班桂寧，崔艷，劉海林

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

基于p6階Φ20家族群的一類(lèi)新LA-群

班桂寧，崔艷，劉海林

（廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004）

文章利用群的擴(kuò)張理論和自由群理論對(duì)p6階群Φ20家族的群進(jìn)行了推廣，得到了有限p-群的一個(gè)重要類(lèi)，并給出了它的一些性質(zhì).進(jìn)一步驗(yàn)證了它是LA-群.

有限p-群；擴(kuò)張；自同構(gòu)群；自由群；LA-群；階

在有限群的研究中，有限p-群是一個(gè)非常重要的分支，已經(jīng)有了許多有意義的結(jié)果[1-4].對(duì)于階小于等于p6（p為奇素?cái)?shù)）的有限p-群的同構(gòu)分類(lèi)已經(jīng)由Rodney James[5]中給出.而有限p-群的自同構(gòu)群，有一個(gè)十分著名的LA-猜想，即階大于p2的有限非循環(huán)p-群的階是其自同構(gòu)群的階的因子.關(guān)于LA-猜想，俞曙霞，班桂寧等得到了許多有價(jià)值的結(jié)果.本文基于文獻(xiàn)[5]，對(duì)p6階群Φ20家族進(jìn)行了推廣，得到了有限p-群的一個(gè)重要類(lèi)，然后用Schreier群擴(kuò)張理論和自由群理論驗(yàn)證了所構(gòu)造出的群的存在性，并給出了所得群的一些性質(zhì)，最后利用群的中心內(nèi)自同構(gòu)的特性證明了所得到的群為L(zhǎng)A-群.

本文中所考慮的群如G等都是有限p-群，定義關(guān)系中所涉及到的所有參數(shù)如k，m等均為非負(fù)整數(shù)，p為奇素?cái)?shù)，以及關(guān)系中形如[a，b]=1，a,b∈G和ri，ti（i=1，2，3）都與p互素略去不寫(xiě)，其他定義和符號(hào)都為標(biāo)準(zhǔn)的，具體可參見(jiàn)文獻(xiàn)[6].

1 相關(guān)引理

引理1[6]設(shè)G是群，a,b,c∈G，則

（1）[a，b]-1=[b，a]；

（2）[ab，c]=[a，c]b[b，a]；

（3）[a，bc]=[a，c][a，b]c.

引理2[7]（Van Dyek）設(shè)G是由生成元x1，x2，…，xr和關(guān)系fi（x1，x2，…，xr）=1，i∈I所定義的群，H=〈a1，a2，…，ar〉（這些ai可能相同），?i∈I，則存在唯一的滿(mǎn)同態(tài)σ∶G=Fr/H→H，使得xiN→ai，其中Fr=〈x1，…，xr〉為自由群，

（Y在Fr中的正規(guī)閉包），G=Fr/N.如果||G≤||H<+∞，則上述的σ為群同構(gòu)（即H是由生成元{a1，a2，…，ar}與定義關(guān)系，fi（a1，a2，…，ar）=1，?i∈I所定義的群）.

引理3[8]設(shè)G是PN-群，G/G′和Z（G）的不變型分別為m1≥m2≥…≥mt≥1和k1≥k2≥Λ≥ks≥1，則，其中.

根據(jù)引理2計(jì)算中心自同構(gòu)群的階，需知中心和G/G′的不變型，因此需要把中心和G/G′化成素?cái)?shù)冪階循環(huán)群的直積形式，為此引入交換群化為直積的方法（簡(jiǎn)稱(chēng)WAG方法）：

（1）若存在一個(gè)j使得k≤sj.則

（2）對(duì)于任意的j，k≥sj，設(shè)mi-si=max{m1-s1，Λ，mn-sn}，則對(duì)任意j，有sj+mi-si≥sj+mj-sj≥mj，.如果bxa=1，其中，則有bx∈M.可假設(shè)x=zpk，所以

且

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)

其中0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0，1，2）.則G成為一個(gè)群的充要條件是max{m1，m2}≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0，1，2）.進(jìn)一步，在G成群的條件下，有

即定理中所給的關(guān)系是群G的定義關(guān)系，且

1.

