朱國輝， 馮大政， 周 延

(西安電子科技大學 雷達信號處理國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

無源定位技術在雷達[1]、聲納[2]、導航[3]、無線通信和傳感器網(wǎng)絡[4]等領域有著廣泛的應用，是信號處理的一個重要研究方向．常用的無源定位技術包括基于到達時間差、基于到達時間和基于到達角的定位算法[5-8]．其中，多站情況下的基于時差的定位技術對接收系統(tǒng)的要求較低，具有定位成本低、精度較高等優(yōu)點，因而受到越來越多的關注．

圖1 基于多參考接收站的時差定位示意圖

目前常見的基于時差的多站無源定位算法有泰勒級數(shù)法[9]、牛頓法[10]、SI算法[11]、Chan算法[12]等．泰勒級數(shù)法和牛頓法是一類需要初始估計位置的遞歸算法，當用一組較為接近真實值的初始值進行迭代時，能快速收斂，定位精度高;但是在初始值選擇不好的情況下，容易落入到局部極小點，而且收斂性難以保證．SI算法將時差定位問題轉(zhuǎn)化為二次多項式求解問題，根的選取對定位結(jié)果影響很大[13]；Chan算法利用兩步加權最小二乘估計對輻射源位置進行定位解算；它們都是基于單參考接收站的無源定位方法．GS算法[13]是一種基于多參考接收站的時差定位算法，該算法利用基于多參考接收站的時差測量值對Chan算法中的偽線性方程組做了擴展，并進行了一步最小二乘估計，但是它沒有考慮偽線性方程組中各方程對應的權重，也沒有考慮最小二乘解中各分量之間的相關性．為此，筆者提出了一種新的基于多參考接收站的時差定位算法，該算法運用加權最小二乘估計對偽線性定位方程組進行初始求解，并利用初始解中各分量之間的相關性得到多組輻射源位置的估計，然后取這些估計的平均值得到最終定位結(jié)果．計算機仿真結(jié)果證實了該算法的有效性．

1 基于多參考接收站的時差定位模型

圖1為三維空間中基于多參考接收站的時差定位示意圖．假定任意分布的N個接收站， 第i個接收站的坐標si= [xi，yi，zi]T，輻射源位置坐標u= [x，y，z]T．

輻射源u到接收站si的距離為

ri=((u-si)T(u-si))1/2，i=1，…，N．

(1)

不妨選取s1，…，sM作為參考接收站，不考慮非視距傳播的影響，根據(jù)時差定位原理，可得

(2)

用c同時乘以方程(2)兩端，可將時間差方程轉(zhuǎn)化為相應的距離差方程:

(3)

其中，ni，j=cΔti，j，表示相應的距離差測量誤差．基于多參考接收站的時差定位問題即為根據(jù)非線性方程組(3)盡可能準確地估計輻射源位置坐標u．

2 基于多參考接收站的時差定位新算法

由式(1)可知，式(3)是關于輻射源u的高度非線性方程，為此采用兩級加權最小二乘估計求解基于多參考接收站的時差定位問題．

2.1 第1級加權最小二乘估計

將式(3)右端第2項rj移至左端，兩邊同時平方，得

(4)

(5)

(6)

其中，ηj可以近似表示為ηj≈Bjnj，Bj=diag{rM+1，…，rN}，nj=[nM+1，j，…，nN，j]T．

(7)

對近似方程G1u1≈h1，進行加權最小二乘估計求解，可得

(8)

2.2 第2級加權最小二乘估計

(11)

(12)

根據(jù)式(11)、(12)可得方程

(13)

其中，ej表示第j個元素為1，其余元素為零的M維列向量．

對近似方程G2u2j≈h2j進行加權最小二乘估計求解，可得

(17)

(18)

P-P子網(wǎng)絡的構(gòu)成要素為協(xié)同成員以及協(xié)同成員之間的關聯(lián)關系，其中，協(xié)同成員為P-P子網(wǎng)絡的節(jié)點，協(xié)同成員間的關聯(lián)關系為網(wǎng)絡的邊。由此，定義P={pi|i=1,2,,n}為協(xié)同成員集合，pi表示P-P子網(wǎng)絡中的第i個協(xié)同成員，n為網(wǎng)絡中協(xié)同成員的數(shù)量。EP-P={(pi,pj)|θ(pi,pj)=1;pi,pj∈P}為P-P子網(wǎng)絡中邊的集合，布爾變量θ(pi,pj)表示協(xié)同成員pi與pj間是否存在關聯(lián)關系。若θ(pi,pj)=1，則表示協(xié)同成員pi與pj存在關聯(lián)關系；反之，則有θ(pi,pj)=0。綜上，P-P子網(wǎng)絡GP-P可以表示為

(19)

2.3 基于多參考接收站的克拉美羅界

克拉美羅界是所有無偏估計所能達到的下界，它等于Fisher信息矩陣的逆[12]．令fi，j=ri-rj，將式(3)寫成矢量形式為

(20)

其中，f(u)=[fM+1，1，…，fN，1，…，fM+1，M，…，fN，M]T．根據(jù)式(20)可得似然函數(shù)

