聶衛(wèi)科， 房鼎益， 陳曉江， 馮大政

(1.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

計(jì)算與測(cè)試

一種基于無(wú)線傳感器陣列的到達(dá)方向檢測(cè)方法*

聶衛(wèi)科1， 房鼎益1， 陳曉江1， 馮大政2

(1.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710127；2.西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071)

以線性等距無(wú)線傳感器陣列為例，提出一種有效的到達(dá)方向檢測(cè)算法。列堆棧兩個(gè)平移不變子陣的相關(guān)矩陣，給出一種奇異值分解和特征值分解相結(jié)合的兩步算法，估計(jì)傳感器陣列的導(dǎo)向矢量矩陣，通過(guò)分析導(dǎo)向矢量矩陣的結(jié)構(gòu)化信息，構(gòu)造估計(jì)導(dǎo)向矢量和理想導(dǎo)向矢量的相關(guān)函數(shù)，進(jìn)而求解相關(guān)函數(shù)的駐點(diǎn)，搜索有限個(gè)駐點(diǎn)中使相關(guān)函數(shù)最大的駐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角度估計(jì)到達(dá)方向，避免了窮盡搜索。仿真結(jié)果表明：所提算法在相同信噪比下分辨成功率高于著名的ESPRIT算法、同一分辨成功率下要求的信噪比更低。在信噪比、快拍數(shù)、陣元個(gè)數(shù)變化下對(duì)目標(biāo)定位的均方根誤差均優(yōu)于ESPRIT算法，更接近于理論最優(yōu)值。

目標(biāo)定位； 到達(dá)方向； 無(wú)線傳感器陣列

0 引 言

高分辨子空間類(lèi)波達(dá)方向估計(jì)[1,2]利用傳感器陣列估計(jì)空間目標(biāo)的位置信息，是雷達(dá)、聲納、移動(dòng)通信等眾多領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)。在高分辨子空間算法中，MUSIC算法[3～4]需要譜峰搜索，計(jì)算量龐大。著名的ESPRIT算法[5,6]尋求一種閉式解，無(wú)需譜峰搜索，極大地減少了計(jì)算量和存儲(chǔ)量，被認(rèn)為是子空間類(lèi)方法中最具應(yīng)用價(jià)值的方法[7]。

本文以均勻線陣為例，構(gòu)造平移不變子陣的相關(guān)矩陣，列堆棧兩個(gè)相關(guān)矩陣，進(jìn)而給出一種特征值分解和奇異值分解相結(jié)合的雙特征分解的子空間類(lèi)方法，估計(jì)陣列的導(dǎo)向矢量矩陣。隨后，提出一種相關(guān)最大方法從估計(jì)的導(dǎo)向矢量矩陣中反解波達(dá)方向。仿真表明:所提算法在信噪比、快拍數(shù)和陣元數(shù)變化的情況下，均方根誤差性能比ESPRIT算法更接近于最優(yōu)值。

1 系統(tǒng)模型

考慮圖1所示的含M+1個(gè)陣元的均勻線陣，相鄰陣元間距為d，P個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)以θ=[θ1，θ2，…,θp]入射到陣列，入射波長(zhǎng)為λ，陣元間距小于半波長(zhǎng)。

圖1 系統(tǒng)模型Fig 1 System model

以第一個(gè)陣元為參考點(diǎn)，在第t次快拍下陣元m,m=1,2,…,M+1接收的P個(gè)信源的總響應(yīng)為

(1)

其中,sp為第p個(gè)信源的復(fù)包絡(luò)，nm為第m個(gè)陣元上的噪聲。設(shè)陣元1～M為第1個(gè)子陣，陣元2～M+1為第2個(gè)子陣，則第1個(gè)子陣接收的數(shù)據(jù)向量為

x1(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T=A1s(t)+n1(t).

(2)

第2個(gè)子陣接收的數(shù)據(jù)向量為

x2(t)=[x2(t),x3(t),…,xM+1(t)]T=A2s(t)+n1(t) =A1Φs(t)+n1(t).

