詹 森，王輝豐

（1.廣東技術師范學院 計算機科學系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 海口 571158）

文[1～10]已討論了奇數(shù)階幻方和完美幻方的構(gòu)造方法，其中文[1～5]討論了奇數(shù)階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方.文[1]首先定義了余函數(shù)，并運用余函數(shù)法構(gòu)造奇數(shù)階對稱完美幻方；文[2]用余函數(shù)法構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方.在此基礎上，本文將運用[2]的余函數(shù)（預備定理）討論3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方（包括對稱完美幻方）的構(gòu)造方法，文[2]知，以n為周期的余函數(shù)

（n、t是自然數(shù)，t|n 表示t被n整除，q（t）表示t除以n的余數(shù)）具有如下：

預備定理 1）對n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)）.當i=1，2，…，n時，則r（2i）是1～n的自然數(shù)，r（4i）也是1～n的自然數(shù).2）對n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)），當i=1，2，…，n時，則r（3i）是1～n的自然數(shù).

1 構(gòu)造3n階完美幻方的步驟

第一步 把1～3n（其中n=2m+1，m為自然數(shù)）的自然數(shù)排成三行n列，使每行n個數(shù)字之和都等于(3 n+1)，以(i ,j)記其位于第i行第j列的元素，取

第一行n個數(shù)字之和為

第二行n個數(shù)字之和為

第三行n個數(shù)字之和為

第二步 用上述 a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn構(gòu)造3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階基方陣A.

從左到右依次取a1，a2，…，an共三次作為基方陣A的第一行，第一行的元素向左順移兩個位置得第二行，第二行的元素向左順移兩個位置得第三行，依此類推直至得出第n行.

從左到右依次取b1，b2，…，bn共三次作為基方陣A的第n+1行，第n+1行的元素向左順移兩個位置得第n+2行，第n+2行的元素向左順移兩個位置得第n+3行，依此類推直至得出第2n行.

從左到右依次取c1，c2，…，cn共三次作為基方陣A的第2n+1行，第2n+1行的元素向左順移兩個位置得第2n+2行，第2n+2行的元素向左順移兩個位置得第2n+3行，依此類推直至得出第3n行.

以a（i，j）（i=1，2，…，3n，j=1，2，…，3n）記基方陣A位于第i行第j列的元素，則

第三步 作基方陣A的轉(zhuǎn)置方陣B.

以b（i，j）（i=1，2，…，3n，j=1，2，…，3n）記轉(zhuǎn)置方陣B位于第i行第j列的元素，則

第四步 作方陣C.

以c（i，j）（i=1，2，…，3n，j=1，2，…，3n）記方陣C位于第i行第j列的元素，取

第五步 構(gòu)造3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方D.

設方陣D位于第i行第j列的元素為d（i，j）（i=1，2，…，3n，j=1，2，…，3n），則基方陣A與方陣C對應元素相加，即 d（i，j）=a（i，j）+c（i，j）=a（i，j）+（b（i，j）-1）·3n（i=1，2，…，3n，j=1，2，…，3n）.所得方陣D就是所要構(gòu)造的一個3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方（見以下定理證明）.上述步驟稱為五步法.

2 定理及證明

定理 由上述五步法所得3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階方陣D是一個完美幻方.

證明 分五步證明如下：1）先證基方陣A是一個3n階非正規(guī)完美幻方.由基方陣A的構(gòu)造知，基方陣A第1～n行，各行3n個元素之和都等于

第n+1～2n行，各行3n個元素之和都等于

第2n+1～3n行，各行3n個元素之和都等于

每例患者的輻射劑量參數(shù)包括容積CT劑量指數(shù)(volume CT dose index，CTDIvol)、劑量長度乘積(dose length product，DLP)，在肝臟灌注掃描完成后由機器自動生成。計算有效輻射劑量(effective radiation dose，ED)，ED=DLP×k，其中k為換算系數(shù)，上腹部掃描時k=0.015 mSv·mGy-1·cm-1[14]。

即基方陣A各行3n個元素之和都等于

考察基方陣A各行3n個元素之和

在求和過程中，j-2是固定的，由的預備定理知，

過a（h，1）（h=1，2，…，n）從左上角至右下角的對角線以及與其同方向的泛對角線上的元素a（i，j）而言，有r（i-j）=h-1（h=1，2，…，n），所以，其上各元素之和為

在求和過程中，-h-1，n-h-1和2n-h-1都是固定的，由預備定理得

過b（h，n）（h=1，2，…，n）從左下角至右上角的對角線以及與其同方向的泛對角線上的元素b（i，j）而言，有r（i+j）=h（h=1，2，…，n），所以，其上各元素之和為

在求和過程中，-2+h，-n-2+h和-2n-2+h和都是固定的，由預備定理得

3）由于方陣C位于第i行第j列的元素c（i，j）=（b（i，j）-1）·3n（i=1，2，…，3n，j=1，2，…，3n），所以方陣C是一個非正規(guī)完美幻方，其幻方常數(shù)為

4）由于方陣D是由基方陣A與方陣C對應元素相加所得，方陣D是一個完美幻方，其幻方常數(shù)為

5）最后我們還需證明方陣D是一個正規(guī)的完美幻方.

