任建功，馮斌，牟恩旭，黃曉勇

(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安710049)

濾波器在運(yùn)動(dòng)控制器中有著廣泛的應(yīng)用，在常見(jiàn)的數(shù)控系統(tǒng)中，如德國(guó)西門(mén)子數(shù)控系統(tǒng)和日本發(fā)那科數(shù)控系統(tǒng)，控制回路中都使用了濾波器［1－2］。在設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)控制器過(guò)程中，濾波器的使用是十分必要的，對(duì)提升運(yùn)動(dòng)控制器的性能有著十分重要的作用。特別是在控制參數(shù)調(diào)整已經(jīng)無(wú)法進(jìn)一步改善控制器性能的情況下，濾波器作為一種工具，其使用能夠起到很好的提升效果。

運(yùn)動(dòng)控制器中的濾波器，按照其特點(diǎn)劃分為低通濾波器和帶阻濾波器，其它要求的濾波器均可由二者的組合實(shí)現(xiàn)［3］。濾波器的主要用途是濾除噪聲、干擾以及不需要的頻率分量信號(hào)，抑制諧振現(xiàn)象，平滑運(yùn)動(dòng)控制器伯德圖曲線以及增加控制系統(tǒng)的帶寬［4－5］。以下主要討論了低通濾波器和陷波濾波器的相關(guān)概念、特性以及用法。

1 低通濾波器

運(yùn)動(dòng)控制器中最常用的濾波器是低通濾波器，理想低通濾波器在控制信號(hào)的頻率分量低于截止頻率時(shí)完全通過(guò)，而高于截止頻率的頻率分量完全阻斷［3］。但理想特性低通濾波器實(shí)現(xiàn)困難，且信號(hào)在頻域突然截?cái)?，?huì)造成控制信號(hào)在時(shí)域的振蕩。在實(shí)際使用中，常用低通濾波器如圖1伯德圖曲線所示，當(dāng)控制信號(hào)頻率值處于通帶時(shí)，運(yùn)動(dòng)控制器幅值和相位無(wú)衰減通過(guò);當(dāng)高于截止頻率時(shí)，幅值和相位將會(huì)逐漸衰減，且頻率值越高衰減越大，通帶與阻帶之間有個(gè)過(guò)渡帶。

圖1 常用的低通濾波器

在運(yùn)動(dòng)控制器中，運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)控制信號(hào)頻率不能任意取值，它受到設(shè)備機(jī)械結(jié)構(gòu)及工況的限制，通常都處在一定的頻率段，最大值也在千赫茲數(shù)量級(jí)。更高頻率的控制信號(hào)一般是噪聲、外界干擾或者電子元器件產(chǎn)生的輻射干擾，這些信號(hào)需要進(jìn)行濾除，低通濾波器能夠很好的完成這個(gè)任務(wù)［4－5］。另外根據(jù)信號(hào)的采用定理，當(dāng)輸入數(shù)字控制信號(hào)的頻率超過(guò)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)的奈奎斯特頻率時(shí)，會(huì)產(chǎn)生信號(hào)的混疊。混疊造成控制信號(hào)失真，不僅影響頻率較高的控制信號(hào)分量，還會(huì)干擾到能夠準(zhǔn)確響應(yīng)的較低頻率的控制信號(hào)分量［3］。低通濾波器可以通過(guò)設(shè)置截止頻率——一般為低于奈奎斯特頻率值，來(lái)消除運(yùn)動(dòng)控制器中存在的頻率混疊現(xiàn)象。同時(shí)低通濾波器對(duì)衰減高頻噪聲，抑制高頻諧振也有明顯的效果。

最簡(jiǎn)單的低通濾波器為一階低通濾波器，如式(1)所示。

圖2 截止頻率相等時(shí)一階和二階低通濾波器伯德圖

式中:ωn為低通濾波器的自然頻率，ξ為濾波器的阻尼系數(shù)。

在實(shí)際低通濾波器應(yīng)用中，一般不希望低通濾波器自身產(chǎn)生諧振現(xiàn)象，即某些頻率分量幅值被急劇放大。一階低通濾波器不存在這種現(xiàn)象，但二階低通濾波器卻存在，這是不希望發(fā)生的。實(shí)際上這是由于阻尼系數(shù)ξ的取值造成的。如圖3所示，ξ分別取0、0.1、0.5、0.7、1.0，在伯德圖中可以看到:幅值方面，ξ值很小時(shí)，濾波器會(huì)產(chǎn)生諧振，在諧振處會(huì)產(chǎn)生很大的超調(diào)，當(dāng)ξ數(shù)值逐漸變大時(shí)，超調(diào)逐漸消失;相位方面，當(dāng)ξ=0時(shí)，通帶部分相位滯后幾乎

