郭海萍

現(xiàn)行的高中數(shù)學教材把培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識貫穿在教材編寫的始末，在教材設計方面做了深層次的考慮，編入了很多聯(lián)系實際的數(shù)學問題.本文就人教A版普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》的必修1至必修5中所涉及的數(shù)學應用問題展開思考.

1.應用問題的分布概況

（1）在引言、例習題中的分布情況

教材中每一章的序言及每一節(jié)的開始，都編排了一些實際問題引出該章節(jié)的知識內容，突出了數(shù)學知識的實際背景.在例題、習題中編入了許多貼近學生生活實際或與其他學科相關的應用問題.

（2）安排了21個“閱讀與思考”和6次“探究與發(fā)現(xiàn)”活動

①有關歷史故事方面.如必修1《集合和函數(shù)概念》中的“函數(shù)概念的發(fā)展歷程”，《基本初等函數(shù)》中的“對數(shù)的發(fā)明”，《函數(shù)的應用》中的“中外歷史上的方程求解”；必修3《概率》中的“天氣變化的認識過程”、“概率與密碼”；必修5《解三角形》中的“海倫和秦九韶”等都涉及數(shù)學概念的實際背景.

②有關數(shù)學應用方面.如必修2《空間幾何體》中的“畫法幾何與蒙日”，《直線與方程》中的“魔術師的地毯”；必修3《算法初步》中“割圓術”，《統(tǒng)計》中的“廣告中數(shù)據(jù)的可靠性”、“如何得到敏感性問題的誠實反應”、“生產過程中的質量控制圖”；必修5《數(shù)列》中“購房中的數(shù)學”等都體現(xiàn)了數(shù)學的重要應用.

③擴充知識方面.如必修2《空間幾何體》中的“祖暅原理與幾何體的體積”；必修5《解三角形》中的“解三角形的進一步討論”，《數(shù)列》中的“斐波那契數(shù)列”、“九連環(huán)”等拓寬了學生的知識面.

（3）安排了5次實習作業(yè)

《集合和函數(shù)概念》中有關“函數(shù)概念發(fā)展的歷史”的實習作業(yè)，讓學生了解函數(shù)形成和發(fā)展的歷史；《函數(shù)的應用》中“牛頓冷卻模型”的實習作業(yè)，讓學生體會函數(shù)模型的應用價值；通過完成《統(tǒng)計》中的抽樣調查、收集數(shù)據(jù)并整理分析的相關作業(yè)，使學生體會運用數(shù)學知識和方法發(fā)現(xiàn)身邊事物發(fā)展的一些規(guī)律；《解三角形》中要求做一個有關測量的實習作業(yè)，讓學生真正把握測量物體高度和長度的方法，體會數(shù)學在生活中的應用.

由此可見，人教A版教材的必修系列較好地體現(xiàn)了數(shù)學應用的理念，通過一些歷史材料和現(xiàn)實背景闡述了數(shù)學的實際應用，形式多樣，背景充實，把數(shù)學編得有血有肉，有助于提高學生學習數(shù)學的興趣.

2.存在的問題

通過教學實踐及對教材的再認識，發(fā)現(xiàn)教材中的應用問題存在如下不足：

（1）有些應用問題不夠貼近“實際”

例如必修2《直線與圓的位置關系》的導入問題：“一艘輪船在沿直線返港的途中，接到臺風預報：臺風中心位于輪船正西70km處，影響的范圍是半徑為30km長的圓形區(qū)域，港口位于臺風中心正北40km處，若這艘輪船不改變航線繼續(xù)行駛，那么它是否會受到臺風的影響？”教材視臺風中心固定不動，顯然，這與實際不符，會讓學生產生誤會和疑惑.

（2）有些背景材料應用意義不大

例如在必修3《概率》中雖然編入了許多現(xiàn)實社會中常見的中獎概率、密碼設置等問題，但大多數(shù)是摸球、排數(shù)字、抽取產品等問題，這些材料的應用意義不大，很難讓學生感受到概率對于生活的用處之大，有可能挫傷學生的學習情感，影響學生學習能動性的發(fā)揮.我們應該多關注一些貼近生活的例子，使學生對數(shù)學產生親和力，例如運用頻率和地理知識了解“降水量幾年一遇”問題，運用概率和生物知識分析“子女是哪一種血型”問題，等等.