綜上可得參數(shù)之間的關(guān)系為max{m1，m2}≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，m0≤k0.

（Ⅱ）下面利用群的擴(kuò)張理論和自由群理論來(lái)證明.在證明中所給的條件下群G的存在性下面將分三步完成.

（1）令N=〈β〉×〈β1〉×〈β2〉≌（m0，m1，m2），映射τ= 1N，且因?yàn)樗杂醒h(huán)擴(kuò)張

max{m1，m2}≤m0≤k1，m2≤k0，0≤sj≤m1，0≤μj≤m2，（j=0， 1，2），且設(shè)F=〈x0，x1，y0，y1，y2〉是5個(gè)生成元的自由群，

令H=〈x0，y0，y1，y2〉，因?yàn)槭菨M(mǎn)足群G（1）關(guān)系的群，所以，因?yàn)椋谑?，所?/p>

從而得到滿(mǎn)足群G（2）的關(guān)系正是群G（2）的定義關(guān)系.

（3）最后證明群G存在時(shí)，且

令H=〈x0，x1，y0，y1，y2〉，因?yàn)槭菨M(mǎn)足群G（2）定義關(guān)系的群，所以因?yàn)?，于是，所?/p>

從而得到滿(mǎn)足群G的關(guān)系正是群G的定義關(guān)系.

定理2G有如下性質(zhì)

其不變型為（k0，k1，k2），

（2）G是PN群，其中m=max{m1，m2}，

證明定理2的式（1）由G的定義關(guān)系，顯然有

所以有

從而得到G/M是交換群，所以有G′≤M，由此可得

證明定理2的式（2），顯然可見(jiàn)，

則

所以

從而

由g的任意性，可得

下面開(kāi)始計(jì)算Z（G）的階，因?yàn)?/p>

當(dāng)m1≥m2時(shí)，

對(duì)

定理3當(dāng)m0+k0≥k2>k1≥k0時(shí)

（1）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤min{s2，μ2}，則群G是LA-群.

（2）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤μ2或μ2≤k2-m0≤s2，則群G是LA-群.

（3）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2≥m2-μ2，s2≤μ2≤k2-m0或μ2≤s2≤k2-m0，則群G是LA-群.

（4）若k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2

證明首先，把中心Z（G）表示成素?cái)?shù)冪階循環(huán)群的直積，分以下四步完成

（i）由

其中m=max{m1，m2}，令

再根據(jù)條件m≤m0≤min{k1，k2}，m2≤k0，m0≤k0得

則

所以交換群

（iii）當(dāng)k0-m2≤min{s0，μ0}時(shí)，由（ii）知

令

所以交換群

（iv）當(dāng)k1-m0≤min{s1，μ1}時(shí)，由（iii）知

有WAG方法，有

（a1）當(dāng)k2-m0≤min{s2，μ2}時(shí)，類(lèi)似（ii）中的方法，

所以

（a2）當(dāng)min{s2，μ2}≤k2-m0≤max{s2，μ2}時(shí)

（a2.1）當(dāng)s2≤μ2時(shí)，，

且

所以

（a2.2）當(dāng)s2≥μ2時(shí)，μ2≤k2-m0≤s2，類(lèi)似（a2.1）的方法

所以

（a3）當(dāng)k2-m0≤min{s2，μ2}時(shí)

（a3.1）對(duì)m1-s2≥m2-μ2，有

則

對(duì)于

（a3.1.1）當(dāng)s2≤μ2≤k2-m0時(shí)，則有

則有

所以

（a3.1.2）當(dāng)s2≤μ2≤k2-m0時(shí)，類(lèi)似（a2.1）的方法

所以

（a3.2）對(duì)m1-s2

（a3.2.1）當(dāng)s2≤μ2≤k2-m0時(shí)，類(lèi)似（a2.1）的方法，

所以

（a3.2.2）當(dāng)s2≤μ2≤k2-m0時(shí)，

所以

由上得到Z（G）的直積形式有以上七種形式，下面開(kāi)始計(jì)算群的中心自同構(gòu)的階.

