焦陽,劉文德

(哈爾濱師范大學數(shù)學科學學院,黑龍江哈爾濱150025)

Filiform李超代數(shù)Ln,m的導子和保積Hom-結(jié)構(gòu)

焦陽,劉文德

(哈爾濱師范大學數(shù)學科學學院,黑龍江哈爾濱150025)

將李超代數(shù)的導子和Hom-結(jié)構(gòu)表示為矩陣,通過計算,具體刻畫了特征零的代數(shù)閉域上Filiform李超代數(shù)Ln,m的導子代數(shù)和保積Hom-結(jié)構(gòu).

Filiform李超代數(shù);導子;Hom-結(jié)構(gòu)

1 引言

Hom-結(jié)構(gòu)以及導子代數(shù)是李超代數(shù)結(jié)構(gòu)理論研究中活躍而重要的課題.2006年,Larsson和Silvestrov為了研究Witt代數(shù)與Virasoro代數(shù)的形變,提出了Hom-李代數(shù)的概念[1]. 2010年,F.Ammar和A.Makhlouf將Hom-李代數(shù)推廣到Hom-李超代數(shù)上[2].2011年,鄒旭娟和劉文德確定了特征p>3的域上外代數(shù)與有限維廣義Witt李代數(shù)的張量積所構(gòu)成的李超代數(shù)的導子代數(shù)[3].2013年,曹彬濤和羅栗證明了復數(shù)域上有限維單李超代數(shù)只有平凡的保積Hom-李超代數(shù)結(jié)構(gòu)[4].2014年,遠繼霞、孫麗萍和劉文德在復數(shù)域上的向量場單李超代數(shù)上獲得了類似的結(jié)果[5].同年,高宇佳、孫麗萍和劉文德證明了單Hom-李超代數(shù)沒有任何非平凡理想并且給出了保積Hom-李超代數(shù)的若干性質(zhì)[6];陳翠和連海峰利用導子和三元導子的定義,刻畫了特征不等于2的代數(shù)閉域上4維冪零李代數(shù)的導子和三元導子[7].

Filiform李超代數(shù)作為特殊的冪零李超代數(shù),研究其結(jié)構(gòu)對于研究冪零李超代數(shù)來說意義重大.本文刻畫了特征零的代數(shù)閉域上Filiform李超代數(shù)Ln,m的導子代數(shù)和保積Hom-結(jié)構(gòu).首先介紹李超代數(shù)的導子代數(shù)及保積Hom-結(jié)構(gòu)的基本概念;其次刻畫Filiform李超代數(shù)Ln,m的導子代數(shù);最后給出Ln,m的保積Hom-結(jié)構(gòu)及其證明.

2 基本概念

一個F-代數(shù)A稱為超代數(shù),如果作為向量空間它是一個超空間A=Aˉ0⊕Aˉ1,并且滿足相容性設(shè)A=Aˉ0⊕Aˉ1是域F上的超代數(shù),如果它的乘法[·,·]滿足斜超對稱性和超Jacobi等式,那么稱A是F上的李超代數(shù)[8].

定義2.1[9]設(shè)G=Gˉ0⊕Gˉ1是冪零李超代數(shù),稱G的超冪零指數(shù)為(p,q),如果(p,q)滿足:

其中

若這個冪零李超代數(shù)的超冪零指數(shù)是(dimGˉ0?1,dimGˉ1),則稱它為Filiform李超代數(shù).

定義2.2[8]設(shè)L=Lˉ0⊕Lˉ1為域F上的李超代數(shù),若L上的線性變換D滿足:

則稱D是L的Z2-次數(shù)為|D|的齊次導子.令Derμ(L)表示L的Z2-次數(shù)為μ的導子的集合,其中μ∈Z2,稱李超代數(shù)Der(L)=Derˉ0(L)⊕Derˉ1(L)為L的導子代數(shù).

定義2.3[5]設(shè)(G,[·,·])是一個李超代數(shù),α:G→G是一個線性映射,若α滿足:

則稱(G,[·,·],α)為Hom-李超代數(shù),稱α為李超代數(shù)G的Hom-結(jié)構(gòu).若α還是G的自同態(tài),即滿足

則稱α為李超代數(shù)G的保積Hom-結(jié)構(gòu).

3 Filiform李超代數(shù)Ln,m的導子代數(shù)

Filiform李超代數(shù)Ln,m具有一個標準基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym},其中X0,X1,···,Xn為偶的,Y1,Y2,···,Ym為奇的;其乘法表為:

其它標準基元素的方括號均為0.

令D是Filiform李超代數(shù)Ln,m的導子,偶導子在該組基下的矩陣用

表示.

Filiform李超代數(shù)的導子代數(shù)用Der(Ln,m)表示,則有以下定理:

定理3.1Filiform李超代數(shù)的導子代數(shù)Der(Ln,m)的基如表1所示.

表1 導子代數(shù)Der(Ln,m)的基表示

為得到定理3.1,首先證明引理3.1和引理3.2.

引理3.1Filiform李超代數(shù)Ln,m的偶導子具有如下形式:

其中,O為零矩陣,矩陣A中元素xij由表2給出,矩陣B中元素yn+k+1,n+l+1由表3給出.

