王志非， 吳繼華

(同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092)

0引言

復(fù)合材料中的負(fù)剛度夾雜可以提高復(fù)合材料的剛度，熱膨脹，阻尼特性．很多學(xué)者研究含有負(fù)剛度夾雜的復(fù)合材料的穩(wěn)定性．Lakes和Drugan［1］指出，在受到足夠強(qiáng)的約束時(shí)，含有負(fù)剛度夾雜的復(fù)合材料是可以穩(wěn)定的．為了研究含有負(fù)剛度夾雜復(fù)合材料的穩(wěn)定性，Wang和 Lakes［2］引入了兩種方法，分別是能量法和 Lyapunov間接方法(Lyapunov’s indirect method)．其中，Lyapunov間接方法可以用來(lái)判斷動(dòng)力作用下的穩(wěn)定性．文獻(xiàn)［3］介紹了低頻率情況下含有負(fù)剛度夾雜粘彈性復(fù)合材料穩(wěn)定性的判斷準(zhǔn)則并用FEM時(shí)程分析驗(yàn)證了該準(zhǔn)則．文獻(xiàn)［4］指出，在含有負(fù)剛度夾雜時(shí)候，常見(jiàn)的時(shí)程分析方法都不能無(wú)條件地保證數(shù)值穩(wěn)定性．為此，本文采用Lyapunov間接方法考察含負(fù)有剛度夾雜復(fù)合材料的穩(wěn)定性．

1 Lyapunov間接方法

假設(shè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)由微分方程控制

其中(1)的Jacobian矩陣J=?X/?x有互不相同的特征根u1，u2，…，un，那么有以下結(jié)論:如果Reu1，Reu2，…，Reun都是負(fù)的，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定;如果Reu1，Reu2，…，Reun有一個(gè)是正的，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;如果Reu1，Reu2，…，Reun中有至少一個(gè)是零，其余的都是負(fù)的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的．

圖1為一個(gè)含圓形夾雜的復(fù)合材料，中間加黑部分表示夾雜．夾雜的剛度可以為負(fù)．夾雜所占體積比由比值a/b決定．這里只考慮a/b=1/12的情況(體積比為0．545%)．根據(jù)對(duì)稱性，取四分之一結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖2所示．對(duì)圖2進(jìn)行離散，按圖3所示四種不同密度的網(wǎng)格進(jìn)行分析．

圖1 含圓形夾雜的復(fù)合材料

圖2 四分之一結(jié)構(gòu)

用M表示質(zhì)量矩陣，C表示阻尼矩陣，K表示剛度矩陣，u表示節(jié)點(diǎn)位移向量，f表示節(jié)點(diǎn)荷載向量，可以寫出結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程

圖3 四種不同密度的網(wǎng)格

令v=u'，將改寫為

及其分塊形式

令

代入(4)有X'=A－1(F－BX)，此時(shí)，Jacobian矩陣如下

由特征方程(7)的根，可以判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

注意到(7)等價(jià)于

并且λ=0不是(8)的解，所以λI可逆，進(jìn)而有(8)等價(jià)于

令 μ=λi，則有

于是，Lyapunov間接方法可如此表述:

a．若方程(10)的所有根的虛部都是負(fù)的，則復(fù)合材料是漸近穩(wěn)定的;

b．若存在某個(gè)根的虛部是正的，則復(fù)合材料是不穩(wěn)定的;

c．若存在某個(gè)根的虛部是零，但是所有根的虛部都不是正的，則復(fù)合材料是穩(wěn)定的．

若忽略阻尼C，方程(10)是實(shí)系數(shù)方程，情況a不可能存在．該復(fù)合材料只能是穩(wěn)定的或不穩(wěn)定的．令ω=μ2，則方程(10)可化為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的相對(duì)特征值方程

當(dāng)(11)的所有根都是正實(shí)數(shù)的時(shí)候，復(fù)合材料是穩(wěn)定的;只要(11)有一個(gè)負(fù)根，復(fù)合材料是不穩(wěn)定的．

當(dāng)阻尼C存在時(shí)，情況a可能存在，復(fù)合材料可能是漸近穩(wěn)定的．

2 數(shù)值算例

考慮圖1所示含有圓形剛度夾雜的正方形板，其中基體和夾雜的材料參數(shù)見(jiàn)表1，表中α表示夾雜的體積模量占基體體積模量之比，如α=－0．5表示夾雜的體積模量K夾雜=－0．5×130=－65GPa．

表1 材料常數(shù)

圖4和圖5是該復(fù)合材料在不同的α與不同的網(wǎng)格密度下，方程(11)的根，其中負(fù)的根用圓圈突出．圖4中可以看出，α=－0．6時(shí)，含有ωn中有負(fù)值，復(fù)合材料是不穩(wěn)定的．圖4也說(shuō)明了加密網(wǎng)格不一定會(huì)導(dǎo)致負(fù)的ωn增多;但是一般來(lái)說(shuō)，負(fù)的ωn會(huì)隨著網(wǎng)格的加密而增多，進(jìn)而更好的反映出復(fù)合材料的穩(wěn)定性．

圖5給出了 α=－0．5130和α=－0．5134時(shí)的ωn．可以發(fā)現(xiàn)α=－0．5134時(shí)，復(fù)合材料是不穩(wěn)定的;α=－0．5130時(shí)，復(fù)合材料是穩(wěn)定的．

在α=－0．5130和 α=－0．5134之間有一個(gè)臨界的αb:當(dāng)α＞αb時(shí)，復(fù)合材料是穩(wěn)定的;當(dāng)α＜αb時(shí)，復(fù)合材料是不穩(wěn)定的．

圖4 α=－0．6時(shí)不同網(wǎng)格密度下的ωn

圖5 α = －0．5130和 α =－0．5134

3 結(jié) 論

本文從動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)用以判斷含有負(fù)剛度夾雜復(fù)合材料穩(wěn)定性的Lyapunov間接方法判據(jù)．在不考慮阻尼的情況下，該判據(jù)可簡(jiǎn)化為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣相對(duì)特征值的符號(hào)．

文獻(xiàn)[3]認(rèn)為α=－0．514時(shí)，復(fù)合材料是不穩(wěn)定的．本文結(jié)果與之相符，但是αb的絕對(duì)值比α=－0．514略小．這可能是因?yàn)楸疚牟豢紤]阻尼作用，得到的是穩(wěn)定與不穩(wěn)定的界限，而文獻(xiàn)[3]考慮阻尼作用，得到的是漸近穩(wěn)定與不穩(wěn)定的界限．

[1] Lakes R．S．，Drugan W．J．．Dramatically Stiffer Elastic Composite Materials Due to a Negative Stiffness Phase[J]．Journal of the Mechanics and Physics of Solids，2002，50:979 －1009．

[2] Wang Y．C．，Lakes R．S．．Stable Extremely－High －Damping Discrete Viscoelastic Systems Due to Negative Stiffness Elements[J]．Appl．Phys．Lett．，2004，84:4451 －4453．

[3] Y．C．Wang，C．C．Ko．Stability of Viscoelastic Continuum with Negative－Stiffness Inclusions in the Low－Frequency Range[J]．Phys．Status Solidi B，2013，250(10):2070 －2079．

[4] 苗啟松，袁駟，陳肇元．負(fù)剛度條件下結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的數(shù)值穩(wěn)定性及一種計(jì)算方法[A]．巖土力學(xué)數(shù)值方法的工程應(yīng)用——第二屆全國(guó)巖石力學(xué)數(shù)值計(jì)算與模型實(shí)驗(yàn)學(xué)術(shù)研討會(huì)論文集[C]．1990．