潘紅

（山西工程職業(yè)技術學院基礎部，山西太原030002）

新分數階混沌系統(tǒng)及異結構同步

潘紅

（山西工程職業(yè)技術學院基礎部，山西太原030002）

文章提出了一個新的分數階三維混沌系統(tǒng)，利用分數階穩(wěn)定性理論給出證明，畫出其吸引子相圖驗證了其具有混沌學行為；同時也在理論上證明了該系統(tǒng)與分數階chen系統(tǒng)異結構同步，并運用matlab軟件數值模擬仿真得出誤差系統(tǒng)演化曲線圖，充分說明了兩系統(tǒng)達到有效同步.

分數階；吸引子；混沌同步

自從分數階微積分理論被引入混沌研究中，對分數階混沌系統(tǒng)及其同步的研究就逐步的被研究者們所關注，成為了研究的熱點問題，文獻[1-2]發(fā)現分數階chen系統(tǒng)，分數階Lorenz系統(tǒng)，分數階Rosslor系統(tǒng)，文獻[3-4]對分數階混沌系統(tǒng)同步控制進行深入的研究.發(fā)現在各領域中分數階系統(tǒng)是系統(tǒng)通常的存在方式，而整數階系統(tǒng)只是一種理想化狀態(tài)，所以對分數階混沌系統(tǒng)的研究更加具有實際的意義，應用性更強.

本文提出了一個新的三維混沌系統(tǒng)，利用分數階穩(wěn)定性理論給出證明，畫出其吸引子相圖，驗證了其混沌學行為；同時也對該系統(tǒng)與分數階chen系統(tǒng)異結構同步給出了理論推導，運用matlab軟件數值模擬仿真誤差系統(tǒng)相圖，充分說明了誤差系統(tǒng)在原點漸進穩(wěn)定，兩系統(tǒng)達到同步，為分數階混沌系統(tǒng)及其同步的研究提供一些理論依據.

1 分數階微分的定義

在分數階微積分的研究過程中，對分數階導數的概念有多種定義，本文采用Caputo微分定義來研究分數階混沌動力學行為，Caputo微分定義為

這里m=[α]，為第一個不小于α的整數，y（m）為y的m階導數，Jβ是β階Riemann-Liouville積分算子，即

其中Γ（β）是Gamma函數.Dα*通常稱為α階Caputo微分算子.

2 分數階系統(tǒng)穩(wěn)定理論

引理[5]考慮線性分數階系統(tǒng)：

其中X=（x1，x2，x3…xn）為系統(tǒng)狀態(tài)變量，A為系數矩陣.

3 新的三維分數階混沌系統(tǒng)

新的三維分數階混沌系統(tǒng)：

其中x1，x2，x3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，系統(tǒng)參數a=20，b= 14，c=10.6，h=2.8，α為微分階數dα=Dα為微分算子.

1）討論系統(tǒng)為整數階時系統(tǒng)的特性.

當α=1，初值為（20，20，20），通過LE軟件包檢算得出lyapunov指數為λL1=2.3554，λL2=3.0354×104，λL3=-14.5561.

系統(tǒng)的分形維數為

由上可推得，當α=1時，系統(tǒng)是混沌的，吸引子相圖如下：

2）當0＜α＜1時，系統(tǒng)（2）的平衡點為：

在平衡點s1，對系統(tǒng)（2）對應的Jacobian矩陣為

令det（J1-λI）=0，得到相應的特征根λ11=-2.8，λ12= 17.9736，λ13=-27.3736，這里兩個負實根，一對正實根.根據Routh2Hurwitz條件，可得平衡點s1=（0，0，0）是不穩(wěn)定的鞍點.

因為s2=（8.2994，8.2994，24.6）與s3=（-8.2994，-8.2994，24.6）關于z軸對稱，若（a1，a2，a3）是方程的解，那么（-a1，-a2，-a3）也是方程的解，所以s2，s3具有相同的性質，相同的特征根.

