錢志祥

（肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東肇慶526100）

2n階J-自伴算子的豫解算子及其譜分析

錢志祥

（肇慶科技職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東肇慶526100）

基于具有可積復(fù)系數(shù)函數(shù)的2n階線性微分方程解的漸近式，討論了復(fù)系數(shù)2n階微分方程平方可積解的個(gè)數(shù)與其最小算子的虧指數(shù)，再利用2n階J-自伴算子的豫解算子的性質(zhì)，研究2n階J-自伴算子的譜，得出了一個(gè)與實(shí)系數(shù)情形類似的重要結(jié)論。

微分算子；J_自共軛算子；豫解算子；譜分析

引言

J-自共軛微分算子譜理論的研究，始于對(duì)耗散算子和具有復(fù)勢(shì)能薛定諤算子的研究，復(fù)勢(shì)能算子在量子力學(xué)中具有重要的應(yīng)用，因此，復(fù)系數(shù)算子的譜理論近些年來(lái)備受人們的關(guān)注。因?yàn)镴-自共軛微分算子是非自伴的，所以其譜理論的研究有一定的難度，目前，對(duì)J-自共軛算子的譜理論的研究所采用的方法也十分有限，盡管許多數(shù)學(xué)家在這方面已經(jīng)做了大量的工作，取得了豐富的成果，但是其譜理論還很不完善。本文通過(guò)討論具有可積復(fù)系數(shù)的2n階微分方程平方可積解的個(gè)數(shù)與其最小算子的虧指數(shù)，再利用2n階J-自共軛微分算子的豫解算子的性質(zhì)，研究了2n階J-自共軛算子的譜，得到了這一類算子譜的分布。

考慮階J-對(duì)稱微分表達(dá)式：

其系數(shù)滿足下列條件：是定義在（0，∞）上的復(fù)值函數(shù)，而且pk，1（x），pk，2（x）∈L2（0，∞）k=1，2，…，n。

定義1［1］定義算子TM：TMy=l（y），D（TM）=｛y∈L2（a，b），y（k）在（a，b）上絕對(duì)連續(xù)，0≤k≤n-1，l（y）∈L2（a，b）｝稱TM為由微分算式l（y）生成的最大算子。定義算子T′0：T′0y=l（y），D（T′0）=｛y∈D（TM），y在（a，b）內(nèi)具有緊支柱｝，T′0的閉包記為T0，稱算子T0為由微分算式l（y）生成的最小算子。

引理1［2］設(shè)函數(shù)在區(qū)間［0，∞）上可積，且則方程

有2n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，yk（k=1，2，3……，2n）當(dāng)x→∞時(shí)，它們的漸近性為：

yk=eμkξ［1+o（1）］k=1，2，……，2n

其中，μk為（-1）nλ的所有不同的2n次方根，其實(shí)部各不相同，而t；而且由（2）式生成的最小算子T0是J-對(duì)稱算子，其虧指數(shù)等于n。

引理2［3_5］設(shè)算子T的虧指數(shù)為d（T）=m＜∞，D（T）?D?D（JT*J），D是T的某個(gè)J自伴延拓的定義域的充要條件是：存在｛x123m使得：

（1）｛x1，x2，x3…，xm｝模D（T）線性無(wú)關(guān)；

（2）［xj，xk］=0，j，k=1，2，3，…，m；

定義2［6］用σ（T），ρ（T）分別表示算子T的譜集和正則集，則集合Cσ（T）=ρ（T），其中C表示復(fù)平面，X表示全空間。σ（T）可以分解成互不相交的集合σp（T），σc（T）和σr（T）的并集，其定義如下：

它們分別稱為算子T的點(diǎn)譜、連續(xù)譜和剩余譜。

引理3［7］若算子T是一個(gè)J-自伴微分算子，則算子T的剩余譜是空集σr（T）=φ，此時(shí)算子T的譜可分為離散譜和本質(zhì)譜σ（T）=σd（T）∪σe（T）。

1 主要結(jié)論

引理4若（1）式的系數(shù)滿足（Ⅰ）（Ⅱ），則由

在其J-自伴定義域D內(nèi)生成的算子T是一個(gè)J-自共軛算子。當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)，方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)為n-1小于其最小算子T0的虧指數(shù)n。當(dāng)λ∈C-［0，∞）時(shí)，方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)為n恰好等于其最小算子T0的虧指數(shù)n。

