俞博文

摘要：一次解題中，我無意犯了一個(gè)三角形算法的“天大錯(cuò)誤”，卻讓我發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形面積關(guān)系計(jì)算的“規(guī)律”。

關(guān)鍵詞： 三角形；幾何；俞氏定律

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1002-7661（2014）10-385-02

一次解題中，我無意犯了一個(gè)三角形算法的“天大錯(cuò)誤”，卻讓我發(fā)現(xiàn)一個(gè)三角形面積關(guān)系計(jì)算的“規(guī)律”。

問題如下圖所示：小三角形面積占四邊形面積幾分之幾？

我不假思索的拿起筆就列出了算式：分子（前項(xiàng)）3×2÷2，分母（后項(xiàng)）﹙3＋4﹚×﹙2＋6﹚÷2－3×2÷2，計(jì)算整理得3／﹙7×8÷2－3﹚＝3／﹙28－3﹚＝3／25 。再 回頭仔細(xì)一看，頓時(shí)發(fā)現(xiàn)天大謬誤——我竟然“前無古人后無來者”地用三角形一個(gè)角的兩條鄰邊相乘再除以2計(jì)算三角形的面積。我連忙把“錯(cuò)誤算式”擦掉，思考了一會(huì)，終于找到“正確”解題路徑。

首先，在原圖中添加一條輔助線，如圖（1）。

那么三角形ABE如圖（2）

三角形BDE面積與三角形ADE面積的比則為1∶3（高相等，面積之比等于底之比）。

同理，圖（3）中左右兩個(gè)三角形ABE與AED的面積比為3∶4。由此，圖（2）（1＋3）份面積等于圖（3）面積中的3份，根據(jù)（2）、（3）兩圖面積的兩個(gè)比例關(guān)系，可以得到小三角形與四邊形的面積比為：1∶﹙4／3×4＋3﹚＝1÷﹙16／3＋3﹚＝1÷25／3＝3／25。

在得出正確答案的一剎那，我忽然有一種“似曾相識(shí)”的感覺。正確答案和我之前“沖動(dòng)”思索得出的答案一模一樣!“難道兩種算法有什么關(guān)聯(lián)嗎？或許之前的算法也是正確的？”我既疑惑又興奮。

為了解開自己的困惑、驗(yàn)證我的猜想，我自己編制一道類似的數(shù)學(xué)問題，例如，圖（4）所示：

問：三角形BDE面積占三角形ABC面積的幾分之幾？我先用“猜想的方法”列式計(jì)算：（除以2是公有常數(shù)，可以全部消除）5×6／﹙2＋5﹚×﹙6＋3﹚＝30÷63＝10／21。隨后，我再用“有依據(jù)思路”驗(yàn)算一遍（過程參照前題），最后結(jié)果是5／10.5，值也是10／21。結(jié)論再次得以驗(yàn)證。

接著我又編了幾道類似的問題予以驗(yàn)證，通過驗(yàn)算對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩種方法的計(jì)算結(jié)果都一致。由此，我推論，只要有一個(gè)角相等兩個(gè)三角形面積大小的關(guān)系比較都適用于這種方法。

那么，如果是已知兩個(gè)三角形相應(yīng)一個(gè)角的一個(gè)鄰邊和對(duì)邊，是否也可以用“對(duì)邊和鄰邊的乘積之比”推論面積之比呢？如圖（5）所示：我經(jīng)對(duì)比過驗(yàn)算，得出兩個(gè)不同的答案，類似幾題也是如此。咦！怎么回事？我一下子陷入了沉思......仔細(xì)琢磨，我覺得其中或許隱含以下原理。

如圖（6）所示：

當(dāng)圖形中D、E兩點(diǎn)的位置發(fā)生變化時(shí)，也就是兩個(gè)鄰邊的長度變化，直接確定了DE的長度和DE上的高的大小變化。因?yàn)槿切稳我庖唤M底和高的乘積都確定這個(gè)三角形的面積大小。而且，一個(gè)角的對(duì)邊及高的大小變化，必須由這個(gè)角的兩條鄰邊AD和AE的大小“共同”確定。所以，才會(huì)存在我“發(fā)現(xiàn)”的事實(shí)。