考察基方陣D的元素，

由預備定理，對n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)），當i=1，2，…，n時，則r（3i）是1～n的自然數(shù).所以r（-3i）=r（n-3i）是1～n的自然數(shù).

對于每一個 t=1，2，…，n，r（2（t+1）-3i）取遍1～n的自然數(shù)，即at加遍（a1-1）（3n）～（an-1）（3n），當i=1，2，…，n，j=n+1，n+2，…，2n時，

對于每一個 t=1，2，…，n，r（2（t+1）-3i）取遍1～n的自然數(shù)，即at加遍（b1-1）（3n）～（bn-1）（3n）.當i=1，2，…，n，j=2n+1，2n+2，…，3n時，

對于每一個 t=1，2，…，n，r（2（t+1）-3i）取遍1～n的自然數(shù)，即at加遍（c1-1）（3n）～（cn-1）（3n），因為a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn取遍1～3n的自然數(shù)，所以at（1，2，…，n）加遍0，1·（3n），2·（3n），…，（3n-1）·（3n）.

同理可證bt（t=1，2，…，n）加遍0，1·（3n），2·（3n），…，（3n-1）·（3n）；ct（t=1，2，…，n）加遍0，1·（3n），2·（3n），…，（3n-1）·（3n）.

完美幻方D是由1～3n，3n+1～2·（3n），2·（3n）+1～3·（3n），…，（3n-1）·（3n）+1～（3n）·（3n）的自然數(shù)所組成，即由1～（3n）2的自然數(shù)所組成，即方陣D是一個3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階正規(guī)的完美幻方.證畢.

由于a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn都各有n!種選法，故五步法可得到（n!）3個不同的3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階正規(guī)的完美幻方.

3 構(gòu)造3n階對稱完美幻方的方法

在構(gòu)造3n階完美幻方的步驟中，只需選取a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn使方陣A為一個對稱方陣，其他步驟不變就可構(gòu)造出3n階對稱完美幻方，這樣實際上就是以上定理的推論（見以下推論）.

推論 當a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn的選取使方陣A為一個對稱方陣時，五步法得到的是一個3n（n=2m+1，m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階正規(guī)的對稱完美幻方.

例 構(gòu)造一個15階對稱完美幻方.

根據(jù)五步法第一步得

取4，9，10，14，3依次為a1，a2，a3，a4，a5.取5，8，11，15，1依次為b1，b2，b3，b4，b5.取6，7，12，13，2依次為c1，c2，c3，c4，c5.

以上得到了構(gòu)造3n階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的結(jié)果，對于解決文[11]（構(gòu)造n=3（2m+1）階對稱完美幻方一直是一個未解決的問題）指出的難題起著很大的作用.我們將在“構(gòu)造奇數(shù)3（2m+1）階完美幻方的方法”一文中徹底解決這個難題.

由第二步得15階方陣A（見圖1）.

圖1 15階方陣AFig.1 15-order matrix square A

圖2 15階對稱完美幻方DFig.2 15-order symnetry pertect magic squave D

由第三步得A的轉(zhuǎn)成方陣B（略）；由第四步得方陣C（略）；由第五步得15階對稱完美幻方D（見圖2）.

[1]詹森,王輝豐.奇數(shù)階對稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2009,22(4)：396-402.

[2]詹森,王輝豐.構(gòu)造奇數(shù)階幻方,完美幻方和對稱完美幻方的新方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2011,24(3)：265-269.

[3]王輝豐.構(gòu)造奇數(shù)階完美幻方和對稱完美幻方的兩步法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2012,25(1)：28-31.

[4]詹森,王輝豐.奇數(shù)階對稱完美幻方的構(gòu)造方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2009,22(4)：396-402.

[5]詹森.關于構(gòu)造k2階完美幻方的方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2012,25(2)：147-157.

[6]王輝豐,詹森.關于構(gòu)造三類奇數(shù)階幻方的新方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2010,23(1)：12-15.

[7]詹森,王輝豐.構(gòu)造鑲邊幻方代碼法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2010,23(2)：152-157.

[8]詹森,王輝豐.關于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2009,22(3)：250-254.

[9]詹森,王輝豐.構(gòu)造奇數(shù)階對稱幻方及奇偶數(shù)分開對稱幻方的新方法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2011,24(4)：395-399.

[10]詹森,王輝豐,黃瀾.構(gòu)造奇偶數(shù)階幻方的四步法[J].海南師范大學學報：自然科學版,2013,26(2)：145-151.