證明根據(jù)引理1知，由（3）式生成的最小算子T0是J-對(duì)稱算子，其虧指數(shù)等于n，且對(duì)?λ∈C，方程有2n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解yk（k=1，2，3……，2n）；當(dāng)x→∞時(shí)，它們的漸近性如下：yk=eμkξ［1+o（1）］k=1，2，……，2n其中μk為（-1）nλ的所有不同的2n次方根，其實(shí)部各不相同，而ξ=t，根據(jù)引理2知由（1）式在定義域D（T）中生成的算子是J-自共軛算子T，令則μk=，從而當(dāng)x→∞時(shí)，yk=esξωk

［1+o（1）］k=1，2，……，2n。

（1）當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)

當(dāng)Reλ＞0，而argλ=0時(shí)，μk=seiθk（k=0，…，2n，因?yàn)閍rgλ= 0，所以，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

根據(jù)這2n個(gè)角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，按μk的實(shí)部進(jìn)行排序，

設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n-1時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi= eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n≤i≤2n時(shí)，ρi=Reμi≥0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)為n-1小于算子T0的虧指數(shù)n

（2）當(dāng)λ∈C-［0，∞）時(shí)

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)這2n個(gè)角θk在平面直角坐標(biāo)系中的分布，按μk的實(shí)部進(jìn)行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……，≤Reμ2n設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n+1≤i≤2n時(shí)，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)恰好等于算子T0的虧指數(shù)n。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)

根據(jù)這2n個(gè)角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，對(duì)μk的實(shí)部進(jìn)行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n+1≤i≤2n時(shí)，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)恰好等于算子T0的虧指數(shù)n。

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n+1≤i≤2n時(shí)，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)恰好等于算子T0的虧指數(shù)n。

④當(dāng)Reλ＜0，而argλ=π時(shí)，μk=seiθk，其中θk=，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單分析知這2n個(gè)角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，對(duì)μk的實(shí)部進(jìn)行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n+1≤i≤2n時(shí)，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)恰好等于算子T0的虧指數(shù)n。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

根據(jù)這2n個(gè)角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，對(duì)μk的實(shí)部進(jìn)行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ［1+o（1）］∈L2［0，∞），當(dāng)n+1≤i≤2n時(shí)，ρi= Reμi＞0，yi=eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)恰好等于算子T0的虧指數(shù)n。

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

根據(jù)這2n個(gè)角θk（k=0，1，……，2n-1）在平面直角坐標(biāo)系中的分布，對(duì)μk的實(shí)部進(jìn)行排序，

Reμ1≤……≤Reμn＜0≤Reμn+1≤……≤Reμ2n設(shè)ρi=Reμi，當(dāng)1≤i≤n時(shí)，ρi=Reμi＜0，yi=eμiξ｝∈L2［0，∞），當(dāng)n+1≤i≤2n時(shí)，ρi=Reμi＞0，yi= eμiξ［1+o（1）］?L2［0，∞），故此情形下方程（3）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)恰好等于算子T0的虧指數(shù)n。

根據(jù)①～⑥的討論可知：當(dāng)λ∈C-［0，∞）時(shí)，方程（3）在L2［0，∞）中恰有n個(gè)線性獨(dú)立的解。

綜合（1）、（2），于是引理4得證。

引理5［S］設(shè)y1（x），y2（x），y3（x）…y2n（x）是齊次方程（l-λI）y=0的基本解系，f（x）可測(cè)且在［0，∞）上局部可積，那么非齊次方程（l-λI）y=f的通解形式為：

其中，a1，a2，a3…，a2n是任意常數(shù)，而函數(shù)

其中，W（y1，y2，…，y2n）表示函數(shù)y1（x），y2（x），y3（x），…，y2n（x）的朗基行列式。

證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)［S］中引理4。

定理1［S_9］2n階J-自伴微分算子T在一端奇異情況下的豫解算子（T-λI）-1是一個(gè)積分算子。其形式為：

其中

d為最小算子T0的虧指數(shù)。

證明過(guò)程見(jiàn)文獻(xiàn)［S］定理2。

定理2若（1）式的系數(shù)滿足（Ⅰ）（Ⅱ），定義域滿足引理2，則由

J-自共軛擴(kuò)張所生成的算子T是一個(gè)J-自共軛算子。如果對(duì)于復(fù)數(shù)λ，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)小于其最小算子T0的虧指數(shù)，則這個(gè)值λ屬于算了T0的連續(xù)譜；如果對(duì)于復(fù)數(shù)λ，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)等于算子T0的虧指數(shù)，則這個(gè)值λ屬于算了T0的離散譜。