在平衡點s2，采用同樣的方法可求得其相應的特征根λ21=-18.6839，λ22=3.2419+11.7027i，λ23= 3.2419-11.7027i，這里一個特征根是負實根，一對共軛復根.根據Routh2Hurwitz條件，可得平衡點s2是不穩(wěn)定的鞍點.則s3也是不穩(wěn)定的鞍點.

可計算出

所以由引理1可知，系統(tǒng)（2）在0.8284＜α＜1時是混沌的.

利用預估校正法對該分數階混沌系統(tǒng)的進行離散化，運用Matlab軟件，進行數值模擬計算，得到結果為：當參數a=20，b=14，c=10.6，h=2.8時，0.8284＜α＜1時，該分數階系統(tǒng)是混沌的.α=0.90，取初始值x0=1，y0=1，z0=2時，該系統(tǒng)的吸引子相軌跡圖見圖1.

4 分數階混沌系統(tǒng)與分數階chen系統(tǒng)異結構同步

驅動系統(tǒng)為

系統(tǒng)參數a=20，b=14，c=10.6，h=2.8響應系統(tǒng)為受控的分數階chen系統(tǒng)u=u1，u2，u3為控制器

驅動系統(tǒng)矩陣表示為

響應chen系統(tǒng)矩陣表示為

圖1 α=0.90時的該分數階混沌吸引子Fig.1The fractional chaotic attractor when α=0.90

選取控制器

其中ei=xi-yi，i=1，2，3

用驅動系統(tǒng)（4）減去響應系統(tǒng)（5）得誤差系統(tǒng)為：

通過計算的矩陣B的特征值分別為

采用預估-校正解法，進行數值模擬，α=0.90，時間步長為0.01，狀態(tài)初始值x1（0）=2，x2（0）=0，x3（0）=0，y1（0）=4，y2（0）=10，y3（0）=6；圖2是誤差系統(tǒng)演化曲線，可見系統(tǒng)（4）和（5）漸進同步.

5 結論

本文利用分數階穩(wěn)定性理論證明了一個新的分數階三維動力系統(tǒng)的混沌特性，畫出其吸引子相圖來驗證了其具有混沌學行為；同時也給出了該系統(tǒng)與分數階chen系統(tǒng)異結構同步理論推導，并運用matlab軟件進行數值模擬仿真得出誤差系統(tǒng)演化相圖，充分說明了誤差系統(tǒng)在原點漸進穩(wěn)定，兩系統(tǒng)達到同步，為分數階混沌系統(tǒng)及其同步的研究提供一些理論依據.

圖2 α=0.90時的誤差系統(tǒng)演化曲線Fig.2The evolution curve of the error system when α=0.90

[1]Lu J G.Nonlinear observer design to synchronize fractional-order chaotic system via a scalar transmitted signal[J]. Physica A,2006,359:107-118.

[2]Wu X J.Chaos in the fractional order unified system and its synchronization[J].Chinese physics,2007,16(7):392-401.

[3]Zhou T S,Li P.Synchronization in fractional—order differential systems[J].Physica D,2005,212:111-125.

[4]孫寧,張化光,王智良.基于分數階滑模面控制的分數階超混沌系統(tǒng)的投影同步[J].物理學報,2011,60（5）:1-7.

[5]胡建兵.分數階混沌穩(wěn)定性理論及同步方法研究[D].太原:中北大學,2008.

責任編輯：畢和平

Study of a New Fractional-Order Chaotic System and Different Structure Synchronization

PAN Hong
（Department of Basic，Shanxi Engineering Vactional College，Taiyuan 030002，China）

In this paper,a new fractional-order three dimensional chaotic syetem is presented,it is proved that this system is chaotic system based on the stable theory for fractional linear systems,Chaos behavior is given with chaotic attractor phase diagram,and it also proved that this system has different structure synchronization with Chen system.Phase diagrams of error system show that two system synchronize by matlab.

Fractional order；Chaotic attractor；Chaotic synchronization

O 415.5

A

1674-4942（2014）01-0007-04

2013-12-15

國冶金教育協(xié)會“十二五”高等教育科學研究課題（Yzy1127）