令R=Inn（G）Ac（G）（Ac（G）為G的中心自同構(gòu)），現(xiàn)在先計(jì)算，易知R為Aut（G）的正規(guī)p子群.由引理1有

1）當(dāng)k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，k2-m0≤min{s2，μ2}時(shí)由式（1a）知

2）當(dāng)k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，s2≤k2-m0≤μ2時(shí)，由式（2a）知

此時(shí)分三種情形討論，

情形1：若k2-m0+m1-s2≤k0時(shí)，

情形2：若k0≤k2-m0+m1-s2≤k1時(shí)，

情形3：若k2-m0+m1-s2≥k1時(shí)，

若μ2≤k2-m0≤s2時(shí)，由式（3a）知

由引理2，

分以下三種情形：

情形1：k2-m0+m2-μ2≤k0，c+2m0=ω+2（k1-m0）+

2（m1+m2+k0+k2）≥ω+2（m1+m2+k0+k2），故有

情形2：k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1，c+2m0=ω+（k2-m0）+3（k0-m）+2（k1-m）+（m1+m2-m）+m1≥ω+m1，故有

情形3：k2-m0+m2-μ2≤k1，c+2m0=ω+ 3（k0-m）+2（k1-m）+2m1≥ω+2m1||R=pc+2m0≥||G p2m1,

由上述六種情形知定理3中的式（2）成立.

此時(shí)分三種情形討論：

情形1：若k2-m0+m1-s2≤k0時(shí)，

情形2：若k0≤k2-m0+m1-s2≤k1時(shí)，d+2m0=ω+2（k0-m0）+2（k0-m）+2（k1-m）+（k2-m）+m1+m2-m≥ω+m1+2m2，

情形3：若k2-m0+m1-s2≥k1時(shí)，

若μ2≤s2≤k2-m0時(shí)，由式（5a）知

分以下三種情形：

情形1：k2-m0+m1-s2≤k0，e+2m0=ω+2（k0-m0）+ 2（k1-m）+2（k2-m）+2（m1+m2-m），

情形2：k0≤k2-m0+m1-s2≤k1，e+2m0=ω+

情形3：k2-m0+m1-s2≤k1，e+2m0=ω+3（k0-m）+

由上述六種情形知定理3中的式（3）成立.

4）當(dāng)k1-m0≤min{s1，μ1}，k0-m2≤min{s0，μ0}，m1-s2< m2-μ2，s2≤μ2≤k2-m0時(shí)，由式（6a）知

f=ω-2m0+2m1+2k0+2k1+2μ2-6m+min{k2-m0+m2-μ2，k0}+min{k2-m0+m2-μ2，k1}，此時(shí)我們分三種情形討論：

情形1：若k2-m0+m2-μ2≤k0時(shí)，

情形2：若k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1時(shí)，

情形3：若k2-m0+m2-μ2≤k1時(shí)，

若μ2≤s2≤k2-m0時(shí)，由（7a）知

分以下三種情形：

情形1：k2-m0+m2-μ2≤k0，h+2m0=ω+2（k0-m0）+2（k1-m）+ 2（k2-m）+2（m1+m2-m），故有

情形2：k0≤k2-m0+m2-μ2≤k1，

情形3：k2-m0+m2-μ2≥k1，h+2m0=ω+3（k0-m）+

由上述六種情形知該定理中的（4）成立.

故在Z（G）的直積形式下G都為L(zhǎng)A-群.

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責(zé)任編輯：畢和平

A LA-group Based on Φ20Family Group of p6Qrder

BAN Guining，CUI Yan，LIU Hailin
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangxi University，Nanning 530004，China）

In this paper,we generalized Φ20family group of p6order by using the extension theory of group and theory of free groups to obtain,a new series of p-group,and some properties.Furthermore,we proved that the groups are LA-group.

finite group；extention；automorphism group；free group;order

O 152.1

A 文章編號(hào)：1674-4942（2014）02-0119-09

2013-09-07

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61074185）