圖3 阻尼系數(shù)ξ取不同值對(duì)應(yīng)的伯德圖

二階低通濾波器伯德圖如圖2中虛線所示，與圖2中的截止頻率為300 rad/s的一階低通濾波器曲線相比，可以發(fā)現(xiàn):二階低通濾波器在幅值衰減方面，作用明顯好于一階低通濾波器，但在相位圖上可以看到，二階低通濾波器引入的相位滯后值明顯更大。這些特點(diǎn)使得在實(shí)際使用中，要綜合考慮運(yùn)動(dòng)控制器的相位裕量和需要的實(shí)際帶寬，進(jìn)而選擇合適的低通濾波器類(lèi)型和參數(shù)。

2 陷波濾波器

陷波濾波器，也稱(chēng)為帶阻濾波器。在控制系統(tǒng)中也有廣泛的用途。控制系統(tǒng)在設(shè)計(jì)帶寬范圍內(nèi)常有一些諧振點(diǎn)，這些諧振現(xiàn)象很多是控制器的固有屬性，通過(guò)調(diào)整控制器的控制參數(shù)很難消除，或者消除之后運(yùn)動(dòng)控制器的控制帶寬變小，控制特性變差，此時(shí)用陷波濾波器抑制諧振，平滑伯德圖運(yùn)動(dòng)控制曲線效果良好。此外如果一些噪聲和干擾源的頻率分布是已知的，并且與運(yùn)動(dòng)控制器所處頻率段不同，那么可以通過(guò)陷波濾波器來(lái)消除特定頻率范圍的干擾和噪聲。抑制控制帶寬內(nèi)的諧振這一應(yīng)用在實(shí)際工程中更多一

如要設(shè)計(jì)帶寬為300 rad/s的二階低通濾波器，則ωn=300 rad/s，ξ=0.7，對(duì)應(yīng)的二階低通濾波器表達(dá)式為式 (3)。些。

陷波濾波器的一種常用表達(dá)式為式 (4)所示［4］。

其中:ωnz為分子多項(xiàng)式的自然頻率;ζ為分子多項(xiàng)式阻尼系數(shù);ωnp為分母多項(xiàng)式自然頻率;ξ分母多項(xiàng)式阻尼系數(shù)。其中，ωnz對(duì)應(yīng)著衰減頻率段的中心頻率，ωnp則影響著陷波濾波器作用后的高頻段特性。

如果ωnz和ωnp不同，此時(shí)有4個(gè)參數(shù)影響著陷波濾波器的性能，如ωnz為300 rad/s，ωnp為500 rad/s，ζ為0.017，ξ為0.10，所得陷波濾波器如圖4。在低頻部分，陷波濾波器不會(huì)產(chǎn)生放大或者衰減作用，在經(jīng)過(guò)陷波濾波器作用過(guò)后的高頻部分，陷波濾波器會(huì)根據(jù)ωnz和ωnp比例關(guān)系，產(chǎn)生相應(yīng)的放大或者衰減作用，增益值G分貝值表達(dá)式如式 (5)。將參數(shù)代入式 (5)，計(jì)算得到本例中高頻分量部分的增益值G為8.87 dB。

圖4 ωnp=500 rad/s，ωnz=300 rad/s，ζ=0.017，ξ=0.1

圖5 ωn=300 rad/s，B=100 rad/s，D= －20 dB

陷波濾波器一般利用其對(duì)特定頻率段進(jìn)行阻斷衰減的特性，不會(huì)對(duì)高頻分量進(jìn)行處理，此時(shí)ωn=ωnz=ωnp，表達(dá)式變?yōu)槭?(6)。

此時(shí)3個(gè)參數(shù)ωn、ζ和ξ決定陷波濾波器的性能。此時(shí)濾波器在衰減范圍之外不改變運(yùn)動(dòng)控制器的幅值以及相位，并且可以近似認(rèn)為2ξωn值對(duì)應(yīng)著衰減到－3 dB幅值以下頻率范圍所對(duì)應(yīng)的帶寬B。ζ和ξ比值等于 ωn處衰減的幅值，其分貝值D按照式(7)計(jì)算，例如當(dāng)比值為0.1時(shí)，D=－20 dB，即ωn處衰減20 dB。一陷波濾波器參數(shù)如下:ωn為300 rad/s，B為100 rad/s，D為－20 dB，所得濾波器如圖5所示。

陷波濾波器的表達(dá)式也可以用通用形式，如式(8)。

式中:ωn(=ωnz)是衰減頻率段的中心頻率;D為衰減頻率段中心處衰減深度;G為陷波濾波器對(duì)高頻響應(yīng)增益分貝值;G值按式 (8)計(jì)算，由于陷波濾波器使用時(shí)G值不會(huì)很大，B近似為衰減頻率范圍的帶寬。