證明由引理1和引理2知算子T是一個(gè)J-自共軛算子，且其最小算子T0虧指數(shù)為n。由定理1知（4）式的豫解算子為，其中，

n為最小算子T0的虧指數(shù)，它是以G（x，ξ，λ）為核的積分算子，對(duì)區(qū)間［0，∞）中的一切x，任意固定的ξ，當(dāng)x＞ξ時(shí)，核G（x，ξ，λ）為L(zhǎng)2［0，∞）中的y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）的線性組合，即λ）［hk（ξ）+k（ξ）］，由引理4知當(dāng)λ∈［0，∞）時(shí)，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)只為n-1，小于算子T0的虧指數(shù)n，所以y1（x），y2（x），y3（x），…，yn（x）中只有n-1個(gè)屬于L2［0，∞），有yk（x）?=∞，所以在這種情況下，其豫解算子是無(wú)界的，由定義2知這時(shí)λ的值屬于算了T0的連續(xù)譜。當(dāng)λ∈C-［0，∞）時(shí)，方程（4）在L2［0，∞）中的線性無(wú)關(guān)的解的個(gè)數(shù)為n，等于算子T0的虧指數(shù)n，這時(shí)y1（x），y2（x），…，yn（x）∈L2［0，∞），故

所以在這種情況下，其豫解算子是有界的，結(jié)合引理3這時(shí)λ的值應(yīng)屬于算了T0的離散譜。

推論1［10］若（1）式的系數(shù)是區(qū)間（a，b）上可測(cè)的實(shí)函數(shù)，且在它的每一個(gè)有限閉子區(qū)間［α，β］中可積的，對(duì)于復(fù)數(shù)λ，方程l（y）=λy在L2（a，b）中的線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)小于算子L0的虧指數(shù)，則這個(gè)值λ屬于算子L0的譜的核，因此，如果這個(gè)值λ不是算子L0的特征值，則它屬于L0的所有自共軛擴(kuò)張譜的連續(xù)部分。如果端點(diǎn)a或端點(diǎn)b中之一是正則的，那么，后者總是成立的。

［1]Glazman IM.DirectMethods of Qualitative Spectral A_ nalysis of Singular Differential operators［M].Jerusalem: Israel Program for Scientific Translations，1965.

［2]王忠，付守忠.線性算子譜理論及其應(yīng)用［M].北京:科學(xué)出版社，2013.

［3]劉景麟.關(guān)于J對(duì)稱算子的J自伴延拓［J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1992，23(3):312_316.

［4]姜鳳利，趙曉穎.J_對(duì)稱微分算子自共域的辛風(fēng)何刻畫（I）［J].遼寧石油化工大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，31(1):72_ 75.

［5]王忠，楊瑞芳.高階J-自伴微分算子的豫解算子［J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，1997，28(3):330_334.

［6]孫炯，王忠.線性算子的譜分析［M].北京:科學(xué)出版社，2005.

［7]Muller P E.Spectral theory of ordinary differential oper_ ators［M].Chichester:Ellis Hopwood Limited，1981.

［8]劉肖云，王忠.奇異2n階J_自伴向量微分算子的預(yù)解算子［J].內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2007，38(1): 7_12.

［9]劉肖云，王宜靜.有限區(qū)間上兩項(xiàng)二階向量微分算子的特征函數(shù)［J].安陽(yáng)工學(xué)院學(xué)報(bào)，2013，12(2):91_ 94.

［10]Naimark M A.線性微分算子［M].北京:科學(xué)出版社，1964.

Resolvent Operator and Spectrum Analysis of the 2n_order J_self_adjoint Operator

QIAN Zhixiang
（DePartment of Basic Education，Zhaoqing Science and Technology Polytechnic，Zhaoqing 526100，China）

Based on the asymPtotic exPression of the solution of 2n order linear differential equation who has integrable Plural coefficients functions，the number of square integrable solutions and the deficiency index of theminimum oPerator of2n order differential equation with comPlex coefficients are discussed.Then，the ProPerties of the resolvent oPerators are used to study the sPectrum of the 2n_order J-self_adjoint differential oPerator.An imPortant conclusion that the ProPerty is similar to that of the real coefficients J-symmetric differential oPerator is obtained.

differential oPerator；J-self_adjoint differential oPerator；resolvent oPerator；sPectrum analysis

O175.3

A

1673_1549(2014)02_0091_05

10.11863/j.suse.2014.02.20

2013_11_29

廣東省高層次人才培養(yǎng)項(xiàng)目（9251064101000015）

錢志祥（1974_），男，安徽巢湖人，講師，碩士，主要從事沒(méi)微分算子理論方面的研究，（E_mail）qzx20062006@126.com