(21)

其中，K為常數(shù)，F(xiàn)isher信息矩陣定義為

(22)

其中，?f(u)/?uT的第(N-M)×(j-1)+1行至第(N-M)×(j-1)+N-M行組成的塊矩陣為

3 仿真與性能分析

為了檢驗文中算法對輻射源位置估計的性能，進行了下述的仿真實驗，并將該算法與SI、Chan、GS算法及克拉美羅界的仿真結(jié)果進行比較．

(25)

圖2 各算法在M=2時對近場和遠場輻射源的定位性能比較

圖3 各算法在M=3時對近場和遠場輻射源的定位性能比較

文中算法定位精度較高的原因在于其結(jié)合了Chan和GS算法的優(yōu)點．與基于單參考接收站的Chan算法相比，文中算法也利用了兩級加權最小二乘估計，不同之處在于其利用了更多的時差信息，對Chan算法中的偽線性方程組做了擴展，并且在第2級加權最小二乘估計中得到多個改進的位置估計．與基于多參考接收站的GS算法相比，文中算法考慮了方程所對應的權重，以及初始解中各分量之間的相關性，運算量因此會增加，但從圖2和圖3中可以看出定位精度有較大幅度提高．而SI算法將定位問題轉(zhuǎn)化為二次多項式求解問題，當兩根均為正數(shù)或出現(xiàn)復數(shù)解時，根的選取對定位結(jié)果影響很大．仿真試驗中筆者選取了較好的根，但定位精度不夠理想，即使測量誤差較小時也可能出現(xiàn)很大的均方根誤差．

4 結(jié) 束 語

筆者提出了一種基于多參考接收站的時差定位算法，并給出了克拉美羅界的推導過程．該方法采用基于多參考接收站的時差定位模型，運用兩級加權最小二乘估計對輻射源位置進行定位解算，并充分利用了初始解中各分量之間的關系．該算法具有解析解，相對于傳統(tǒng)的進行迭代求解的算法具有實時計算的優(yōu)點．實驗結(jié)果表明該算法對近場和遠場輻射源均具有較好的定位精度．

[1] Jiang Min, Niu Ruixin, Blum R S. Bayesian Target Location and Velocity Estimation for Multiple-input Multiple-output Radar [J]. IET Radar, Sonar and Navigation, 2011, 5(6): 666-670.

[2] Flückiger M, Neild A, Nelson B J. Optimization of Receiver Arrangements for Passive Emitter Localization Methods [J]. Ultrasonics, 2012, 52(3): 447-455.

[3] Win M Z, Conti A, Mazuelas S, et al. Network Localization and Navigation Via Cooperation [J]. IEEE Communications Magazine, 2011, 49(5): 56-62.

[4] Gholami M, Cai Ningxu, Brennan R W. Evaluating Alternative Approaches to Mobile Object Localization in Wireless Sensor Networks with Passive Architecture [J]. Computers in Industry, 2012, 63(9): 941-947.

[5] 牛新亮, 趙國慶, 劉原華, 等. 低空目標高精度無源時差定位方法 [J]. 西安電子科技大學學報, 2009, 36(5): 862-866.

Niu Xinliang, Zhao Guoqing, Liu Yuanhua, et al. High Precision Passive TDOA Location Method for Low-altitude Targets [J]. Journal of Xidian University, 2009, 36(5): 862-866.

[6] Annibale P, Filos J, Nyalor P, et al. TDOA Based Speed of Sound Estimation for Air Temperature and Room Geometry Inference [J]. IEEE Transactions on Audio, Speech, Language and Signal Processing, 2013, 21(2): 234-246.

[7] Cheung K W, So H C. A Multidimensional Scaling Framework for Mobile Location Using Time-of-arrival Measurements [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53(2): 460-470.

[8] 同非, 王俊, 李紅偉. Memetic優(yōu)化的外輻射源雷達方位-多普勒定位方法 [J]. 西安電子科技大學學報, 2012, 39(4): 46-51.

Tong Fei, Wang Jun, Li Hongwei. Novel Passive Radar Location Algorithm Based on Memetic Optimization by Using the Bearing-and-Doppler Frequency [J]. Journal of Xidian University, 2012, 39(4): 46-51.

[9] Foy W H. Position-location Solution by Taylor-series Estimation [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 1976, 12(2): 187-194.

[10] Liu Ying, Zhang Xu, Liu Dan, et al. Study of Location Algorithm for Wireless Sensor Networks Based on Newton Iteration [J]. Advanced Materials Research, 2013, 645: 285-289.

[11] Smith J O, Abel J S. Closed-form Least-squares Source Location Estimation from Range-difference Measurements [J]. IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing, 1987, 35(12): 1661-1669.

[12] Chan Y T, Ho K C. A Simple And Efficient Estimator for Hyperbolic Location [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(8): 1905-1915.

[13] Gillette M, Silverman H. A Linear Closed-form Algorithm for Source Localization from Time-difference of Arrival [J]. IEEE Signal Processing Letters, 2008, 15: 1-4.