陳俊碩， 劉景林， 張 穎

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，陜西 西安 710072)

現(xiàn)代交流伺服系統(tǒng)中，永磁同步電機(jī)(PMSM)由于具有體積小、重量輕、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、維護(hù)方便、運(yùn)行可靠且具備高效率、高功率密度等優(yōu)點(diǎn)[1-2]，在航空航天領(lǐng)域以及工業(yè)自動(dòng)化、機(jī)器人等場(chǎng)所得到了廣泛應(yīng)用．常規(guī)的基于比例積分控制(PI)的矢量控制方案依然能滿足一定范圍內(nèi)的控制要求，但其依賴于系統(tǒng)的準(zhǔn)確模型，極易受到外來(lái)的擾動(dòng)以及電機(jī)內(nèi)部參數(shù)變化的影響，系統(tǒng)的魯棒性不夠理想[3-4]．

近年來(lái)預(yù)測(cè)控制理論中一些新型的模型預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control，MPC)方法被相繼提出，該模型可以有效地解決類(lèi)似永磁同步電機(jī)這樣多變量、強(qiáng)耦合、非線性、變參數(shù)的復(fù)雜系統(tǒng)控制難題，如H∞魯棒模型預(yù)測(cè)控制、約束線性模型預(yù)測(cè)控制及非線性模型預(yù)測(cè)控制(Nonlinear Model Predictive Control， NMPC)等[5-7]．美國(guó)NASA Glenn研究中心從控制角度討論了智能發(fā)動(dòng)機(jī)的發(fā)展，介紹了有關(guān)非線性模型預(yù)測(cè)控制的應(yīng)用．該方法通過(guò)預(yù)測(cè)優(yōu)化手段準(zhǔn)確控制目標(biāo)，在有擾動(dòng)或模型失配的情況下具有良好的魯棒性．但是，非線性模型預(yù)測(cè)控制基本都以單步長(zhǎng)泰勒級(jí)數(shù)法為基礎(chǔ)，求解泰勒級(jí)數(shù)也就是求解多次微積分過(guò)程，計(jì)算非常復(fù)雜．因此，現(xiàn)有的非線性模型預(yù)測(cè)控制大部分只能用于較慢的過(guò)程控制．隨著計(jì)算方法和電力電子技術(shù)的快速發(fā)展，近些年非線性模型預(yù)測(cè)控制也被嘗試應(yīng)用于各類(lèi)快動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中．

由于在實(shí)際利用非線性最小二乘法實(shí)時(shí)求解預(yù)測(cè)控制的應(yīng)用中，計(jì)算效率對(duì)于控制方案可行性至關(guān)重要，為此，筆者提出了基于預(yù)測(cè)控制的新型矢量控制方案，針對(duì)非線性模型預(yù)測(cè)控制求解泰勒級(jí)數(shù)復(fù)雜問(wèn)題，引入簡(jiǎn)單有效的計(jì)算泰勒級(jí)數(shù)的自動(dòng)微分方法[8]，提高了預(yù)測(cè)控制算法的效率，降低了對(duì)模型的依賴性，并設(shè)計(jì)了一個(gè)永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)新型矢量控制器．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該控制方案滿足了動(dòng)態(tài)較快的電動(dòng)機(jī)實(shí)時(shí)性要求，具有一定的抗干擾能力．

1 基于自動(dòng)微分的非線性模型預(yù)測(cè)控制基本原理

首先以常見(jiàn)的一階非線性系統(tǒng)為例，對(duì)基于自動(dòng)微分的非線性模型預(yù)測(cè)控制基本原理進(jìn)行說(shuō)明，即

(1)

