孫夢(mèng)剛

（河北承德體校，河北 承德067000）

通常解一般二元二次方程組要用到多項(xiàng)式的理論［1］，通過(guò)行列式來(lái)求多項(xiàng)式的結(jié)式，運(yùn)算量較大。本文介紹一種不應(yīng)用多項(xiàng)式理論來(lái)解一般二元二次方程組的方法。

先給出一個(gè)定理：2個(gè)一元二次方程：x2＋p1x＋q1＝0，x2＋p2x＋q2＝0有公根的充要條件是：（q2－q1）2－（p2－p1）（p1q2－q1p2）＝0。限于篇幅略證如下：設(shè)α1、β1、α2、β2 分別是有公共根的2個(gè)一元二次方程的根，那么有：

由上面證明的可逆性可知定理成立。

下面給出一般二元二次方程組

的一種解法。為方便設(shè)C1＝C2＝1，則一般二元二次方程組可變形為

設(shè)P1（x）＝B1x＋E1，P2（x）＝B2x＋E2，Q1（x）＝A1x2＋D1x＋F1，Q2（x）＝A2x2＋D2x＋F2則方程組（1）可以表示為

把（2）式看作是由兩個(gè)關(guān)于y 的一元二次方程組成的方程組，根據(jù)本文給出的定理，這2個(gè)一元二次方程有公根的條件可得：

一般地 （3）式整理后可得一個(gè)關(guān)于x 四次方程，只要求出這個(gè)方程中x 的根，再分別代入 （1）式求得公根，就可以求出二元二次方程組的解，我們稱(chēng)這種方法為 “變形消元法”。

有關(guān)一元四次方程的解法，見(jiàn)諸于報(bào)道的有很多。根據(jù)方程不同的特征有公式法［2］、分解因式法［3］、矩陣法［4］及待定系數(shù)法［5］等。

解：把方程組變形為

將方程組看作是由兩個(gè)關(guān)于y 的一元二次方程組成的方程組，由（3）式不難得到

解這個(gè)方程，得x1＝0，x2＝1，x3＝2，x4＝－2，把x1、x2、x3、x4分別代入方程組（2）可得：y1＝－1，y2＝2，y3＝3，y4＝1，由此得原方程組的解是：

把方程組看作是由兩個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程組成的方程組，根據(jù)（3）式，得：5y4＋13y2－18＝0。

由上述2例可見(jiàn)，用”變形消元法”解一般二元二次方程組，可以比較巧妙地避開(kāi)求多項(xiàng)式結(jié)式等較復(fù)雜的運(yùn)算。

［1］北大數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京：北京高等教育出版社，2003：1－35.

［2］葉立軍.初等數(shù)學(xué)研究［A］.上海：華東師大出版社，2008：20－79.

［3］權(quán)小剛.利用分解因式法解一元四次方程［J］.考試周刊，2012，（20）：65－66.

［4］盛興平.實(shí)系數(shù)一元四次方程的矩陣解法［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2002，（12）：37.

［5］樊正恩.一元四次方程的一種新解法［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2009，（04）：97－98.