（3）真正體現(xiàn)建模過程的應用題偏少

雖然《函數(shù)模型的應用實例》和《三角函數(shù)模型的簡單應用》中的一些例題有體現(xiàn)建立函數(shù)模型解決實際問題的基本過程，也展現(xiàn)信息技術的應用過程，但教材中真正體現(xiàn)建模過程的應用題還是偏少。許多應用題的條件不多不少，沒有多余的干擾信息，目標指向明確，最后的答案也是唯一的，沒有真正體現(xiàn)從實際問題抽象到數(shù)學問題的數(shù)學化過程，這就剝奪了學生發(fā)現(xiàn)問題、創(chuàng)造性地解決問題的機會.教師在教學過程中必須開發(fā)“好”的應用問題，作為應用教學的素材.

此外，由于很多教師認為高中數(shù)學課時緊張，因此把為數(shù)不多的實習作業(yè)和研究性學習“壓縮”了，甚至“砍掉”了，更不用說要開展“數(shù)學建模”活動了.

3.構建恰當?shù)臄?shù)學應用教學素材

實施數(shù)學應用教學要以應用問題為載體，那么什么樣的問題才是適合中學生的“好”問題呢？筆者認為應具備以下特點：①適合中學生的數(shù)學知識水平，要用到數(shù)學知識、思想和方法解決，且“可讀性”好，不需補充大量其他知識就可入手；②有生活、生產、社會、科技等實際背景，有利于學生了解一般社會知識與科學知識；③能體現(xiàn)出數(shù)學建模求解過程；④有較強的趣味性、典型性，使學生逐漸形成科學解題的思想方法；⑤能發(fā)揮計算機（器）在求解中的作用等.事實上，數(shù)學應用問題很難同時具備上述這些特點，但這些特點為我們收集、整理、加工、構建“好”的問題提供了參考標準.

除了從教材中挖掘數(shù)學應用素材外，還可以通過以下方式尋得“好”問題.一是從生活實際中提煉出問題.日常生活是數(shù)學應用問題的源泉之一，我們應當鼓勵學生從現(xiàn)實生活中尋找與數(shù)學有關的，又能用數(shù)學知識解決的實際問題，讓學生經歷一個完整的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程；二是從中學數(shù)學教育方面的書籍、報刊上整理.通過查找有關中學數(shù)學應用方面的優(yōu)秀書籍和中學數(shù)學雜志，以及網(wǎng)絡搜索的方式等，都能收集到適合于中學生的數(shù)學應用素材；三是從中學生數(shù)學知識應用競賽題中引用.各屆中學生數(shù)學知識應用競賽中有很多好問題，可以適度加以變式引用.

4.教學建議

在數(shù)學教學中，教師必須結合課程內容將數(shù)學的應用不斷地融入日常教學活動中，方可取得滿意的效果.

（1）數(shù)學具有高度抽象性，對基本概念的理解，要注重引導學生經歷從具體實例中抽象出數(shù)學概念的過程，然后在應用中逐漸理解概念的本質.在高中數(shù)學課程中，有許多重要的數(shù)學概念，如函數(shù)、數(shù)列、算法、統(tǒng)計、概率、向量、線性規(guī)劃、圓錐曲線、導數(shù)等都有豐富的實際背景，在教學中要注重通過實際背景理解這些概念，使抽象的數(shù)學概念變得具體生動，有助于學生進一步理解和應用.endprint

（2）加強數(shù)學應用，就應當站在構建數(shù)學模型的高度認識和實施數(shù)學應用教學，側重于培養(yǎng)學生能從實際問題中提出并用數(shù)學語言表述問題的能力，初步構建數(shù)學模型的能力，對數(shù)學問題進行變換化歸并解決的能力，對數(shù)學結果進行檢驗、評價和闡釋的能力等，在數(shù)學應用教學中要對以上各種能力的培養(yǎng)分步落實.

現(xiàn)以函數(shù)模型應用為例展開教學構想.

對于函數(shù)模型的應用，在學生能夠用函數(shù)刻畫現(xiàn)實生活問題的基礎上，我們將函數(shù)應用分兩個層次，第一層次是進行數(shù)學模型的套用，在高中階段，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等都是重要的函數(shù)模型，很多實際問題都是這些模型的直接應用.

