阮懷林,王平

(電子工程學(xué)院,安徽 合肥 230037)

0 引言

在壓縮感知[1](compressive sensing, CS)中，接收信號(hào)經(jīng)過稀疏表示后，測(cè)量矩陣將信號(hào)從高維空間投影到低維空間，希望以較少的投影值實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)出信道沖激響應(yīng)。CS中測(cè)量矩陣不依賴于信號(hào)的結(jié)構(gòu)將信號(hào)在高維空間的采樣降到低維空間的采樣。硬件容易實(shí)現(xiàn)的測(cè)量矩陣是CS理論的關(guān)鍵，關(guān)系到CS理論能否實(shí)現(xiàn)。目前測(cè)量矩陣主要分為2類：隨機(jī)測(cè)量矩陣和確定性測(cè)量矩陣。

目前隨機(jī)測(cè)量矩陣主要有高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣[2]、非常稀疏投影矩陣[3]等?；陔S機(jī)測(cè)量矩陣的隨機(jī)濾波器[4]需要有很高的階數(shù)，重構(gòu)信號(hào)時(shí)需要傳輸大量的濾波器系數(shù)數(shù)據(jù)導(dǎo)致存儲(chǔ)量大、計(jì)算速度慢。因而隨機(jī)測(cè)量矩陣在實(shí)際應(yīng)用中硬件很難實(shí)現(xiàn)。如何構(gòu)造一種更適合的測(cè)量矩陣具有重要實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。而確定性測(cè)量矩陣的研究是現(xiàn)階段測(cè)量矩陣的一個(gè)熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[5]提出Toeplitz結(jié)構(gòu)的隨機(jī)測(cè)量矩陣克服了高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣中自由元素太多的缺點(diǎn)，從而使得測(cè)量矩陣的物理實(shí)現(xiàn)難度降低且計(jì)算速度加快。

為了驗(yàn)證了本文方法的有效性，以LFM雷達(dá)回波信號(hào)處理為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。本文構(gòu)造服從高斯分布的Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣，并通過稀疏化處理，提出了基于稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)的測(cè)量矩陣的構(gòu)造方法，分析了該測(cè)量矩陣的RIP特性；最后進(jìn)行了仿真分析，并對(duì)本文進(jìn)行了總結(jié)。

1 基于壓縮感知的LFM信號(hào)重構(gòu)

1.1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論指出當(dāng)信號(hào)滿足稀疏或可壓縮性時(shí)，可以采集少量觀測(cè)信號(hào)，然后通過求解一個(gè)優(yōu)化問題準(zhǔn)確重建原始信號(hào)，即對(duì)于稀疏度為K的稀疏信號(hào)x∈RN降維觀測(cè)得到觀測(cè)矢量y∈RM，即

y=Φ(Ψα+v)=Θα+n，

(1)

式中：Φ為測(cè)量矩陣；Ψ為稀疏字典；α為稀疏系數(shù)；n為M×1維噪聲矢量；Θ=ΦS為感知矩陣。定義壓縮比α=M/N，其中，M為壓縮觀測(cè)數(shù)目，N為信號(hào)r的長度。若Φ滿足限制等距性[6](restricted isometry property, RIP)，則式(1)可通過求解約束最優(yōu)化問題[7]，即

(2)

式中：ε為與噪聲有關(guān)的常量。

有關(guān)CS理論的研究主要集中稀疏表示、壓縮測(cè)量和重構(gòu)信號(hào)3個(gè)方面，圖1所示為壓縮感知理論的框架。

1.2 基于CS的LFM信號(hào)回波模型

CS理論用于雷達(dá)信號(hào)處理中時(shí)，首先應(yīng)該對(duì)信號(hào)稀疏表示，然后進(jìn)行壓縮測(cè)量，最后通過重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)。那么，LFM雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的表達(dá)式為

s(t)=Aexpj2πfct+εt2/2,t∈[-T/2,T/2]，

(3)

式中：A為信號(hào)幅度；fc為載波頻率；ε=B/T為調(diào)頻斜率；T為發(fā)射信號(hào)脈沖寬度。

將雷達(dá)天線和目標(biāo)看作一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，即得雷達(dá)的回波信號(hào)r(t)：

