烏仁其其格,楊梅榮

(內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰024000)

Diestel-Faires定理在局部凸空間中的推廣

烏仁其其格,楊梅榮

(內(nèi)蒙古赤峰學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,內(nèi)蒙古赤峰024000)

通過Banach空間與局部凸空間的對(duì)比,將Banach空間上的Diestel-Faires定理在局部凸空間上進(jìn)行推廣.進(jìn)一步給出了局部凸空間上的Orlicz-Pettis定理與推論.

局部凸空間;lcs空間;Diestel-Faires定理;Orlicz-Pettis定理

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域K上的向量空間,P是X上一族半范數(shù),滿足其中p?1(0)={x∈X:p(x)=0},這樣的半范數(shù)族P常稱為分離的[1-4].令σP是半范數(shù)族P生成的X上的局部凸拓?fù)鋄5],則它是局部凸分離向量空間,簡(jiǎn)記為lcs[6].

用X?≡(X,σP)?表示(X,σP)的拓?fù)鋵?duì)偶空間,并對(duì)每個(gè)p∈P考慮X?的向量子空間

對(duì)任意的x?∈X?(p),定義∥x?∥p=|X?(x)|,則∥·∥p是X?(p)上的范數(shù),并用B(X?(p))表示X?(p)中的單位閉球,實(shí)際上(X?(p),∥·∥)正是半范空間(X,p)的拓?fù)鋵?duì)偶空間(X,p)?.

設(shè)?是某個(gè)取定的集,有時(shí)也稱為基∪本空間.以?的某些子集為元素作成的集如果滿足?∈,且對(duì)任何E1,E2∈都有E1E2∈E1E2∈,則稱為?上的域.進(jìn)一步,如果對(duì)任何一列{Ei}?都有就稱域F是?上的σ-域.

2 主要結(jié)論

定理2.1(Diestel-Faires)[7]設(shè)X是Banach空間,F是由?的子集作成的域,G:→X是有界向量測(cè)度,若G不是強(qiáng)可加的,則存在(在內(nèi))拓?fù)渫瑯?gòu)T:c0→X和互不相交集列En?,使對(duì)任意自然數(shù)n,T(en)=G(En),從而c0中每一個(gè)0,1值序列的T-象是包含在G()中.若F是一個(gè)σ-域,將c0換成l∞結(jié)論仍成立.其中en表示第n項(xiàng)為1,其它項(xiàng)為0的數(shù)列.

以下是Diestel-Faires定理2.1在lcs空間中的推廣.

定理2.2設(shè)(X,σP)是p-完備的lcs空間,是由?的子集作成的域,G:→X是有界向量測(cè)度:

(1)若G不是強(qiáng)可加的,則存在p0∈P(在內(nèi))拓?fù)渫瑯?gòu)T:c0→(X,p0)和互不相交集列{En}?,使得對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,p0[T(en)?G(En)]=0成立,從而c0中每一個(gè)0,1值序列的T-像包含在G(F)+中.

(2)若F是σ-域,將(1)中的c0換成l∞結(jié)論仍成立.

證明(1)設(shè)F是域,因?yàn)镚有界但不是強(qiáng)可加的,所以存在互不相交集列{An}?F,使得G(An)?0(依σP拓?fù)?,這樣存在p0∈P,使得當(dāng)n→∞時(shí),p0[G(An)]?0.如前, π表示從半范空間(X,p0)到商空間(∥·∥p0)的商映射,由于π是連續(xù)線性映射,從而πG:?→,∥·∥p0)是有界向量測(cè)度.

再由商映射π是等半范的,進(jìn)一步可知πG不是強(qiáng)可加的向量測(cè)度,因(X,σP)是p-完備的lcs空間,知(X,p0)是完備的半范空間,故∥·∥p0)是Banach空間,根據(jù)Diestel-Faires定理2.1,存在(在內(nèi))拓?fù)渫瑯?gòu)S:c0→和互不相交集列{En}?,使得對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,S(en)=πG(En).

取定X關(guān)于半范數(shù)p0的零空間的代數(shù)補(bǔ)線性子空間Y,則商映射π在Y上的限制π|Y:Y→是在上等距同構(gòu)映射,其逆映射(π|Y)?1:Y也是在上等距同構(gòu)映射.令T=(π|Y)?1·S,則T是從c0到(X,p0)的(在內(nèi))拓?fù)渫瑯?gòu)映射,且對(duì)任意的自然數(shù)n,有

即

則

從而

(2)將(1)中的域F換為σ域,c0換為l∞,類似可證.