(3)

(4)

式中Rs為信源的自相關(guān)矩陣，σ2為噪聲平均功率，可利用特征分解后M-P個(gè)小特征值平均估計(jì)得到，IM為M階單位矩陣，同理,有

(5)

設(shè)C11=R11-σ2IM，C21=R21。

2 導(dǎo)向矢量矩陣的估計(jì)

為引出本文方法，首先給出如下定理：

定理：兩個(gè)不同的矩陣X∈CM×P，Y∈CM×P，X=[x1,…,xP]，Y=[y1,…,yP]，如果M>P且rank(XHY)=P，rank表示矩陣的秩，那么,span(X)=span(Y)。

有了上述定理，將矩陣C11,C21列堆棧

(6)

設(shè)C的奇異值分解Csvd為

(7)

將式(7)寫(xiě)為

(8)

3 相關(guān)最大角度反解

有了導(dǎo)向矢量矩陣A1的估計(jì)，提出一種相關(guān)最大方法反解角度。設(shè)導(dǎo)向矢量矩陣的估計(jì)1的m行p列元素為amp，m=1,2,…，M，p=1,2,…，P。設(shè)β=jd,μ=sinθp，第p個(gè)信源的導(dǎo)向矢量為

a(p)=[1 eβμe2βμ… e(M-1)βμ]T.

(9)

(10)

可見(jiàn)當(dāng)角度估計(jì)為真值時(shí)，ρ(μ)=M-1, 達(dá)到最大值，但一般估計(jì)值在真值附近擺動(dòng)，因此,ρ(μ)只是一個(gè)復(fù)數(shù)，令相關(guān)函數(shù)為實(shí)數(shù)|ρ(μ)|2，則

(11)

對(duì)相關(guān)函數(shù)求導(dǎo)

(12)

令eβμ=δ，并令式(12)為0，有

(13)

上式是關(guān)于δ的多項(xiàng)式，利用Matlab的求根命令Roots求出式(13)的所有零點(diǎn)即式(11)的所有駐點(diǎn)，在所有零點(diǎn)中找使|ρ(μ)|2最大的零點(diǎn)δp，從δp反解即可得角度的估計(jì)

(14)

式中angle(?)表示取復(fù)數(shù)?的復(fù)角主值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證所提算法的有效性，考慮M=13個(gè)間距半波長(zhǎng)的等距線陣，接收遠(yuǎn)場(chǎng)P=3個(gè)窄帶信號(hào)θ=(0°,5°,10°)，各陣元噪聲為零均值白復(fù)高斯噪聲，以下實(shí)驗(yàn)均為200次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)平均結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)1：信噪比為-11～2 dB，本文算法和ESPRIT算法的分辨成功概率如表1所示。分辨成功定義為估計(jì)值與真實(shí)值的誤差不超過(guò)參考角度處3 dB波束寬度的50 %，算法的分辨門(mén)限一般認(rèn)為是分辨成功概率大于90 %所對(duì)應(yīng)的信噪比，可見(jiàn)本文算法的分辨門(mén)限為-8 dB，優(yōu)于ESPRIT算法0 dB的分辨門(mén)限。

表1 分辨成功概率比較Tab 1 Comparison of resolution success rate

實(shí)驗(yàn)2：信噪比為-5～20 dB，設(shè)n=1,2,…,N為實(shí)驗(yàn)次數(shù)，實(shí)驗(yàn)中角度估計(jì)的均方根誤差RMSE定義為

(15)

圖2所示為快拍數(shù)固定在300次，不同信噪比下ESPRIT算法和本文算法及最優(yōu)值的仿真曲線。由圖可見(jiàn)，兩種算法在低信噪比下性能差別較大，且兩種算法離最優(yōu)性能隨信噪比的降低而擴(kuò)大，這是由于兩種算法都是建立矩陣特征分解基礎(chǔ)上的特征結(jié)構(gòu)類(lèi)算法，該類(lèi)算法在低信噪比下，信號(hào)空間和噪聲空間的分辨誤差明顯增大，尤其在信號(hào)和噪聲等功率的0 dB 以下，性能顯著變差，隨著信噪比的增加，在0～5 dB之間，兩種算法性能迅速接近并趨近于最優(yōu)值，在信噪比大于5 dB后，算法性能差距趨于穩(wěn)定。