證明由導子定義易知,D是Ln,m的導子當且僅當任意基中元素均滿足(1)式.

當D是偶導子時,分三種情況討論:(1)x,y均不為X0;(2)x,y均為X0;(3)x,y中有且只有一個為X0.由(1)式,得

由(4)式-(11)式,Filiform李超代數(shù)Ln,m的偶導子

其中,O為零矩陣,矩陣A中元素xij由表2給出.

表2 矩陣A中元素xij

記x11,···,xn+1,1分別為a,a1,···,an;x22,···,xn+1,2分別為a,b1,···,bn.矩陣B中元素yn+k+1,n+l+1由表3給出.記yn+2,n+2,···,yn+m+1,n+2分別為c1,···,cm.

表3 矩陣B中元素yn+k+1,n+l+1

下面計算Filiform李超代數(shù)Ln,m的奇導子.Filiform李超代數(shù)Ln,m的奇導子在該組基下的矩陣用

表示,此時導子D分三種情況討論:(1)x,y均不為X0;(2)x,y均為X0;(3)x,y中有且只有一個為X0.由(1)式,得

由(12)式-(17)式,Filiform李超代數(shù)Ln,m的奇導子

其中,O為零矩陣,矩陣E和矩陣F中元素有以下三種情形:

當m=n時,矩陣E中元素xn+i,j由表4給出.

記xn+3,2,···,xn+m,2分別為e1,···,em?2.矩陣F中元素yk,n+l由表5給出.

表4 矩陣E中元素xn+i,j

表5 矩陣F中元素yk,n+l

表6 矩陣E中元素xn+i,j

記y2,n+2,···,yn,n+2分別為f1,···,fn?1.

當m

記xn+2,2,···,xn+m,2分別為e1,···,em?1.矩陣F中元素yk,n+l由表7給出.

表7 矩陣F中元素yk,n+l

記yn?m+2,n+2,···,yn+m,n+2分別為f1,···,fm?1.

當m>n時,矩陣E中元素xn+i,j由表8給出.

表8 矩陣E中元素xn+i,j

記xm?n+1,2,···,xn+m,2分別為e1,···,em?1.矩陣F中元素yk,n+l由表9給出.

記y2,n+2,···,yn,n+2分別為f1,···,fn;y2,n+3,···,y2,m+2分別為g1,···,gm?n.

由此可得到引理3.2:

表9 矩陣F中元素yk,n+l

引理3.2Filiform李超代數(shù)Ln,m的奇導子具有如下形式:

其中,O為零矩陣.當m=n時,矩陣E中元素xn+i,j由表4給出,矩陣F中元素yk,n+l由表5給出;當mn時,矩陣E中元素xn+i,j由表8給出,矩陣F中元素yk,n+l由表9給出.

由引理3.1和引理3.2,即得定理3.1.

4 Filiform李超代數(shù)Ln,m的保積Hom-結(jié)構(gòu)

令α是Filiform李超代數(shù)Ln,m的保積Hom-結(jié)構(gòu),α在基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym}下的矩陣用

表示.

定理4.1Filiform李超代數(shù)Ln,m的保積Hom-結(jié)構(gòu)具有如下形式:

其中,O為零矩陣,

這里a,a1,···,an,b1,···,bn,c1,···,cm是任意的,且

證明由保積Hom-結(jié)構(gòu)定義易知,α是Filiform李超代數(shù)Ln,m的保積Hom-結(jié)構(gòu)當且僅當任意基元素均滿足(2)式-(3)式.

首先,(2)式中x,y,z取遍標準基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym}中所有元素,分五種情況討論:(1)x,y,z均不為X0;(2)x,y,z均為X0;(3)x,y,z中有兩個為X0;(4)x,y,z中有且只有一個為X0,且其余兩個基相同;(5)x,y,z中有且只有一個為X0,且其余兩個基不同.得

其次,(3)式中x,y取遍標準基{X0,X1,···,Xn|Y1,Y2,···,Ym}中所有元素,分三種情況討論:(1)x,y均不為X0;(2)x,y均為X0;(3)x,y中有且只有一個為X0.得

由(18)式-(22)式,Filiform李超代數(shù)Ln,m的保積Hom-結(jié)構(gòu)

其中,O為零矩陣,

這里a,a1,···,an,b1,···,bn,c1,···,cm是任意的,且

[1] Larsson D,Silvesrov S.Quasi-Hom-derformations of sl2(F)using twisted derivations[J].Comm.Algebra, 2007,35:4303-4318.

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The derivations and the multiplicative Hom-structures of Filiform Lie superalgebras Ln,m

Jiao Yang,Liu Wende
(Department of Mathematics,Harbin Normal University,Harbin150025,China)

Let F be an algebraically closed fi eld of characteristic zero.In this paper,we characterize the derivations and the multiplicative Hom-structures of Filiform Lie superalgebras Ln,mover F in terms of matrices.

Filiform Lie superalgebras,derivations,Hom-structures

O152.5

A

1008-5513(2014)05-0534-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.015

2014-08-11.

國家自然科學基金(11171055,11471090);黑龍江省教育廳科學技術(shù)研究項目(12541246,12541184);黑龍江省自然科學基金(A201412).

焦陽(1990-),碩士,研究方向:李超代數(shù).

2010 MSC:22E