例1：某星級旅館有300個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率（平均每天情況）的數(shù)據(jù)如下：

欲使每天的營業(yè)額最高，那么應如何定價？

分析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假設該旅館客房的定價最高為160元，并且在各價位之間，房價與住房率二者存在線性關系.

現(xiàn)將實際問題化為數(shù)學問題：設旅館一天的客房總營業(yè)額為y，與房價160元相比所降低的房價為20x元，因此當房價為（160-20x）元時，住房率為（55+10x）%，則

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解數(shù)學問題：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

問題轉化為：求當0≤x≤4.5時，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根據(jù)圖像知y在x=1.25時取得最大值，此時房價定價為160-25=135（元），相應的住房率為67.5%，總營業(yè)額最大為27337.5元.

還原到實際中：欲使每天的營業(yè)額最高，該客房應定價為135元，當然，在實際中為了便于管理，定價140元也是合理的.

例2：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

這是生活中的優(yōu)化問題，通過解答能讓學生感受到數(shù)學在解決實際問題中的重要作用.

函數(shù)應用的第二層次是進行簡單的數(shù)學建模，可以讓學生思考如下問題：

例3：下表所示的是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值：

若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)的一名身高為175cm，體重為78kg的中學男生的體重是偏胖還是偏瘦？

在教學過程中，此例應讓學生借助計算機作出散點圖，進行數(shù)據(jù)擬合，讓學生經歷分析數(shù)據(jù)、構造函數(shù)模型（嘗試尋找合適的函數(shù)進行描述問題中兩個變量的關系）、檢驗模型等過程，從而培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)處理能力.

當然，數(shù)學模型的應用不能只局限于課堂上，而應該適當向課外延伸，如布置學生收集函數(shù)模型應用問題，并做分析與思考，寫心得體會，教師組織學生開展交流活動，這樣的作業(yè)可收到出人意料的效果.

參考文獻：

[1]廖金祥.談高中數(shù)學新課程教學應用問題的背景設計[J].福建教育學院學報，2008，12

[2]彭春春.對高中數(shù)學新教材中數(shù)學應用問題的幾點思考[J].中學數(shù)學雜志，2008，7.endprint

（2）加強數(shù)學應用，就應當站在構建數(shù)學模型的高度認識和實施數(shù)學應用教學，側重于培養(yǎng)學生能從實際問題中提出并用數(shù)學語言表述問題的能力，初步構建數(shù)學模型的能力，對數(shù)學問題進行變換化歸并解決的能力，對數(shù)學結果進行檢驗、評價和闡釋的能力等，在數(shù)學應用教學中要對以上各種能力的培養(yǎng)分步落實.

現(xiàn)以函數(shù)模型應用為例展開教學構想.

對于函數(shù)模型的應用，在學生能夠用函數(shù)刻畫現(xiàn)實生活問題的基礎上，我們將函數(shù)應用分兩個層次，第一層次是進行數(shù)學模型的套用，在高中階段，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等都是重要的函數(shù)模型，很多實際問題都是這些模型的直接應用.

例1：某星級旅館有300個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率（平均每天情況）的數(shù)據(jù)如下：

欲使每天的營業(yè)額最高，那么應如何定價？

分析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假設該旅館客房的定價最高為160元，并且在各價位之間，房價與住房率二者存在線性關系.

現(xiàn)將實際問題化為數(shù)學問題：設旅館一天的客房總營業(yè)額為y，與房價160元相比所降低的房價為20x元，因此當房價為（160-20x）元時，住房率為（55+10x）%，則

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解數(shù)學問題：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

問題轉化為：求當0≤x≤4.5時，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根據(jù)圖像知y在x=1.25時取得最大值，此時房價定價為160-25=135（元），相應的住房率為67.5%，總營業(yè)額最大為27337.5元.

還原到實際中：欲使每天的營業(yè)額最高，該客房應定價為135元，當然，在實際中為了便于管理，定價140元也是合理的.

例2：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

這是生活中的優(yōu)化問題，通過解答能讓學生感受到數(shù)學在解決實際問題中的重要作用.

