默會霞,余東艷,隋鑫

(北京郵電大學(xué)理學(xué)院,北京100876)

利用Adomain分解法求時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的近似解

默會霞,余東艷,隋鑫

(北京郵電大學(xué)理學(xué)院,北京100876)

非線性薛定諤方程是現(xiàn)代科學(xué)中非常普遍的非線性模型之一.通過Adomain分解,得到了(2+1)維和(3+1)維非零勢阱時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的近似解.利用Adomain分解不用像相關(guān)文獻(xiàn)中那樣將解函數(shù)的實(shí)部和虛部分別去求解,從而簡化了求解過程.

薛定諤方程;Adomain分解法;分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù);分?jǐn)?shù)階積分

1 引言

分?jǐn)?shù)階微積分產(chǎn)生于流體力學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域.其廣泛的應(yīng)用引起了數(shù)學(xué)界、工程界及其它很多領(lǐng)域?qū)＜覍W(xué)者的關(guān)注.特別地,分?jǐn)?shù)階微分方程可用來描述流體力學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域的一些自然現(xiàn)象.因此對分?jǐn)?shù)階微分方程求解的研究非常重要[1-5].

非線性薛定諤方程是現(xiàn)代科學(xué)中非常普遍的非線性模型之一.在玻色-愛因斯坦凝聚體、等離子物理、非線性光學(xué)、流體動力學(xué)等領(lǐng)域中有著重要應(yīng)用.關(guān)于非線性方程求解的方法有很多,例如:Adomain分解法[6-7]、變分迭代法[8]、同倫分析法[9]、同倫攝動法[10]等.

文獻(xiàn)[1]中,Khan用同倫分析法求得了分?jǐn)?shù)階勢阱和非勢阱薛定諤方程的近似解.但此法要將薛定諤方程中的解函數(shù)的實(shí)部和虛部分開,分別去求解,比較復(fù)雜.受文獻(xiàn)[11]的啟發(fā),將利用Adomain分解法,研究文獻(xiàn)[1]中的(2+1)維和(3+1)維非零勢阱時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的近似解.本文不必將解函數(shù)的實(shí)部和虛部分開,直接利用Adomain分解法迭代計算就可得到其近似解,簡化了運(yùn)算,且其近似解與文獻(xiàn)[1]中的完全一致.

其中

其中u(x,y,z,0)=u0(x,y,z),t≥0,(x,y,z)∈[0,2π]×[0,2π]×[0,2π],V(x,y,z)是勢阱函數(shù).

2 基本定義及引理

定義2.1[12]設(shè)f∈L1[0,+∞],α>0,則α階的黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階積分定義為:

定義2.2[12]設(shè)f∈L1[0,+∞],α>0,則R+上α階的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為:

其中n∈N,且n?1<α≤n,t>0.如果α=n是正整數(shù),則此導(dǎo)數(shù)就是經(jīng)典的n階導(dǎo)數(shù).

引理2.1[1,11]黎曼-劉維爾分?jǐn)?shù)階積分算子和Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有以下性質(zhì):

其中α,β>0,t≥0,x∈R,m∈N滿足m?1<α≤m.

3 Adomian分解法的基本理論

設(shè)n維方程可以寫成下列形式

其中L是一個可逆線性算子,R是其余的線性部分,N代表一個非線性算子,u是一個變量為x1,x2,···,xn的n元函數(shù).

現(xiàn)將方程(4)改寫成:

因為L是可逆的,則

一般的,可以令L?1Lu=u??,其中?滿足條件L?=0.

故方程(6)還可以寫為:

對方程(7)進(jìn)行參數(shù)化,則

設(shè)

其中Nu為

An即Adomain多項式.Adomain多項式可由下式給出:

將(9)和(10)式代入方程(8),并比較λ同次冪的系數(shù),可以得出

利用給定的初值u0,u1,u2,···,都可以通過方程(12)得出,從而得到特解u.

4 時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的近似解

本節(jié)用Adomian分解法,具體地求(2+1)維和(3+1)維時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的近似解.

例4.1(2+1)維時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程:

其中t≥0,0<α≤1,u(x,y,0)=sinxsiny,(x,y)∈[0,2π]×[0,2π]且i2=?1.