(4)

式中：K為目標(biāo)的個(gè)數(shù)；σi為目標(biāo)散射特性(RCS)；τi為光速在雷達(dá)與目標(biāo)之間往返一次的時(shí)間，τi=2Ri/c，Ri∈[R0,R0+ΔR]為第i個(gè)目標(biāo)與雷達(dá)的相對(duì)距離，R0為測(cè)量最近距離；n(t)為噪聲。

稀疏字典設(shè)計(jì)的基本思想就是首先要充分考慮信號(hào)的特征參數(shù)，然后根據(jù)這些特征參數(shù)來構(gòu)造合適字典的原子。在不考慮諸如多普勒頻移等其他干涉的情況下，那么根據(jù)回波信號(hào)當(dāng)中延遲特征參數(shù)τi，采用發(fā)射信號(hào)延遲來構(gòu)造字典中的原子[8]：

Ψn=Aexpj2π[fc(t-nτ)-ε(t-nτ)2/2],

n=1,2,…,

(5)

式中：τ為字典中原子距離分辨率，字典的原子距離分辨率決定了字典中原子的數(shù)目。這個(gè)字典相對(duì)于回波信號(hào)來說是完備的，相對(duì)于發(fā)射信號(hào)而言，原子是發(fā)射信號(hào)不同延時(shí)。

圖1 壓縮感知理論的框架Fig.1 Graph theoretic framework of compressed sensing

1.3 測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)條件

選擇合適測(cè)量矩陣關(guān)系到信號(hào)重建所需測(cè)量次數(shù)以及能否實(shí)際應(yīng)用。由于測(cè)量矩陣的測(cè)量數(shù)M與信號(hào)長度N、稀疏度K有著密切的聯(lián)系，那么設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣Φ就應(yīng)兼顧考慮到稀疏字典Ψ的稀疏表示能力和二者的相干性，即滿足條件的測(cè)量數(shù)盡可能少同時(shí)保證信號(hào)的重建精度。目前，測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則主要包括RIP準(zhǔn)則和非相干性準(zhǔn)則。

當(dāng)信號(hào)本身稀疏時(shí)，測(cè)量矩陣Φ∈RM×N需滿足RIP特性，RIP特性可定義為：

定義1 限制等距性：如果對(duì)于所有的含有不超過K個(gè)非零元素的x∈RN，都有

(6)

成立，就稱測(cè)量矩陣Φ以限制等距常數(shù)(restricted isometry constant, RIC)δK(Φ)∈(0,1)滿足K階限制等距性，即Φ滿足RIP(K,δK(Φ))。

應(yīng)當(dāng)指出RIP特性是充分非必要條件，RIC常數(shù)計(jì)算困難，該條件在指導(dǎo)設(shè)計(jì)測(cè)量矩陣時(shí)很難。那么就希望盡可能利用Φ的特性來判定，達(dá)到容易計(jì)算以提供更具體的恢復(fù)保證，于是相干性理論被提出[9]。其與RIP性質(zhì)等價(jià)為測(cè)量矩陣Φ與稀疏字典Ψ不相干，所以實(shí)際中常采用非相干性理論衡量測(cè)量矩陣Φ處理稀疏信號(hào)的能力。

定義2 相干性：測(cè)量矩陣Φ與稀疏字典Ψ二者的相干性μ(Φ,Ψ)定義為

(7)

為了描述測(cè)量矩陣各列局部的相關(guān)特性，于是累積相干[10]的概念被提出。累積相干參數(shù)定義為一個(gè)固定的列與其他的k個(gè)列間絕對(duì)內(nèi)積的最大值。

定義3 累積相干：測(cè)量矩陣Φ的累積相干參數(shù)定義為

(8)

其中：Λ為由k個(gè)列向量的序號(hào)所組成的集合。累積相干μ(k,Φ)反映了測(cè)量矩陣k個(gè)列向量子矩陣與其他向量間的相關(guān)特性。累積相干參數(shù)μ(k,Θ)很好地反映了Θ列之間的相關(guān)特性。在累積相干參數(shù)μ(k,Θ)的基礎(chǔ)上，定義互累積相干參數(shù)[11]μ(k,Θ,D)，即