其中，u(t)∈R，是控制輸入；y(t) ∈Rm，是系統(tǒng)輸出；h為步長(zhǎng)．若令z=f(x)，則其為一個(gè)連續(xù)微分方程，f:Rn→Rm．假設(shè)輸入u(υ)=u[0]+u[1]υ+ …+u[r]υr，r≤d(d為泰勒展開(kāi)次數(shù))，其中所有的輸入系數(shù)u[k]，k=1，2，…，r為已知，令矢量v= [u[0]T，u[1]T， …，u[r]T]T， 利用自動(dòng)微分方法，x(υ)和y(υ)的泰勒級(jí)數(shù)可以由x[0]和v通過(guò)鏈?zhǔn)椒▌t得到[8]，其結(jié)果如下:

(2)

其中，z[k]為z對(duì)時(shí)間t的d次泰勒展開(kāi)系數(shù)被系數(shù)向量x[k]惟一確定．

用自動(dòng)微分法對(duì)z[k]求偏微分，定義如下:

(3)

其中，A[k]∈Rn×n，k=0，1，…，d， 為泰勒級(jí)數(shù)的雅克比路徑，其定義為

(4)

由式(4)可得，f′(x(t))可以表示為

f′(x(t))=A[0]+A[1]t+…+A[d]td+ξ(td+1) ．

(5)

對(duì)于類(lèi)似式(1)中的微分方程x=f(x(t))，由于展開(kāi)系數(shù)x[k+1]=z[k]/(k+1)，令x[0]=x(0)，則在t時(shí)刻的任意階泰勒級(jí)數(shù)都可遞推獲得．從式(4)可得，x[k]對(duì)于x[0]和v的靈敏度為

(6)

其中，矩陣B[0]=[I|0]．

針對(duì)在非線性模型預(yù)測(cè)控制中求解泰勒級(jí)數(shù)的不便，引入自動(dòng)微分方法使泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算變?yōu)楹?jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算．把求解雅克比矩陣轉(zhuǎn)化為求解泰勒極數(shù)的靈敏度，得出其對(duì)于初始量x[0]的靈敏度矩陣，進(jìn)一步簡(jiǎn)化了非線性模型預(yù)測(cè)控制中的計(jì)算量，使其能滿足動(dòng)態(tài)較快的永磁同步電機(jī)矢量控制要求．

2 永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型

2.1 永磁同步電機(jī)基本矢量控制數(shù)學(xué)模型

基于表面式永磁同步電機(jī)，假設(shè)磁路不飽和，在空間磁場(chǎng)呈正弦分布，不計(jì)磁滯和渦流損耗影響的條件下，采用id=0 的永磁同步電機(jī)矢量控制[9]，轉(zhuǎn)矩大小只與定子電流的幅值成正比，實(shí)現(xiàn)了永磁同步電機(jī)解耦控制．此時(shí)，永磁同步電機(jī)的d-q軸數(shù)學(xué)模型為

(7)

其中，ud和uq分別為d和q軸的電壓；id和iq分別為d和q軸的電流；Ld和Lq分別為d軸和q軸的電感；R為定子電阻；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；Te為電磁轉(zhuǎn)矩；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；np為極對(duì)數(shù)；ω為轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度；B為粘滯摩擦系數(shù)；φ為永磁體與定子交鏈的磁鏈．

2.2 永磁同步電機(jī)新型矢量控制數(shù)學(xué)模型

對(duì)永磁同步電機(jī)基本模型進(jìn)行基于自動(dòng)微分的泰勒展開(kāi)[10]，對(duì)式(7)中的id、iq和ω在t時(shí)刻針對(duì)于t0時(shí)刻d次泰勒展開(kāi)，其中展開(kāi)系數(shù)id[0]、iq[0]和ω[0]由t0時(shí)刻初始值確定，即

(8)

假設(shè)控制量、負(fù)載轉(zhuǎn)矩在t0到t時(shí)刻不變，當(dāng)展開(kāi)次數(shù)k=1時(shí)，泰勒系數(shù)id[1]、iq[1]和ω[1]可由式(7)得到，即

(9)

當(dāng)展開(kāi)次數(shù)k>1時(shí)，由式(7)得

(10)

由鏈?zhǔn)椒▌t及自動(dòng)微分算法進(jìn)行迭代，可以得到階數(shù)k>1時(shí)的泰勒系數(shù)，即

(11)

