劉 冰，劉 鵬

(1.南京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 文理學(xué)院，江蘇 南京 210023;2.東南大學(xué) 數(shù)學(xué)系，江蘇 南京 210096)

人們研究群體決策問(wèn)題時(shí)，更多的是在序數(shù)意義下進(jìn)行各種情況的討論，其中偏愛(ài)規(guī)則(或稱(chēng)多數(shù)規(guī)則)［1，2］是群體決策中基本的決策規(guī)則。文［3］研究了該規(guī)則所滿(mǎn)足的充分和必要條件;文［4］、［5］研究了較多規(guī)則的擴(kuò)展形式，文［6］、［7］、［8］探討了不同的集結(jié)規(guī)則;對(duì)于隨機(jī)情況下，文［9］提出群體隨機(jī)偏愛(ài)規(guī)則(映射)及隨機(jī)偏愛(ài)公理，并且建立了相應(yīng)的不可能性定理;文［10］、［11］和［12］則各給出隨機(jī)偏愛(ài)群體決策的一些選優(yōu)排序方法。

然而，現(xiàn)實(shí)生活中，更多的情況是由評(píng)委直接給出被評(píng)對(duì)象的分?jǐn)?shù)或效用值，這涉及的是群體決策的基數(shù)表示形式。文獻(xiàn)［13-16］研究了福利經(jīng)濟(jì)學(xué)中的貧困問(wèn)題，給出其數(shù)值表示形式以及相應(yīng)的公理。本文借鑒其研究方法，對(duì)于供選方案中個(gè)體具有多個(gè)屬性時(shí)的基數(shù)表示問(wèn)題，給出一個(gè)效用集結(jié)函數(shù)，證明了該效用集結(jié)函數(shù)滿(mǎn)足文獻(xiàn)［14］、［17］、［18］中給出的六個(gè)公理，在其中幾個(gè)公理的組合下，可以證明效用集結(jié)函數(shù)恰能用我們所給出的形式表示，即為一個(gè)充分必要條件。最后我們提出在該效用集結(jié)函數(shù)下對(duì)方案集的群體排序算法。

1 問(wèn)題表述

對(duì)于被評(píng)對(duì)象具有多個(gè)屬性時(shí)的選優(yōu)排序問(wèn)題，我們給出一個(gè)框架，并提出一個(gè)效用集結(jié)函數(shù)。

設(shè)X={x1，…，xs}(s≥2)是供選方案集，其中xi=(xi1，xi2，…，xin)∈Rn表示第 i組方案的 n 個(gè)屬性集，G={DM1，…，DMl}是決策群體，其中 DMr(r=1，…，l;l≥2)是第 r個(gè)決策個(gè)體。

定義 2.1［1］設(shè) ur(xij)∈［0，1］(i=1，…，s;j=1，…，n;r=1，…，l)是 DMr關(guān)于 xij的效用函數(shù)值，Ur是 DMr關(guān)于 xi的效用函數(shù)，(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))(r=1，…，l;i=1，…，s)是效用函數(shù)值斷面，記Δ是效用函數(shù)值斷面集，則有Δ={(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))|i=1，…，s;r=1，…，l}。

定義 2.2設(shè)映射F:Δ→R+

為效用集結(jié)函數(shù)(其中R+是非負(fù)實(shí)數(shù))。

下面我們給出F的一種具體表達(dá)形式，并進(jìn)行相關(guān)闡述和證明。我們?nèi)?/p>

其中當(dāng) α =1時(shí)，有 F1(ur(xi1)，ur(xi2)，…，當(dāng)α→0時(shí)，我們有下面引理:

引理1對(duì)所有的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ 和任意的 α∈(0，1)，都有

2 基本知識(shí)

公理O［14］(單調(diào)性條件)映射F滿(mǎn)足單調(diào)性公理，如果對(duì)任意的 U =(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ 和 U'= (u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ使得?j，ur(xij)≥u'r(xij)，并且?k，ur(xik)＞u'r(xik)，那么F(U)＞F(U')。

說(shuō)明:由Fα的構(gòu)造，易得其滿(mǎn)足單調(diào)性公理。

公理T［14］(傳遞性公理)映射F滿(mǎn)足傳遞性公理，如果對(duì)任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ 和U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ使得，ur(xik)=u'r(xik)?k≠i，jur(xii)≥u'r(xij)并且有u'r(ii)=ur(ii)+ε≤1和u'r(xij)=ur(xij)－ε≥0(ε ＞0)，那么F(U')＞ F(U)。

引理 2對(duì)所有的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ和任意的α∈(0，1)，都有Fα滿(mǎn)足傳遞性公理。

上述證明中之所以取“＞”是因?yàn)閡r(xii)≥u'r(xij)，ε ＞ 0，α ∈ (0，1)。

公理E［18］(公平性公理)映射F滿(mǎn)足公平性公理，如果對(duì)任意的U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈nu*，并且U≠U*，那么F(U)＞F(U')

引理3 如果映射F滿(mǎn)足傳遞性公理，那么其必滿(mǎn)足公平性公理。

證 設(shè)F是滿(mǎn)足傳遞性公理的映射，U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))和 U* =(u*，u*，…，u*)滿(mǎn)足公平性公理中的條件，即U，U* ∈Δ，U≠U*，且有

定義集合S?Δ使得

這里有 U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))，u'r(xik)=ur(xik)，?ur(xik)≠(U)，(U)，且u'r(ii)=(U)+ ε(ur(xii)=(U))，u'r(xij)=(U)－ ε(ur(xij)=(U))，由傳遞性公理，可以得到F(U)＞F(φ(U))。考慮無(wú)限序列{U1，U2，…}使得U1=U且有Ut+1=φ(Ut)?t＞1。必然存在某個(gè)使得?t≥，Ut=U*。因此 F(U1)＞F(Ut)?t＞1，從而有F(U)＞F(U*)。