由于運(yùn)動(dòng)控制器主要應(yīng)用二階低通濾波器對(duì)特定頻率范圍的阻斷功能，所以在運(yùn)動(dòng)控制器中，陷波濾波器不對(duì)其作用后的高頻分量進(jìn)行衰減或放大，即G=0 dB。此時(shí)有3個(gè)參數(shù)ωn、B和D決定陷波濾波器性能。此時(shí)陷波濾波器表示為式 (9)。

如運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化的傳遞函數(shù)為式 (10)，其對(duì)應(yīng)的伯德圖如圖6所示。

經(jīng)觀察，在150～400 rad/s頻率范圍內(nèi)，系統(tǒng)出現(xiàn)了幅值增大的諧振現(xiàn)象，諧振峰值為8.5 dB，諧振中心頻率為300 rad/s。這種控制系統(tǒng)伯德圖中出現(xiàn)的諧振會(huì)給控制系統(tǒng)帶來(lái)不穩(wěn)定隱患，并降低的帶寬B，常用的解決辦法是加陷波濾波器［7－8］。通過(guò)分析，陷波濾波器參數(shù)為:ωn=300 rad/s，D=－8.5 dB，B=250 rad/s，表達(dá)式為式 (11)所示。

圖6 系統(tǒng)未加濾波器時(shí)伯德圖

式 (11)所得陷波濾波器伯德圖如圖7所示?？刂葡到y(tǒng)中加入陷波濾波器后伯德圖如圖8所示。對(duì)比加入陷波濾波器前后可知，加入陷波濾波器后控制系統(tǒng)的諧振現(xiàn)象得到了明顯的抑制，系統(tǒng)帶寬B變大，實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo)。

圖7 ωn=300 rad/s，B=200 rad/s，D= －8 dB

圖8 系統(tǒng)加陷波濾波器時(shí)伯德圖

由于本例中系統(tǒng)諧振出現(xiàn)在系統(tǒng)帶寬附近的高頻段，故也可以用低通濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)，分別選取一階和二階低通濾波器截止頻率均為200 rad/s，得到控制系統(tǒng)加入低通濾波器后伯德圖如圖9所示，也實(shí)現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo)。雖然陷波濾波器和低通濾波器都能滿足此時(shí)的要求。但當(dāng)帶寬范圍內(nèi)出現(xiàn)諧振現(xiàn)象，就只能用陷波濾波器。對(duì)于多環(huán)控制運(yùn)動(dòng)控制器，如果一次調(diào)試效果不滿足要求，可以重復(fù)調(diào)整濾波器參數(shù)，甚至可以根據(jù)每種濾波器的特點(diǎn)和控制環(huán)路要求使用組合濾波器，從而達(dá)到較好的幅值和相位特性［7－8］。

圖9 系統(tǒng)加一階和二階低通濾波器伯德圖

3 總結(jié)

濾波器在運(yùn)動(dòng)控制器中對(duì)改善控制器特性具有明顯的效果，其實(shí)現(xiàn)形式有很多種，文中所選用的濾波器結(jié)構(gòu)形式簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，又貼近實(shí)際工程應(yīng)用，基本能滿足運(yùn)動(dòng)控制器需求［6］。其中，低通濾波器主要用于抑制高頻噪聲、干擾，衰減無(wú)用的高頻控制信號(hào)，平滑運(yùn)動(dòng)控制曲線和抑制高頻諧振;陷波濾波器通常用于處理系統(tǒng)中帶寬范圍內(nèi)的諧振現(xiàn)象。在實(shí)際使用中，應(yīng)該根據(jù)每種濾波器的特性選用。如果一種濾波器或者一個(gè)濾波器不能滿足要求，可以使用組合濾波器。由于陷波濾波器與二階低通濾波器形式相近，可以設(shè)計(jì)成通用形式，用戶根據(jù)需要選擇實(shí)際作用類(lèi)型及相關(guān)參數(shù)。需要說(shuō)明的是，在控制回路中引入濾波器相當(dāng)于在控制系統(tǒng)中引入了延遲，這對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。因而使用濾波器并不是提升運(yùn)動(dòng)控制器性能優(yōu)先考慮的選項(xiàng)，應(yīng)先調(diào)整運(yùn)動(dòng)控制器的控制參數(shù)，在調(diào)整控制參數(shù)對(duì)控制效果改善不再明顯的條件下，加入濾波器。對(duì)于多環(huán)運(yùn)動(dòng)控制器，先由內(nèi)環(huán)向外環(huán)逐步調(diào)整控制參數(shù)，每個(gè)環(huán)路在調(diào)整參數(shù)后可以選擇對(duì)應(yīng)的濾波器，以使自身性能最佳，每個(gè)環(huán)路性能最佳進(jìn)而能保證控制系統(tǒng)性能最佳［7－8］。在綜合考慮濾波器與控制系統(tǒng)特性后，合理使用濾波器就能更好地發(fā)揮運(yùn)動(dòng)控制器性能。

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