式(8)、(9)和(11)構(gòu)成了一個(gè)完整的永磁同步電機(jī)的泰勒系數(shù)計(jì)算方案．令tf=tn+1和ti+1=ti+h，i=0，1，…，n，在初始值id[0]、iq[0]和ω[0]已知時(shí)，在ti時(shí)刻永磁同步電機(jī)的id、iq和ω的數(shù)值大小可用它們?cè)趖時(shí)刻針對(duì)于t0時(shí)刻d次泰勒展開(kāi)式遞推獲得，最后得到在tf時(shí)刻的計(jì)數(shù)值．

3 靈敏度計(jì)算

在實(shí)際利用非線性最小二次方實(shí)時(shí)求解預(yù)測(cè)控制的應(yīng)用中，計(jì)算效率是控制方案能否可行的重要條件．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在非線性控制中，超過(guò)90%的計(jì)算量都消耗在微分計(jì)算中[11]．因此，為了加快永磁同步電機(jī)新型矢量控制的計(jì)算速度，根據(jù)式(7)推導(dǎo)出了一個(gè)適合永磁同步電機(jī)的基于自動(dòng)微分的泰勒級(jí)數(shù)靈敏度的計(jì)算方法．

根據(jù)永磁同步電機(jī)新型矢量控制的數(shù)學(xué)模型，由式(2)中的x和v可定義永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)的狀態(tài)向量s= [id，iq，ω]，控制量u= [ud，uq]．可定義式(7)的靈敏度矩陣為

(12)

由上述靈敏度矩陣，通過(guò)式(6)的靈敏度推導(dǎo)，定義永磁同步電機(jī)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式t+h時(shí)刻對(duì)t時(shí)刻的靈敏度，即

(13)

對(duì)于文中的控制器，滾動(dòng)優(yōu)化模塊是為了在電流、轉(zhuǎn)速等限制約束范圍內(nèi)，最優(yōu)地實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速恒定．該問(wèn)題可表示為

(14)

(15)

上述目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為求控制量u對(duì)E的雅克比矩陣J，使得V為最小．根據(jù)求解非線性方程組的全局收斂的Levenberg-Marquardt算法，結(jié)合雅克比矩陣J和性能矢量E，在輸入約束的條件下，得到優(yōu)化控制序列U= [uT(t0)，uT(t1)，…，uT(tn)]T，可通過(guò)下式遞推更新:

Uk+1=Uk-(JTJ+λI)-1JTE,

(16)

其中，λ是性能控制參數(shù)，使得性能指標(biāo)每一步都收斂．計(jì)算得到的控制量U*中只有第1個(gè)控制量uT(t0)應(yīng)用到下一個(gè)采樣周期中，完成當(dāng)前控制；重復(fù)上述步驟，進(jìn)行下一步的控制．

圖1 永磁同步電機(jī)系統(tǒng)非線性模型預(yù)測(cè)控制框圖

4 新型矢量控制

結(jié)合文中所提的控制方法，新型矢量控制系統(tǒng)框圖如圖1所示．

ω*(t+1)=αωr(t)+(1-α)ω0，α=exp(-T/τ) ,

(17)

其中，ω*(t+1)為t+1時(shí)刻轉(zhuǎn)速期望輸出，ωr為t時(shí)刻的系統(tǒng)實(shí)際輸出，ω0為期望系統(tǒng)穩(wěn)定輸出，τ為參考軌跡的時(shí)間常數(shù)．

