摘 要：“一蜘蛛欲從長方體的一頂點捕捉與之不共側面的對角頂點上的小蟲，尋求最佳行走路線”。從該問題的討論求解創(chuàng)設數(shù)學情境，進而推廣到對圓錐、圓臺等幾何體表面路徑最小值的求解，學習利用側面展開圖，化空間問題為平面問題的劃歸數(shù)學思想，掌握幾何體表面路徑最小值的求解方法，掌握幾何體側面展開圖的應用。

關鍵詞：側面展開；空間問題平面化；最小路徑

一、教學設計

1.教學背景

遵義四中是貴州省省級示范高級中學，從建校至今已有九十余年的歷史，在教育教學上取得了引人注目的成績。面對全球教育教學改革的新環(huán)境，如何實施素質教育，創(chuàng)新教育？我們正在積極探索中。貴州師大呂傳漢、汪秉彝二位教授研究推廣的“數(shù)學情境與提出問題”教學模式，經過多年的嘗試，學生對這種新素質教育教學方法比較適應和接受。

我現(xiàn)任教的是兩個文科班數(shù)學課。我校生源總體屬于本地區(qū)上乘，但因擴招形成的捐資助學生成績較差，不得已進入文科班學習。因此，文科班數(shù)學成績，除少數(shù)全面發(fā)展的學生外，大部分學生對數(shù)學有明顯的畏難情緒，有的甚至厭學或不學。而改變現(xiàn)狀的最好辦法就是順應新a形勢的需要，用創(chuàng)新思想、創(chuàng)新方法解決新問題。

2.教材分析

幾何體表面最小路徑問題，作為中學數(shù)學中的定量概念的典型形式，在生產和生活實踐中具有廣泛應用，特別是利用展開圖把空間問題平面化，化空間最小路徑問題為平面兩點間的最小路徑問題，是中學數(shù)學中的重要數(shù)學思想，也是高考命題中的常見內容。

中學數(shù)學中，主要涉及柱、錐、臺、球的表面路徑問題，關于球的相關問題在其他專題中解決，這里所涉及的柱、錐、臺體（含旋轉體），都具有表面可展開性。通過該專題的討論，建立鞏固從平面到空間的思維紐帶。通過恰當展開表面（或部分表面），將最小路徑問題轉換成平面兩點間路徑最小問題來解決。這是一個訓練學生幾何變換能力、空間想象力以及轉移化歸的數(shù)學思想方法的課題，如處理恰當，對于提高學生分析問題和解決問題的能力將有明顯效果。

3.設計思想

（1）教學目標

本節(jié)課是高三第二輪復習內容，通過本專題的研究，使學生在繼續(xù)鞏固立體幾何相關基礎知識的基礎上，探索幾何變換及其應用方法，強化空間問題平面化的等價轉化思想，提高學生分析問題、探索問題和解決問題的能力。

（2）教學方法

本節(jié)課是“情境—問題”教學實驗課，并輔以多媒體手段。

設置數(shù)學情境（觀察分析）—提出數(shù)學問題（猜測探究）—解決數(shù)學問題（正面求解或反駁）—注重數(shù)學應用（學做學用），而且，學生學習：質疑提問、自主學習貫穿全過程；老師導學：激發(fā)興趣、反思矯正貫穿全過程。

（3）課前準備

為了充分發(fā)揮“情境—問題”教學實踐的課堂效果，課前做了如下準備：①將全班學生分為若干小組，每組6人左右，原則自愿組合，老師可幫助適當調整，使每組盡可能具備討論問題氛圍的基礎。②將相關題目精選出6個，難易類別兼顧搭配，組成思考題單，課前發(fā)放到各小組，各組就自己感興趣的問題分析思考；每小組用硬紙片做正方體、圓錐模型各一個，以此奠定上課時各組之間研究問題的基礎。③做好相應的多媒體課件。

二、教學過程

提出數(shù)學問題：

教師：在剛才的蜘蛛路徑問題的討論中，涉及一個幾何體表面最小路徑問題。請回顧，你都想到或用到了哪些知識和方法，還有什么疑惑要和同學探討？或有哪些結果值得總結？請暢所欲言。

……

學生通過積極的討論，提出各種問題及想法，大致為如下幾個方面（把課堂上首先要解決的問題列在前面）：

在長方體中，展開方式的不同將影響最小路徑的求解，值得注意。

1.幾何體表面路徑問題與兩點間的距離的關系如何？

2.“蜘蛛路徑問題”的方法是否可以推廣？

3.幾何體表面路徑最值問題求解的思想方法是什么？

4.幾何體是否都能夠把表面展開？哪些能展開？

5.球面不能展開，球面上兩點間的距離怎么求解？

……

三、教學反思

1.恰當創(chuàng)設數(shù)學情境，是有效強化學生問題意識的重要步驟，更是吸引學生積極參與討論問題并能夠提出有價值問題的有效方法。在教學實踐中，趣味數(shù)學問題、貼近生活問題、偉人科研軼事等，都可作為創(chuàng)設情境的素材源。本案例選取“蜘蛛路徑問題”，屬于學生熟知的趣味數(shù)學問題，實踐說明，學生是樂意接受的，同時，如果恰當利用多媒體技術，對情境創(chuàng)設效果更好。

2.在討論問題的選材方面，本案例結合目前高考復習的需要，以及本節(jié)課教學主題的需要，選擇了中學立體幾何中“折卷”相關題目（柱、錐、臺），并注意兼顧具有思考解答的多樣性特點或具有某些不確定性特點，這有利于學生在分類討論中發(fā)現(xiàn)、比較、質疑，強化學生提出問題或質疑問題的意識。

參考文獻：

[1]呂傳漢，汪秉彝.中小學數(shù)學情境與提出問題教學探究.貴州人民出版社，2002-07.

[2]呂傳漢，汪秉彝.“論中小學數(shù)學情境與提出問題”的數(shù)學學習[J].數(shù)學教育學報，2001（4）：9-14.

[3]汪秉彝，呂傳漢.創(chuàng)新與中小學數(shù)學教育[J].數(shù)學教育學報，2000，9（4）：34.

[4]劉友軍.高中“數(shù)學情境與提出問題”的教學實踐：“歸納—猜想—證明”教學案例[J].數(shù)學教育學報，2003，12（4）：83-86.

（作者單位 貴州省遵義市第四中學）

？誗編輯 謝尾合