圖2 角度估計(jì)的均方根誤差隨信噪比變化Fig 2 RMSE of angle estimation vs SNR

實(shí)驗(yàn)3：信噪比固定為5 dB，快拍數(shù)為100～1 000，圖3所示為不同快拍下ESPRIT算法和本文算法及最優(yōu)值的仿真曲線。由圖可見(jiàn)隨著快拍數(shù)的增加，兩種算法對(duì)到達(dá)方向估計(jì)的均方根誤差逐漸變小。

圖3 角度估計(jì)的均方根誤差隨快拍數(shù)變化Fig 3 RMSE of angle estimation vs snapshots number

實(shí)驗(yàn)4：信噪比固定為5 dB，快拍數(shù)為300，圖4所示為傳感器陣元數(shù)變化下ESPRIT算法和本文算法及最優(yōu)值的仿真曲線。

圖4 角度估計(jì)的均方根誤差隨陣元數(shù)變化Fig 4 Change of RMSE of angle estimation vs array element number

由圖可見(jiàn)隨著陣元數(shù)的增加，兩種方法角度估計(jì)更加精確，均方根誤差不斷減小。

5 結(jié) 論

基于相關(guān)矩陣的列堆棧，本文給出一種雙特征分解的導(dǎo)向矢量估計(jì)方法，利用估計(jì)的導(dǎo)向矢量矩陣和理想導(dǎo)向矢量矩陣的相關(guān)函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)的駐點(diǎn)求解信源的到達(dá)方向，由于相關(guān)函數(shù)的建立考慮了所有傳感器的接收數(shù)據(jù)，求解的是所有特征結(jié)構(gòu)的平均信息，提高了估計(jì)精度，同時(shí),相比著名的ESPRIT算法，所提算法在相同信噪比下分辨成功率更高、同一分辨成功率下要求的信噪比更低、所提方法在信噪比、快拍數(shù)和陣元數(shù)提高的情況下，方向角估計(jì)的均方根誤差不斷減小，估計(jì)精度優(yōu)于經(jīng)典ESPRIT方法,且更接近于最優(yōu)值。

但是，本文算法計(jì)算量高于ESPRIT算法，為控制計(jì)算復(fù)雜性，所提相關(guān)最大方法通過(guò)搜索有限個(gè)駐點(diǎn)反解信源方向，避免了窮盡搜索，計(jì)算量明顯小于MUSIC類(lèi)算法。

[1] Liu N,Zhang L R,Zhang J.Direction finding of MIMO radar through ESPRIT and Kalman filter[J].Electronic Letters,2009,45(17):908-910.

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A detection method for direction of arrival based on wireless sensor array*

NIE Wei-ke1, FANG Ding-yi1, CHEN Xiao-jiang1, FENG Da-zheng2

(1.School of Information Science and Technology,Northwest University,Xi’an 710127,Chi-na;2.National Key Laboratory of Radar Signal Processing,Xidian University,Xi’an 710071,China )

Take linear isometry wireless sensor array as example,an efficient direction of arrival detection algorithm is proposed.The correlation matrices of two shifting invariant sub-array are column stacked,then a two-step algorithm combining singular value decomposition and eigenvalue decomposition is proposed,and steering vector matrix is estimated,by analysis of the structured information of steering vector matrix,correlation function of estimated and ideal steering vector is constructed,then arrest points of correlation function are solved,direction of arrival can be given by searching the limited arrest points which correspond the maximum of the correlation function,which avoid exhaustive search.Simulation results show that the probability of resolution successful rate of proposed algorithm is higher than the ESPRIT in the same SNR,meanwhile it needs lower SNR in the same resolution successful rate.Root mean square error of target localization with the change of signal to noise ratio,snapshots number and array element better than ESPRIT algorithm,and is more closer to theoretical optimal value.

target localization; direction of arrival; wireless sensor array

10.13873/J.1000—9787(2014)12—0124—03

2014—04—21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61373177)；陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013JM8008)；陜西省科技廳專(zhuān)項(xiàng)科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(11JK0903)

TB 556

A

1000—9787(2014)12—0124—03

聶衛(wèi)科(1972-)，男，陜西渭南人，博士，講師，主要研究領(lǐng)域?yàn)闊o(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)定位與跟蹤。