定義4 互累積相干參數(shù)：

(9)

互累積相干參數(shù)μ(k,Θ,D)越小，優(yōu)化信息算子D重建稀疏信號(hào)的性能越好?；谙喔尚耘袆e理論可以理解為使互累積相干參數(shù)μ(k,Θ,D)盡量小。

2 基于稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣

2.1 測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)

Bajwa對(duì)Toeplitz矩陣應(yīng)用到壓縮感知測(cè)量矩陣的可行性進(jìn)行了研究。那么，我們便可以構(gòu)造一個(gè)元素服從高斯分布的Toeplitz測(cè)量矩陣Φ∈RM×N，即

(10)

可以看出ΦGau-Ts只需N+M-1個(gè)獨(dú)立元素，其他元素通過循環(huán)移位來實(shí)現(xiàn)，而循環(huán)移位易于硬件來實(shí)現(xiàn)。此外Toeplitz矩陣獨(dú)有循環(huán)環(huán)結(jié)構(gòu)使它具有卷積特性，所以在線性系統(tǒng)中得到大量運(yùn)用。

矩陣ΦGau-Ts中所有獨(dú)立元素構(gòu)成向量P=(p1,p2,…,pN,pN+1,…,pN+M-1)，從向量P中以間距μ隨機(jī)選取[(N+M-1)-((N+M-1)/μ)]個(gè)元素賦值為0，向量P中其他元素pi的值依然服從高斯分布。為了與式(10)區(qū)別表述，稀疏化后的向量記為Q=(q1,q2,…,qN,qN+1,…,qN+M-1)，那么根據(jù)向量Q構(gòu)造稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)矩陣為

(11)

由以上構(gòu)造的測(cè)量矩陣可知，高斯隨機(jī)測(cè)量矩陣需MN個(gè)獨(dú)立元，式(10)構(gòu)造的測(cè)量矩陣ΦGau-Ts需N+M-1個(gè)獨(dú)立元。對(duì)ΦGau-Ts矩陣進(jìn)行稀疏化后，構(gòu)造的測(cè)量矩陣僅需(N+M-1)/μ個(gè)獨(dú)立元，μ為稀疏間距，其余元素為0。

2.2 限制等距性分析

實(shí)際上測(cè)量矩陣是否滿足RIP條件的驗(yàn)證比較難，J-L定理與CS在理論上有一定的區(qū)別但是也有一定的相似性，Baraniuk等人[12]利用CS理論和J-L理論的相似性給出了簡單的驗(yàn)證RIP的方法。J-L定理指出服從一定分布的隨機(jī)降維投影可將N維歐式空間中任意包含K個(gè)點(diǎn)的集合映射到M維的歐式空間上，并且能以很高的概率確保原歐式空間中任何兩點(diǎn)的距離變化任意小。文獻(xiàn)[11]論證了高斯分布的測(cè)量矩陣滿足RIP特性。

(12)

滿足RIP特性。

式中：任意向量x∈RK，常數(shù)c(δK(Φ))取決RIC常數(shù)δK(Φ)。

(13)

成立。

那么由以上分析可知，Toeplitz測(cè)量矩陣ΦGau-Ts、稀疏Toeplitz測(cè)量矩陣ΦGau-Sparse-Ts分別都可以高概率1-exp(-cM)滿足RIP特性，也即可以高概率精確重構(gòu)信號(hào)。

3 仿真分析

為了研究測(cè)量矩陣性能，分析高斯(Gau)測(cè)量矩陣、高斯Toeplitz(Gau-Ts)測(cè)量矩陣、稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)(Gau-sparse-Ts)測(cè)量矩陣進(jìn)行分析比較。仿真實(shí)驗(yàn)從重構(gòu)效果、相干性、噪聲對(duì)觀測(cè)結(jié)果的影響3個(gè)方面對(duì)本文提出的測(cè)量矩陣進(jìn)行性能分析。