假設(shè)

則由(12)式,得到

取N=|u|2u,則由(11)式計算可得

通過對(14)和(15)式的計算,得到

其中系數(shù)cn取值如下:

因此,u(x,t)的4階近似值是:

注意到,當(dāng)α=1時,

因此,當(dāng)α=1時,可得方程(13)的精確解為:

此精確解與[5-8]的結(jié)果是一致的.

例4.2(3+1)維時間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程:

其中t≥0,0<α≤1,u(x,y,z,0)=sinxsiny sinz,(x,y,z)∈[0,2π]×[0,2π]×[0,2π].

仿照例4.1的求解過程,可知

假設(shè)

利用(12)式,

取N=|u|2u,則由(11)式,可得到A0,A1,A2,A3,A4,···的值如(15)式.經(jīng)過對(15)和(17)式的迭代計算,得到

其中cn是系數(shù),其值為:

由此得到此方程的4階近似解為:

注意到,當(dāng)α=1時,

因此,當(dāng)α=1時方程(16)的精確解為:

此解與文獻(xiàn)[5-8]給出的解完全一致.

[1]Khan N A,Jamil M,Ara A.Approximate solutions to time-fractional Schr¨odinger equation via homotopy analysis method[J].International Scholarly Research Network ISRN Mathematical Physics,2012,Article ID 197068,11pages.

[2]Samko S G,Kilbas A A,Marichev O I.Fractional Integrals and Derivatives:Theory and Applications[M]. Yverdon:Gordon and Breach,1993.

[3]Hilfer R.Applications of Fractional Calculus in Physics[M].Singapore:World Scienti fi c,2000.

[4]Kilbas A A A,Srivastava H M,Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Di ff erential Equations[M]. Amsterdam:Elsevier Science Limited,2006.

[5]Sahadevan R,Bakkyaraj T.Invariant analysis of time fractional generalized Burgers and Korteweg-de Vries equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,393:341-347.

[6]Khuri S.A new approach to the cubic Schr¨odinger equation:an application of the decomposition technique[J].Applied Mathematics and Computation,1998,97:251-254.

[7]Sadighi A,Ganji D D.Analytic treatment of linear and nonlinear Schro¨odinger equations:a study with homotopy-perturbation and Adomian decomposition methods[J].Physics Letters A,2008,372(4):465-469.

[8]Wazwaz A M.A Study on linear and nonlinear Schrodinger equations by the variational iteration method[J]. Chaos,Solitons&Fractals,2008,37(4):1136-1142.

[9]Liao S J.On the homotopy analysis method for nonlinear problems[J].Mathematics and Computation, 2004,147(2):499-513.

[10]He J H.The homotopy perturbation method for nonlinear oscillators with discontinuities[J].Applied Mathematics and Computation,2004,151(1):287-292.

[11]Herzallah M A E,Gepreel K A.Approximate solution to the time-space fractional cubic nonlinear Schr¨odinger equation[J].Applied Mathematical Modelling,2012,36:5678-5685.

[12]Podlubny I.Fractional Di ff erential Equation[M].London:Academic Press,1999.

Approximate solutions to the Schr¨odinger equation with time fractional derivatives via the Adomain decomposition method

Mo Huixia,Yu Dongyan,Sui Xin
(School of Science,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing100876,China)

Nonlinear Schr¨odinger equation is a general nonlinear model in modern science.Using the Adomain decomposition method,we construct the approximate solutions to the(2+1)and(3+1)dimensional time fractional Sch¨ordinger equations with nonzero trapping potential.It is not necessary for us to decompose the solution function into real part and imaginary part as in relative references.So,the Adomain decomposition simpli fi es the procedure of solving the equation.

Schr¨odinger equation,Adomain decomposition method,fractional derivative,fractional integral

O29

A

1008-5513(2014)05-0460-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.05.004

2014-03-12.

國家自然科學(xué)基金(11161042).

默會霞(1976-),副教授,研究方向:調(diào)和分析及其在偏微分方程中的應(yīng)用.

2010 MSC:26A99