡0,即該曲面片是可展的,由定理4.2可知曲面片U是一般柱面或平面.

設Γ:r=r(s)是一般柱面M上的測地線,s為其弧長參數(shù),Γ與M的直母線夾角為θ,母線方向為v0,|v0|=1,(r(s);α(s),β(s),γ(s))是Γ的Frenet標架,κ,τ為其曲率和撓率.于是有,β(s)=±n(s),所以,

因此,

設Γ是正螺線,根據(jù)正螺線的特性知,

是常數(shù)[3].將β(s)…v0=0兩邊求導得

又因為

所以τ/=0,即Γ是空間撓曲線.如果Γ是空間Bertrand曲線,于是存在常數(shù)λ/=0及μ,使得

將(11)式代入(12)式得到κ,τ都是常數(shù),因此Γ是圓柱螺線,M必為圓柱面.

更進一步問題設Mn為中定向連通超曲面,σ:M→為平行映射.如果對M上的任意測地線Γ,=σ(Γ)都是上的測地線,那么曲面片M是否必為

之一?

[1]吳報強.曲面的平行曲面[J].徐州師范大學學報,1999,17(4):1-4.

[2]蘇農(nóng).歐式空間的平行曲線及其應用[J].沈陽師范大學學報,2009,27(1):24-27.

[3]何源川.歐式空間中的相互平行子流形[J].美大學學報,1996,1(1):26-31.

[4]陳維桓.微分幾何[M].北京:北京大學出版社,2006.

[5]陳省身,陳維桓.微分幾何講義[M].北京:北京大學出版社,1999.

Surface which keep geodesics corresponding under parallel mapping

Su Nong,Liu Ling
(Department of Mathematics,Beijing Information Science and Technology University,Beijing100192,China)

By the classical theory of di ff erential geometry,we get some local properties of surfaces which keep geodesics corresponding under parallel mapping.Moreover,we discuss the geodesic coordinates of these kind of surfaces and fi nally proved that only three kins of surfaces satisfy the precondition.

parallel surface,geodesics,geodesic polar coordinates,geodesic parallel coordinates

O186.11

A

1008-5513(2014)03-0280-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.009

2014-01-19.

北京市教委科技面上項目(KM201211232017);北京市委組織部優(yōu)秀人才培養(yǎng)資助項目(2012D005007000005).

蘇農(nóng)(1966-),碩士,研究方向：微分幾何.

2010 MSC:53A04,53A05