函數(shù)應用的第二層次是進行簡單的數(shù)學建模，可以讓學生思考如下問題：

例3：下表所示的是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值：

若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)的一名身高為175cm，體重為78kg的中學男生的體重是偏胖還是偏瘦？

在教學過程中，此例應讓學生借助計算機作出散點圖，進行數(shù)據(jù)擬合，讓學生經歷分析數(shù)據(jù)、構造函數(shù)模型（嘗試尋找合適的函數(shù)進行描述問題中兩個變量的關系）、檢驗模型等過程，從而培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)處理能力.

當然，數(shù)學模型的應用不能只局限于課堂上，而應該適當向課外延伸，如布置學生收集函數(shù)模型應用問題，并做分析與思考，寫心得體會，教師組織學生開展交流活動，這樣的作業(yè)可收到出人意料的效果.

參考文獻：

[1]廖金祥.談高中數(shù)學新課程教學應用問題的背景設計[J].福建教育學院學報，2008，12

[2]彭春春.對高中數(shù)學新教材中數(shù)學應用問題的幾點思考[J].中學數(shù)學雜志，2008，7.endprint

（2）加強數(shù)學應用，就應當站在構建數(shù)學模型的高度認識和實施數(shù)學應用教學，側重于培養(yǎng)學生能從實際問題中提出并用數(shù)學語言表述問題的能力，初步構建數(shù)學模型的能力，對數(shù)學問題進行變換化歸并解決的能力，對數(shù)學結果進行檢驗、評價和闡釋的能力等，在數(shù)學應用教學中要對以上各種能力的培養(yǎng)分步落實.

現(xiàn)以函數(shù)模型應用為例展開教學構想.

對于函數(shù)模型的應用，在學生能夠用函數(shù)刻畫現(xiàn)實生活問題的基礎上，我們將函數(shù)應用分兩個層次，第一層次是進行數(shù)學模型的套用，在高中階段，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等都是重要的函數(shù)模型，很多實際問題都是這些模型的直接應用.

例1：某星級旅館有300個標準房，經過一段時間的經營，經理得到一些定價和住房率（平均每天情況）的數(shù)據(jù)如下：

欲使每天的營業(yè)額最高，那么應如何定價？

分析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，可假設該旅館客房的定價最高為160元，并且在各價位之間，房價與住房率二者存在線性關系.

現(xiàn)將實際問題化為數(shù)學問題：設旅館一天的客房總營業(yè)額為y，與房價160元相比所降低的房價為20x元，因此當房價為（160-20x）元時，住房率為（55+10x）%，則

y=300×（160-20x）×（55+10x）%

解數(shù)學問題：由于（55+10x）%≤1，可得0≤x≤4.5.

問題轉化為：求當0≤x≤4.5時，y的最大值.

y=300（-2x +5x+88），根據(jù)圖像知y在x=1.25時取得最大值，此時房價定價為160-25=135（元），相應的住房率為67.5%，總營業(yè)額最大為27337.5元.

還原到實際中：欲使每天的營業(yè)額最高，該客房應定價為135元，當然，在實際中為了便于管理，定價140元也是合理的.

例2：請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐.試問當帳篷的頂點O到底面中心O 的距離為多少時，帳篷的體積最大？

這是生活中的優(yōu)化問題，通過解答能讓學生感受到數(shù)學在解決實際問題中的重要作用.

函數(shù)應用的第二層次是進行簡單的數(shù)學建模，可以讓學生思考如下問題：

例3：下表所示的是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值：

若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)的一名身高為175cm，體重為78kg的中學男生的體重是偏胖還是偏瘦？

在教學過程中，此例應讓學生借助計算機作出散點圖，進行數(shù)據(jù)擬合，讓學生經歷分析數(shù)據(jù)、構造函數(shù)模型（嘗試尋找合適的函數(shù)進行描述問題中兩個變量的關系）、檢驗模型等過程，從而培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)處理能力.

當然，數(shù)學模型的應用不能只局限于課堂上，而應該適當向課外延伸，如布置學生收集函數(shù)模型應用問題，并做分析與思考，寫心得體會，教師組織學生開展交流活動，這樣的作業(yè)可收到出人意料的效果.

參考文獻：

[1]廖金祥.談高中數(shù)學新課程教學應用問題的背景設計[J].福建教育學院學報，2008，12

[2]彭春春.對高中數(shù)學新教材中數(shù)學應用問題的幾點思考[J].中學數(shù)學雜志，2008，7.endprint