韓 軍 武偉靜 桂雪晴

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)商學(xué)院 安徽蚌埠 233030)

車道被占用是指因交通事故、路邊停車、占道施工等因素，導(dǎo)致車道或道路橫斷面通行能力在單位時(shí)間內(nèi)降低的現(xiàn)象。由于城市道路具有交通流密度大、連續(xù)性強(qiáng)等特點(diǎn)，一條車道被占用，也可能降低路段所有車道的通行能力，即使時(shí)間短，也可能出現(xiàn)交通阻塞。如處理不當(dāng)，甚至出現(xiàn)區(qū)域性擁堵。研究車道被占用對(duì)城市道路通行能力的影響及車輛排隊(duì)問題是一個(gè)很有價(jià)值的課題。本文基于2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題［1］。所給數(shù)據(jù)和相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)車道被占用時(shí)道路橫斷面實(shí)際通行能力的變化，排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面道路的實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間和路段上游車流量之間的關(guān)系等問題進(jìn)行研究

1 研究道路實(shí)際通行能力的變化過程

1.1 數(shù)據(jù)處理

根據(jù)視頻中的數(shù)據(jù)首先截取事故發(fā)生以前事故發(fā)生時(shí)以及事故發(fā)生以后按照時(shí)間序列中計(jì)算每一分鐘出車流量數(shù)目，然后在根據(jù)視頻中提供的120m的橫斷面長(zhǎng)度標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)量車車頭通過橫斷面的起點(diǎn)到車頭到達(dá)橫斷面終點(diǎn)從而計(jì)算出車輛的速度。又因?yàn)楫?dāng)上游路口綠燈亮?xí)r，最前面的車輛車速相對(duì)后面比較快，因此筆者把一段車流可分為前、中、后求出他們各自的速度再把他們平均化求出每輛車的平均速度，進(jìn)而計(jì)算橫斷面的實(shí)際通行能力。車輛換算表 (車輛折算標(biāo)準(zhǔn)來自《公路工程技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)［2］(JTG B01—2003)》)，詳見表1。

表1 交通量調(diào)查車型劃分及車輛折算系數(shù)

1.2 模型的建立與求解

1.2.1 模型Ⅰ:交通流模型 流量、速度、密度之間的關(guān)系式叫做交通流模型［3］。根據(jù)調(diào)查觀測(cè)得到的交通資料假設(shè)車流均勻、車種單一時(shí)，得到車流速度、密度、流量之間的理論關(guān)系式，這就是交通流基本模型，可用下式表示:Q=VsK式中:K為交通密度(輛 /km);Q是交通量(輛 /小時(shí));VS是空間平均車速(km/小時(shí))。20世紀(jì)30年代初，格林希爾茲(Greenshield)在研究美國(guó)公路車流中，提出了速度與密度的線形關(guān)系，這一模型簡(jiǎn)單直觀，研究表明，這一模型與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合良好?？捎霉奖硎?V=aK+b。式中a，b是待定系數(shù)，當(dāng)密度趨于零時(shí)，空間平均車速接近于自由行駛車速，即K=0時(shí)，Vs=Vf(為自由行駛車速)。將此關(guān)系代入式中得b=Vf。當(dāng)密度很大，車輛無法行駛時(shí)，這時(shí)的密度稱為阻塞密度，以Kj表示，即K=Kj，Vs=0，代入式中得a= － Vf/Kj。將a、b系數(shù)代入式得速度—密度關(guān)系式:

流量與密度的關(guān)系:將速度—密度關(guān)系式代入速度、密度、流量的理論關(guān)系式，得到流量—密度關(guān)系式:

流量與密度是兩次拋物線的關(guān)系，如將流量q對(duì)密度K微分，并令其等于零，即可得到流量Q極大值及對(duì)應(yīng)的密度，此時(shí)的密度為最佳密度，以Km表示，即可得:

將代入，得到流量與速度關(guān)系式:

當(dāng)交通密度很大時(shí)，可以采用格林柏(Grenberg)提出的對(duì)數(shù)模型:

式中:V表示最佳速度。

利用流量與密度、流量與速度的關(guān)系，計(jì)算事故發(fā)生前后車輛通行能力，結(jié)果如表2所示。

表2 事故發(fā)生前后統(tǒng)計(jì)交通流量變化

可知在事故發(fā)生之前橫斷面實(shí)際通行能力為29～37pcu/min，事故在二、三車道發(fā)生以后二、三車道被迫停止通行，增大車輛前行阻力。此時(shí)橫斷面實(shí)際通行能力為14～17pcu/min．。圖1中事故發(fā)生以前每輛車通過路口的速度大約是35.6～40km/h事故發(fā)生以后車輛所處橫截面密度不斷減小上游路口車輛不斷往下游路口行駛導(dǎo)致車輛速度下降為19.5～24.4km/h。

2 同一橫斷面交通事故所占車道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異

2.1 建模思路

首先根據(jù)同樣方法做出與問題一的數(shù)據(jù)處理，假設(shè)交通事發(fā)生時(shí)不同車道能力是相同的，然后根據(jù)秩和檢驗(yàn)法。從而確定同一橫斷面交通事故所占車道不同對(duì)橫斷面實(shí)際通行能力影響的差異。

2.2 模型I——非參數(shù)秩和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

不同占道事故對(duì)道路實(shí)際通行能力影響的差異分析，筆者對(duì)兩種事故的流量、密度以及車速均采用非參數(shù)秩和檢驗(yàn)［4］，檢驗(yàn)結(jié)果如表3。

圖1 視頻一各車道事故發(fā)生前后橫斷面車輛數(shù)目與車流量對(duì)比圖

表3 秩和檢驗(yàn)結(jié)果

由于視頻一和視頻二中的流量，密度，車速兩組數(shù)據(jù)之間的MATLAB檢驗(yàn)概率分別為5.6177e－014，5.7954e－014，5.7732e－014;所以橫斷面交通事故所占車道不同對(duì)該橫斷面實(shí)際通行能力的影響存在高度顯著差異。

表4 視頻一二橫斷面通行能力

圖2 視頻一與視頻二橫斷面密度對(duì)比

圖3 視頻二事故發(fā)生前后車速與車量對(duì)比

上圖2、圖3、視頻一與視頻二與道路實(shí)際通行流量和二者橫斷面密度對(duì)比可知，視頻一中事故所處的橫截面車輛滯留數(shù)目低于視頻二中車輛滯留數(shù)目，并且通過統(tǒng)計(jì)視頻一中車輛通過下游路口數(shù)目與視頻二中車輛通過下游路口通行流量數(shù)目可知視頻二中車輛較多。

2.3 模型Ⅱ——綜合評(píng)價(jià)模型

2.3.1 建立理想方案

其中:

因?yàn)閮烧咭曨l同一方向車速大致相等，因此計(jì)算出視頻一和視頻二均一化的密度、車速和車流量之間數(shù)值如表4所示。

由于第一項(xiàng)指標(biāo)為成本型，后兩項(xiàng)指標(biāo)為效益型型，故理想方案為:

2.3.2 建立相對(duì)偏差模糊矩陣 根據(jù)公式

得到相對(duì)偏差成本型矩陣:

建立綜合評(píng)價(jià)模型［5］。

2.3.3 變異系數(shù)法建立權(quán)向量

(1)計(jì)算各指標(biāo)的變異系數(shù):

得到:v=(0.0760，0.0109，0.0104)(2)對(duì)vi進(jìn)行歸一化求各指標(biāo)的權(quán)數(shù)

即得權(quán)向量:w=(0.7814，0.1118，0.1068)。

2.3.4 建立加權(quán)平均綜合評(píng)價(jià)模型:

判別準(zhǔn)則如下:且若Ft＜Fs，則第t個(gè)方案排在第s個(gè)方案前。計(jì)算得到:F=0.2186，F(xiàn)2=0.7814由此可知:F2＞F1，即第一個(gè)方案最優(yōu)。所以同一橫截面的交通事故所占車道實(shí)際通行能力車道一車道二對(duì)實(shí)際交通影響更大。

3 交通事故所影響的路段車輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間的關(guān)系

3.1 建模準(zhǔn)備

交通事故的發(fā)生使得實(shí)際通行能力出現(xiàn)了變化，當(dāng)事故路段的車流量大于道路通行量時(shí)，造成車輛排隊(duì)。為了分析事故路段的車輛排隊(duì)長(zhǎng)度與事故橫斷面實(shí)際通行能力、事故持續(xù)時(shí)間、路段上游車流量間的關(guān)系，根據(jù)車輛阻塞—消散過程波形時(shí)距圖和交通波的軌跡方程［5］，進(jìn)一步推導(dǎo)出事故路段排隊(duì)長(zhǎng)度方程，建立路段排隊(duì)長(zhǎng)度微分方程模型，分析排隊(duì)長(zhǎng)度與各變量指標(biāo)之間的關(guān)系。