推論2.1設(shè)(X,σP)是p-完備的lcs空間,是由?的子集作成的域,是有界向量測(cè)度,則G是強(qiáng)可加的當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的p∈P和任意漸張集列在(X,p)中弱收斂.

證明必要性:若G是強(qiáng)可加的,任意的漸張集列極限在拓?fù)洇襊下存在,所以對(duì)任意的在中收斂,進(jìn)而在(X,p)中弱收斂.

充分性:用反證法證明.假設(shè)G不強(qiáng)可加,由于(X,σP)是p-完備的,據(jù)定理2.2知,存在p0∈P,在內(nèi)拓?fù)渫瑯?gòu)和互不相交集列使得對(duì)任意的有如前所設(shè)π是半范空間(X,p0)關(guān)于零子空間的商映射,令S =πT,則是在內(nèi)拓?fù)渫瑯?gòu),且對(duì)任意的有

若不然存在x0∈X,使得{G(Em)}在(X,p0)中弱收斂于x0.因?yàn)棣惺侨?弱連續(xù)的,所以依的弱拓?fù)涫諗坑趯?duì)任意的

所以a0=(1,1,···,1,···)∈c0,矛盾.

定理2.3 (Orlicz-pettis)[7]設(shè)是Banach空間X中一個(gè)形式級(jí)數(shù),且任何一個(gè)子級(jí)數(shù)都是弱收斂的,則按范數(shù)無條件收斂.

以下是Orlicz-Pettis定理2.3在lcs空間中的推廣.

定理2.4設(shè)(X,σP)是p-完備的lcs空間,是X中一個(gè)形式級(jí)數(shù),對(duì)任意的p∈P,在半范空間(X,p)中任何子級(jí)數(shù)都弱收斂,則依拓?fù)洇襊無條件收斂.

證明設(shè)X中的級(jí)數(shù)對(duì)任意的p∈P在(X,p)中任何子級(jí)數(shù)弱收斂,可知對(duì)任意的x?∈(X,p)?都有定義

由閉圖定理[8]可證T是有界線性算子,從而

所以G是有界向量測(cè)度.任意的p∈P,{G(En)}在(X,p)中弱收斂.

設(shè){En}是中漸張集列,若是最終非常集列,則每個(gè)En是有限的,此時(shí){G(En)}是重排后的某個(gè)子級(jí)數(shù)部分和序列,因?yàn)閿?shù)域K中任何無窮級(jí)數(shù),子級(jí)數(shù)收斂,所以對(duì)

若{En}是最終常集列,顯然{G(En)}在(X,p)中是收斂的.這樣,對(duì)任意的p∈P,對(duì)中任意漸張集列中是弱收斂的.由(X,σP)是p-完備,據(jù)推論2.1得G是強(qiáng)可加的,故依拓?fù)洇襊無條件收斂.

[1] 孫立民.取值于局部凸空間矢值測(cè)度的幾個(gè)性質(zhì)[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1996,12:16-19.

[2] 武立中,孫立民.局部凸空間上矢值測(cè)度某些有界變差的等價(jià)性[J].哈爾濱工業(yè)大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1995,27:5-7.

[3] 施慧華.向量值測(cè)度的泛函表示[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2013,3:306-308.

[4] 滕巖梅.某種局部凸空間上的Bishop-phelps定理[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2005,4:781-784.

[5] 陳利國(guó).關(guān)于局部凸空間的中點(diǎn)局部一致凸性[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,6:749-755.

[6] Halmos P R.Measure Theorey[M].New York:Springer-verlag,1974.

[7] Joseph.Diestl,John Jerry Uhl.Vector Measures[M].Providence:Math.Surveys,Am.Math.Soc.,1977.

[8] Taylor A E.Introduction to Functional Analysis[M].NewYork:John Wileysons,1958.

Generalization of Diestel-Faires theorem on locally convex spaces

Wurenqiqige,Yang Meirong
(College of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China)

By contrasting Banach space and locally convex spaces,we promote Diestel-Faires theorem to locally convex space,and put up with Orlicz-Pettis theorem of locally convex spaces and the deduction of the Diestel-Faires theorem.

locally convex space,lcs space,Diestel-Faires theorem,Orlicz-Pettis theorem

O177.99

A

1008-5513(2014)05-0503-04

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.011

2014-01-21.

烏仁其其格(1979-),碩士,講師,研究方向：泛函分析.

2010 MSC:47A62