首先給出雷達(dá)發(fā)射信號(hào)參數(shù)：頻帶寬度為B=30 MHz，脈沖寬度為T=10 μs，中心頻率為1 GHz，采樣頻率為fs=150 MHz，噪聲為高斯白噪聲。參數(shù)化冗余字典的距離分辨率是100 m。假設(shè)雷達(dá)感興趣區(qū)域內(nèi)存在3個(gè)目標(biāo)，目標(biāo)與雷達(dá)距離為(1 100，2 100，2 300)m，目標(biāo)反射系數(shù)σ為(0.5，1，0.5)，距離門為1 000～2 500 m。定義壓縮比為α=M/N其中，M是壓縮觀測(cè)數(shù)目，N是信號(hào)的長度。稀疏Toeplitz矩陣稀疏間距μ=8。為了著重研究測(cè)量矩陣，仿真中重構(gòu)算法采用貝葉斯重構(gòu)算法[13]。

3.1 重構(gòu)效果

圖2為基于稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣的脈沖壓縮處理重構(gòu)前后的LFM雷達(dá)信號(hào)圖，其中壓縮比α=0.3，SNR=0 dB?？梢钥闯觯∈鑄oeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣對(duì)經(jīng)稀疏表示的信號(hào)進(jìn)行壓縮測(cè)量后，基本可以精確重構(gòu)實(shí)際信道位置與幅度。

圖2 實(shí)際效果圖Fig.2 Actual effect chart

3.2 相干性分析

為了研究由不同測(cè)量矩陣構(gòu)成感知矩陣Θ=ΦΨ∈RM×N對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響，計(jì)算各感知矩陣Θ互累計(jì)相干參數(shù)。圖3中曲線分別上述3種測(cè)量矩陣構(gòu)成感知矩陣的互累積相干參數(shù)μall(Φ,Ψ)隨稀疏度K變化曲線。從圖中明顯可知，隨著稀疏度的增大，3種方法的互累計(jì)相干參數(shù)μall(Φ,Ψ)逐漸增大，稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣明顯較其他2種測(cè)量矩陣互累積相干參數(shù)μall(Φ,Ψ)小。說明相比較而言，稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣具有更低的相干性。

圖3 互累積相干參數(shù)與稀疏度關(guān)系Fig.3 Relations between cumulative coherence and spa rsity

3.3 噪聲對(duì)重構(gòu)結(jié)果的影響

噪聲存在時(shí)，不同測(cè)量矩陣得到重構(gòu)結(jié)果的相對(duì)估計(jì)誤差定義為

(14)

圖4所示為3種測(cè)量矩陣經(jīng)過Num=200次蒙特卡羅仿真后相對(duì)估計(jì)誤差隨信噪比SNR變化曲線圖。從圖中總體來看，同一信噪比時(shí)， 稀疏Toeplitz結(jié)構(gòu)測(cè)量矩陣的誤差較其他2種方法都小，說明其具有更好的抗噪性。同時(shí)，隨著SNR增大，各測(cè)量矩陣相對(duì)誤差逐漸減小并趨于穩(wěn)定。在SNR≥0 dB時(shí)，圖中相對(duì)估計(jì)誤差曲線更加平穩(wěn)。另外隨著SNR的降低，噪聲成為影響重構(gòu)誤差的主要因素，這也驗(yàn)證了文獻(xiàn)[3]的結(jié)論，即當(dāng)目標(biāo)向量K稀疏且測(cè)量矩陣滿足RIP特性時(shí)，誤差將主要由測(cè)量噪聲水平?jīng)Q定。

圖4 相對(duì)估計(jì)誤差與SNR曲線Fig.4 Relative estimation error and SNR curve

4 結(jié)束語

測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)是壓縮感知中的一個(gè)關(guān)鍵問題。本文通過仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了提出方法的可行性。在LFM雷達(dá)回波信號(hào)稀疏表示的基礎(chǔ)上，通過稀疏化Toeplitz結(jié)構(gòu)，使得可以克服隨機(jī)測(cè)量矩陣的不確定性，存儲(chǔ)空間與重構(gòu)時(shí)間得到有效降低，更易于通過硬件實(shí)現(xiàn)。

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