圖2 dSPACE實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)的硬件框圖

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

基于上述設(shè)計(jì) ， 在德斯拜思(dSPACE)實(shí)時(shí)仿真系統(tǒng)中進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證．設(shè)定系統(tǒng)仿真算法為固定步長(zhǎng)Fixed-step，Euler算法，基本步長(zhǎng)為 0.000 1．永磁同步電機(jī)的dSPACE半實(shí)物仿真系統(tǒng)如圖2所示．為了保護(hù)dSPACE系統(tǒng)的接口安全，由DS1005板卡各模塊發(fā)出的信號(hào)經(jīng)過(guò)隔離電路后最終加到驅(qū)動(dòng)功率主電路上．系統(tǒng)控制需要的電流、電壓、轉(zhuǎn)速等物理信號(hào)都需要通過(guò)隔離電路傳回dSPACE的各組件模塊中，完成系統(tǒng)的閉環(huán)回路．實(shí)驗(yàn)所用永磁同步電機(jī)參數(shù)為：極對(duì)數(shù)np=4，交直軸電感Lq=Ld= 0.009 2 H，定子電阻R=3.3 Ω，轉(zhuǎn)子永磁體磁鏈φ=0.18 Wb，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.005 kg·m2．

系統(tǒng)采樣時(shí)間為0.1 ms，參考軌跡中τ=13，狀態(tài)增益矩陣Q= [1/Ld，1/Lq，1/J]，控制增益矩陣R= [1，0.1]，兼顧系統(tǒng)允許誤差為10-9，選用相對(duì)較小又能快速穩(wěn)定的泰勒展開(kāi)次數(shù)d=3．系統(tǒng)初始速度為0，在 2 s 時(shí)加入 600 r/m 的期望轉(zhuǎn)速，同時(shí)加入 12 N·m 的負(fù)載轉(zhuǎn)矩．圖3為采集的電機(jī)轉(zhuǎn)速?gòu)?到 600 r/m 的啟動(dòng)過(guò)程中參考轉(zhuǎn)速n*、轉(zhuǎn)速n和相電流I的波形．由于實(shí)驗(yàn)中電源電壓不能加的太快，實(shí)際轉(zhuǎn)速比參考轉(zhuǎn)速上升的稍慢，但從中可以看到，在新型矢量控制下電機(jī)啟動(dòng)轉(zhuǎn)速波動(dòng)小，穩(wěn)態(tài)性能好．

圖3 啟動(dòng)過(guò)程轉(zhuǎn)速和相電流的波形

圖4是在10 s時(shí)，增加2 N·m負(fù)載轉(zhuǎn)矩，新型矢量控制系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速和相電流的波形．可以看出，基于新型矢量控制系統(tǒng)對(duì)于轉(zhuǎn)矩的突變有更強(qiáng)的適應(yīng)性，轉(zhuǎn)速基本不發(fā)生變化；從相電流波形可以看到，在突變過(guò)程新型矢量控制系統(tǒng)中電流較傳統(tǒng)矢量控制變化較小．由于在反饋校正環(huán)節(jié)中加入轉(zhuǎn)速偏差可以有效地消除靜差，保證系統(tǒng)具有較好的抗干擾效果．

圖4 負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí)轉(zhuǎn)速和相電流的波形(新型矢量控制)

圖5為采用傳統(tǒng)矢量控制，當(dāng)轉(zhuǎn)矩發(fā)生同樣的變化時(shí)，卻導(dǎo)致轉(zhuǎn)速有10%的下降，經(jīng)過(guò) 10 s 才能恢復(fù)到 600 r/m．同時(shí)從相電流波形可以看到，在突變過(guò)程中傳統(tǒng)矢量控制系統(tǒng)中相電流明顯增大．

圖5 負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化時(shí)轉(zhuǎn)速和相電流的波形(傳統(tǒng)矢量控制)

6 結(jié) 束 語(yǔ)

設(shè)計(jì)了永磁同步電機(jī)基于預(yù)測(cè)控制的新型矢量控制器，針對(duì)在預(yù)測(cè)控制中求解泰勒級(jí)數(shù)的不便，引入自動(dòng)微分方法使泰勒級(jí)數(shù)計(jì)算變成簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算．實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，文中設(shè)計(jì)的新型矢量控制器應(yīng)用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中是有效可行的；與常規(guī)矢量控制相比，不僅能夠較好地保證調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可以有效地改善系統(tǒng)的魯棒性，使系統(tǒng)具有更好的抗干擾能力．

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