3.2 模型的建立與求解

3.2.1 模型 I—— 車輛排隊(duì)長(zhǎng)度微分方程模型［5］在交通事故發(fā)生后，本車道上游的流量為q1，對(duì)應(yīng)的密度為k1，事故段的通行能力下降為s1，車流密度相應(yīng)地上升為kx1。事故排除后，排隊(duì)車輛以飽和流率駛出，密度為k2。t=0為事故發(fā)生時(shí)間，y=0表示事故發(fā)生點(diǎn)，車流阻塞—消散過程產(chǎn)生的交通波包括線段AB和曲線段BCD，如圖4所示。ta是事故排除時(shí)間，ta==0.32h。

圖4 車流阻塞—消散過程波形時(shí)距圖

OB為事故發(fā)生后，交通波的軌跡，波速為:

進(jìn)一步確定為流量密度的關(guān)系模型，規(guī)定上游車流量q1屬于高速低密的暢流態(tài)，而s1屬于低速高密的擁擠態(tài)，kj表示阻塞時(shí)的車速，稱阻塞密度，取kj=10pcu/km.。vf是密度為零時(shí)的車速，即理論上的最高車速，稱暢行車速(自由流)，取 vf=120km/h。則有WOB=vf(1－kx1+k1)/kj解三角形可得出:

設(shè)kR表示曲線段BCD上任意一點(diǎn)的交通流密度，則考慮該點(diǎn)的波速為:

令T=t－tA則方程可化為齊次微分方程h(k1))設(shè)y=wT，解微分方程得到該方程的特解，即為曲線段BCD上任意一點(diǎn)的排隊(duì)長(zhǎng)度方程:

3.2.2 模型Ⅱ——路段上游車流量微分方程模型

對(duì)于交通事故所處橫斷面距離上游路口變?yōu)?40m，路段上游車流量為1500pcu/h，事故發(fā)生點(diǎn)車輛初始排隊(duì)長(zhǎng)度為零，路段下游方向需求不變，且事故持續(xù)不撤離。

求解無理方程得到t=0.32h和t=0.94h?？紤]到實(shí)際情況，上游車流量源源不斷向事故路段行駛，由于橫斷面距離上游路口為140米，故舍棄t=0.94h。則最終結(jié)果為:t=0.32h，即t=19min

4 結(jié)語

基于城市車道被占用對(duì)通行能力的影響所使用的交通流模型同時(shí)也可以推廣到其他方面。例如地震，山體滑坡發(fā)生以后根據(jù)微分方程模型及時(shí)通知過往司機(jī)如何最快的安全撤離繞道或給其提供指導(dǎo)性意見以減緩道路擁擠程度，保證城市交通暢通。除此之外，文章中使用的微分方程模型還可以推廣到求解溶液濃度的變化規(guī)律、人口預(yù)測(cè)以及傳染病這類問題當(dāng)中。

［1］2013年高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽A題 ［EB/OL］．http://www.mcm.edu.cn/．

［2］中華人民共和國(guó)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)JTG B01 2003公路工程技術(shù)標(biāo)準(zhǔn) ［S］．2004．

［3］姜啟源，謝金星．?dāng)?shù)學(xué)模型 (第4版)［M］．北京:高等教育出版社，2011．38．

［4］李柏年．經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)處理與優(yōu)化模型實(shí)驗(yàn)教程 ［M］．天津:天津大學(xué)出版社，2009．143．

［5］臧華，彭國(guó)雄．城市快速道路異常事件下路段行程時(shí)間的研究交通運(yùn)輸 ［J］．系統(tǒng)工程與信息，2003，3(2):57．

［6］李柏年，吳禮斌．MATLAB數(shù)據(jù)分析方法 ［M］．北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2012．49．

［7］楊桂元，黃己立．?dāng)?shù)學(xué)建模 ［M］．合肥:中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009．156．

［8］陳仲生，基于Matlab7.0的統(tǒng)計(jì)信息處理 ［M］．長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2005．141．