引理4 任意的效用集結(jié)函數(shù)Fα，滿(mǎn)足公平性公理。

公理C［17］(一致性)映射F滿(mǎn)足一致性公理，如果對(duì)任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ，使得ur(xi1)=ur(xi2)= … =ur(xin)=u，則有F(U)=u。

公理A［17］(匿名性)映射F滿(mǎn)足匿名性公理，如果對(duì)任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ，對(duì)所有的排列變換 σ:{1，…，n}→ {1，…，n}，F(xiàn)(U)=F(ur(xiσ(1))，ur(xiσ(2))，…，ur(xiσ(n)))。

公理R(表示公理) 對(duì)于每個(gè)個(gè)體i，都存在一個(gè)函數(shù)vi:［0，1］→R+(R+表示正實(shí)數(shù))，并且對(duì)每個(gè)n∈Z+(Z+表示正整數(shù))，存在集結(jié)映射P:→R，使得對(duì)所有的效用函數(shù)值斷面 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))(ur(xij)∈ ［0，1］)，F(xiàn)(U)=P(v1(ur(xi1))，v2(ur(xi2))，…，vn(ur(xin)))和

(1)［18］對(duì)每個(gè) i，v是仿射的和減的。

(2)［17］P 滿(mǎn)足匿名性。即，對(duì)所有的 v=(v1，v2，…，vn)∈和排列 σ:{1，…，n}→ {1，…，n}，P(v1，v2，…，vn)=P(vσ(1)，vσ(2)，…，vσ(n))。

(3)［18］P 滿(mǎn)足標(biāo)量獨(dú)立性。即，由 P(v1，v2，…，vn)≥ P(v'1，v'2，…，v'n)和(b1，b2，…，bn)∈，可知 P(b1v1，b2v2，…，bnvn) ≥ P(b1v'1，b2v'2，…，bnv'n)。

3 充要條件

現(xiàn)在，給出并證明:一個(gè)效用集結(jié)函數(shù)可以用(1)式來(lái)表示的充分必要條件。

定理 映射F滿(mǎn)足公理A，C，O和R當(dāng)且僅當(dāng)F可以用(1)式表出，即對(duì)任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，有

其中 α ∈ (0，1)。

證 先證明充分性條件，由上述知識(shí)，公理A，C，O顯然成立。對(duì)于公理R，作代換，定義映射F如下:

可知(2)式滿(mǎn)足公理R。

再證明必要性條件，設(shè)映射F滿(mǎn)足公理A，C，O和R。由公理R，我們知道存在集結(jié)映射P使得，對(duì)任意的 U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，

接下來(lái)分為四步來(lái)證明。

第一步:我們首先來(lái)證明P是元素乘積的變換，即

由公理R(ii)得

由公理R(iii)得

如果，那么就有P(v)=P(t)。因此，存在函數(shù) ψ，使得

第二步:接著我們來(lái)證明P是元素乘積的負(fù)單調(diào)變換。也就是?ψ:R→［0，1］，使得x，y∈R，x ＞ y，則ψ(x)＞ ψ(y)。設(shè) U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈Δ和U'=(u'r(xi1)，u'r(xi2)，…，u'r(xin))∈Δ，并且 ur(xi1)＞ u'r(xi1)，ur(xij)=u'r(xij)，?j∈ {2，3，…，n}。由公理O，F(xiàn)(U')＞ F(U)。由公理R，對(duì)每個(gè)i，vi是減函數(shù)，我們有

再利用公理R，可得

因此F(U')＞F(U)，從而ψ是減函數(shù)。由上述兩步可知存在減函數(shù)ψ使得

第 三 步: 考 慮 U =(ur(xi*)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，由公理 A，F(xiàn)(ur(xi*)，ur(xi2)，…，ur(xin))=F(ur(xi2)，ur(xi*)，…，ur(xin))。因此由

因?yàn)棣资菧p函數(shù)，我們有

同理可得vj(ur(xij))=v1(ur(xij))vj(ur(xi*))v1(ur(xi*))，Vjj= 1，2，…，n。 因 此 ?(ur(xi1)，ur(xi2)，…，里從上可知，如果存在減函數(shù)ψ滿(mǎn)足(3)式，那么就存在減函數(shù)φ，使得 ?U=(ur(xi1)，ur(xi2)，…，ur(xin))∈ Δ，

為了簡(jiǎn)單，我們用v(ur(xij))代替v1(ur(xij))則有

第四步:由公理 C，可知?u∈［0，1］，u=φ(v(ur(xij)n))。記 x=v(ur(xij)n)，則有 φ(x)=v－1()，由公理 R(i)，記 v(u)=A －Bu，B ＞0。因此 φ

利用(4)式有

因?yàn)関(1)=A－B＞0，所以A＞B，即α＜1，又可知α＞0。綜上可知，必要性得證。

4 群體排序算法

最后，我們給出群體排序方法。

算法一:

(1)由各決策個(gè)體給出各組n個(gè)成員的效用值ur(xij);

(4)根據(jù)總體效用值U(i)的大小，對(duì)s個(gè)方案進(jìn)行排序，U(i)值越大，方案越好。

算法二:

(1)由各決策個(gè)體給出各組n個(gè)成員的效用值ur(xij);

(2)計(jì)算第r個(gè)決策者對(duì)第i組n個(gè)成員的總效用值

(4)根據(jù)總體效用值Fα(U(i))的大小，對(duì)s個(gè)方案進(jìn)行排序，F(xiàn)α(U(i))值越小，方案越好。

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